1、123.2 双曲线的几何性质对 应 学 生 用 书 P28双曲线的简单几何性质歌曲悲伤双曲线的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘，能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点问题 1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？提示：坐标轴；原点问题 2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗？提示：有一个交点双曲线的几何性质 标准方程 1( a0， b0)x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2图形焦点 (c,0) (0， c)焦距 2c范围 x a 或 x a， yR y a 或 y a， xR顶点 (a,0
2、) (0， a)对称性 关于 x 轴、 y 轴、坐标原点对称轴长 实轴长2 a，虚轴长2 b离心率 e (1，)ca性质渐近线 y xba y xab等轴双曲线2观察所给两个双曲线方程(1) 1；x24 y24(2)x2 y29.问题 1：两个双曲线方程有何共同特点？提示：所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等问题 2：两个双曲线的离心率是多少？提示： .2问题 3：两双曲线的渐近线方程是什么？提示：渐近线方程 y x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线1离心率 e 反映了双曲线开口的大小， e 越大，双曲线的开口就越大2双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线没有交点渐近线方程用 a， b
3、 表示时，受焦点所在坐标轴的影响对 应 学 生 用 书 P28双曲线的几何性质例 1 求双曲线 9y24 x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨 先化方程为标准形式，然后根据标准方程求出基本量 a， b， c 即可得解，但要注意焦点在哪条坐标轴上精解详析 由 9y24 x236 得 1，x29 y24 a29， b24.c2 a2 b213. c .133顶点坐标为(3,0)，(3,0)焦点坐标为( ，0)，( ，0)，13 13实轴长为 2a6，虚轴长为 2b4，离心率为 e ，ca 133渐近线方程为 y x.23一点通 求解双曲线的几何性质问题时，首先
4、将方程化为标准方程，分清焦点所在的轴，写出 a 与 b 的值，进而求出 c，即可求得双曲线的性质1(湖北高考改编)已知 00， b0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题知 2b12， ，且 c2 a2 b2，ca 54 b6， c10， a8.所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)当焦点在 x 轴上时，由 且 a3，得 b .ba 32 92所求双曲线的标准方程为 1.x29 4y281当焦点在 y 轴上时，由 且 a3，得 b2.ab 32所求双曲线的标准方程为 1.y29 x24(3)设与双曲线 y21 有公共渐近线的双曲线方程为 y2 k
5、，将点(2，2)代入，x22 x22得k (2) 22，222双曲线的标准方程为 1.y22 x24一点通 由双曲线的性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：(1)判断：利用条件判断焦点的位置；(2)设：设出双曲线的标准方程；(3)列：利用已知条件构造关于参数的方程；(4)求：解参数方程，进而得标准方程54(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率为 ，则 C32的方程是_解析：由题意可知 c3， a2， b ，故双曲线的方程为c2 a2 32 22 5 1.x24 y25答案： 1x24 y255已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，
6、且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲线的标准方程是_解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点在 x 轴上，且 a3，焦距与虚轴长之比为 54，即 c b54，解得 c5， b4，则双曲线的标准方程是 x291.y216答案： 1x29 y2166求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点 M(3,4)且虚轴长是实轴长的 2 倍的双曲线方程解：若焦点在 x 轴上，则双曲线方程为 1.x2a2 y2b2 M(3,4)在双曲线上， 1.9a2 16b2又 b2 a，94164 a2，解得 a25， b220，双曲线方程为 1.x25 y220若焦点在 y 轴上，则双曲线方程为 1.y2a2
7、x2b2 M(3,4)在双曲线上， 1，16a2 9b2又 b2 a，16494 a2，解得 a2 ， b255，554双曲线方程为 1.4y255 x255综上可知，双曲线方程为 1 或 1.x25 y220 4y255 x255求双曲线的离心率及其范围6例 3 (1)设 ABC 是等腰三角形， ABC120，则以 A， B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为_(2)已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是_思路点拨 (1)根据图形并由双曲线的定义确定 a 与 c 的关系，求出
8、离心率，对于问题(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有 tan 60.ba精解详析 (1)由题意 2c AB BC， AC22 csin 602 c，3由双曲线的定义，有 2a AC BC2 c2 c a( 1) c，3 3 e .ca 13 1 1 32(2)因为双曲线渐近线的斜率为 k ，ba直线的斜率为 ktan 60 ，故有 ，3ba 3所以 e 2，ca a2 b2a2 1 3所以所求离心率的取值范围是 e2.答案 (1) (2) e21 32一点通 1求双曲线离心率的常见方法：(1)依据条件求出 a， c
9、，利用 e ；ca(2)利用 e ；1 (f(b,a)2(3)依据条件，建立关于 a， b， c 的齐次关系式，消去 b，转化为离心率 e 的方程求解2求离心率的范围，常结合已知条件构建关于 a、 b、 c 的不等关系7(湖南高考)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的两个焦点若在 C 上存x2a2 y2b2在一点 P，使 PF1 PF2，且 PF1F230，则 C 的离心率为_7解析：如图，由已知可得， PF12 ccos 30 c， PF22 csin 330 c，由双曲线的定义，可得 c c2 a，则 e 1.3ca 23 1 3答案： 138双曲线 1( a0， b0)
10、的两个焦点为 F1、 F2，若 P 为其上一点，且x2a2 y2b2PF12 PF2，则双曲线离心率的取值范围为_解析：如图，设 PF2 m， F1PF2 (01， e(1,3答案：(1,31双曲线离心率及其范围的求法(1)双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法(2)双曲线离心率范围的求解，涉及解析几何中“范围”问题的解法在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；通过判别式 0；利用点在曲线内部形成的不等式关系；利用解析式的结构特点，如 a， ，| a|等非负性a2求双曲线的标准方程，当焦点不明确时，方程可能有两种形式，为了
11、避免讨论，也可设双曲线方程为 mx2 ny21( mn0)，从而直接求得；若已知双曲线的渐近线方程为y x，还可以将方程设为 ( 0)避免焦点的讨论ba x2a2 y2b2对应课时跟踪训练(十一) 1(陕西高考)双曲线 1 的离心率为 .则 m_.x216 y2m 54解析： a4， b ， c216 m， e ， m9.mca 16 m4 54答案：92已知双曲线 1( a0， b0)，两条渐近线的夹角为 60，则双曲线的离心率x2a2 y2b2为_8解析：根据题意，由于双曲线 1( a0， b0)，两条渐近线的夹角为 60，则x2a2 y2b2可知 或 ，那么可知双曲线的离心率为 e ，所
12、以结果为 2 或 .ba 3 ba 33 1 (ba)2 233答案：2 或2333焦点为(0,6)，且与双曲线 y21 有相同的渐近线的双曲线方程是_x22解析：由 y21，得双曲线的渐近线为 y x.x22 22设双曲线方程为： y2 ( 0， b0)的离心率为 ，则 Cx2a2 y2b2 52的渐近线方程为_解析： e2 1 ， ， ， y x.c2a2 a2 b2a2 b2a2 54 b2a2 14 ba 12 12答案： y x125若双曲线 1( a0， b0)的两个焦点分别为 F1、 F2， P 为双曲线上一点，且x2a2 y2b2|PF1|3| PF2|，则该双曲线离心率 e
13、的取值范围是_解析：依题意得Error!由此解得| PF2| a，| PF1|3 a，| PF1| PF2| F1F2|，即c2 a， e 2.又 e1，离心率 e 的取值范围是(1,2ca答案：(1,26根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)经过点 ，且一条渐近线方程为 4x3 y0.(154， 3)(2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为 . 3解：(1)双曲线的一条渐近线方程为 4x3 y0，9可设双曲线方程为 ( 0)x29 y216双曲线经过点 ，(154， 3) .即 1.19 15216 3216所求双曲线的标准方程为 1.x29 y216(2)设 F1
14、、 F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在 x 轴上， PF1 PF2，且 OP6，2 c F1F22 OP12， c6.又 P 与两顶点连线夹角为 ， 3 a| OP|tan 2 ， 6 3 b2 c2 a224.故所求双曲线的标准方程为 1.x212 y2247已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的两个焦点， PQ 是经过 F1且垂直于 xx2a2 y2b2轴的双曲线的弦，如果 PF2Q90，求双曲线的离心率解：设 F1(c,0)，将 x c 代入双曲线的方程得 1，那么 y .c2a2 y2b2 b2a由 PF2 QF2， PF2Q90，知| PF1| F1F2|， 2
15、c， b22 ac.b2a由 a2 b2 c2，得 c22 ac a20， 22 10.(ca) ca即 e22 e10. e1 或 e1 (舍去)2 2所以所求双曲线的离心率为 1 .28已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、 F2在坐标轴上，离心率为 且过点2(4， )10(1)求双曲线方程；(2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证：点 M 在以 F1F2为直径的圆上；(3)求 F1MF2的面积10解：(1)离心率 e ，设所求双曲线方程为 x2 y2 ( 0)，则由点(4，2)在双曲线上，知10 4 2( )26，10双曲线方程为 x2 y26，即 1.x26 y26(2)若点 M(3， m)在双曲线上，则 32 m26， m23.由双曲线 x2 y26 知， F1(2 ，0)， F2(2 ，0)，3 3 1F (2 3， m)(2 3， m)3 39(2 )2 m20.3 1 ，点 M 在以 F1F2为直径的圆上(3)S F1MF2 2c|m| c|m|2 6.12 3 3
