1、124.1 抛物线的标准方程对 应 学 生 用 书 P30平面直角坐标系内，有以下点和直线 A(3,0)， B(3,0)， C(0,3)， D(0，3)；l1： x3， l2： x3， l3： y3， l4： y3.问题 1：到定点 A 和定直线 l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示： y212 x. 问题 2：到定点 B 和定直线 l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示： y212 x.问题 3：到定点 C 和定直线 l3或到定点 D 和定直线 l4距离相等的点的轨迹方程呢？提示： x212 y， x212 y.抛物线的标准方程图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向y22 px(p0
2、)(p2， 0) x p2向右y22 px(p0)( p2， 0) x p2向左x22 py(p0)(0， p2) y p2向上x22 py(p0)(0， p2) y p2向下21平面内到一个定点 F 和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹是抛物线定点 F 不在定直线 l 上，否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的垂线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上对 应 学 生 用 书 P31由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程例 1 已知抛物线的方程 y ax2(a0)，求它的焦点坐标和准线方程思路点拨 由题意 y ax2，( a0)，可化为 x2 y，再依据抛物线的标准方
3、程得焦1a点和准线方程精解详析 将抛物线方程化为标准方程x2 y(a0)，显然抛物线焦点在 y 轴上，1a(1)当 a0 时， p ，12a焦点坐标 F ，(0，14a)准线方程 y .14a(2)当 a0)，其准线方程为 x ，则p2 3， p6.p2抛物线标准方程为 y212 x.(2)设抛物线标准方程为 y22 px(p0)焦点坐标为 ， ， p5.(p2， 0) p2 52抛物线标准方程为 y210 x.一点通 待定系数法求抛物线标准方程的步骤：(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位)(3)利用题中所给数据确定 p.(定量
4、)3以双曲线 1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为x216 y294_解析：双曲线 1 的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物x216 y29线的标准方程为 y216 x.答案： y216 x4根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线 3x4 y120 与坐标轴的交点解：(1)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为 y22 px(p0)或 x22 py(p0)若抛物线的标准方程为 y22 px(p0)，则由(1) 22 p(3)，解得 p ；16若抛物线的标准方程为 x22 py(p0)，则由(3) 22 p(1)，解得 p
5、 .92所求抛物线的标准方程为 y2 x 或 x29 y.13(2)对于直线方程 3x4 y120，令 x0，得 y3；令 y0，得 x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时， 3， p6，此时抛物线的标准方程为 x212 y；p2当焦点为(4,0)时， 4， p8，此时抛物线的标准方程为 y216 x.p2所求抛物线的标准方程为 x212 y 或 y216 x.抛物线方程的应用例 3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为 60 cm，灯深 40 cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置思路点拨 建立直角坐标系，设出标准方程为 y2
6、2 px(p0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出 p.精解详析 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点5(即抛物线的顶点)与原点重合， x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22 px(p0)由已知条件可知点 A(40,30)，代入方程，得 p .454所求抛物线的标准方程是 y2 x，焦点坐标是 .452 (458， 0)一点通 将实际问题转化为数学问题，需要建立适当的直角坐标系，再根据条件确定抛物线的标准方程的类型这里，直角坐标系的建立非常重要，同学们要认真观察实物的形状，根据实物形状“适当”建立5若抛物线 y22 px(p0)上有一点 M，其横坐标为 9，它
7、到焦点的距离为 10，求点 M的坐标解：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程 y22 px(p0)，可知其准线为 x ，即 910，则 p2，所以抛物线为 y24 x，p2 p2当 x9 时， y236，得 y6，所以点 M 的坐标为(9,6)或(9，6)6已知动圆 M 与直线 y2 相切，且与定圆 C： x2( y3) 21 外切，求动圆圆心 M的轨迹方程解：设动圆圆心为 M(x， y)，半径为 r，则由题意可得 M 到 C(0，3)的距离与到直线y3 的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以 C(0，3)为焦点，以 y3为准线的一条抛物线，其方程
8、为 x212 y.7一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 a m，求使卡车通过的 a 的最小整数值解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则点 B 的坐标为 ，如图所示(a2， a4)设隧道所在抛物线方程为 x2 my，则 2 m ，(a2) ( a4) m a.即抛物线方程为 x2 ay.将(0.8， y)代入抛物线方程，得 0.82 ay，即 y .0.82a6欲使卡车通过隧道，应有 y 3，(a4)即 3.a4 0.82a a0， a12.21. a 应取 13.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只
9、需求一个参数 p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y22 mx(m0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x22 my(m0)对应课时跟踪训练(十二) 1抛物线 x28 y 的焦点坐标是_解析：由抛物线方程 x28 y 知，抛物线焦点在 y 轴上，由 2p8，得 2，所以焦点p2坐标为(0,2)答案：(0,2)2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，其上的点 P(3， m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为_解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在 x 轴上，
10、且过 p(3， m)，可设抛物线方程为y22 px(p0)，由抛物线的定义可知，3 5. p4.p2抛物线方程为 y28 x.答案： y28 x3若抛物线 y22 px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为_x26 y22解析：椭圆 1 的右焦点为(2,0)，由 2，得 p4.x26 y22 p2答案：44抛物线 x2 ay 的准线方程是 y2，则实数 a 的值是_7解析：由条件知， a0，且 2， a8.a4答案：85双曲线 1( mn0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24 x 的焦点重合，x2m y2n则 mn 的值为_解析： y24 x 的焦点为(1,0)，则 c1，
11、2，ca a ，即 m a2 ， n c2 a2 ，12 14 34 mn .14 34 316答案：3166根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29 y2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A， AF5.解：(1)双曲线方程化为 1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为x29 y216y22 px(p0)，且 3， p6，方程为 y212 x. p2(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22 px(p0)， A(m，3)，由抛物线定义，得 5 AF .|mp2|又(3) 22 pm， p1 或
12、p9，故所求抛物线方程为 y22 x 或 y218 x.7设抛物线 y2 mx(m0)的准线与直线 x1 的距离为 3，求抛物线的方程解：当 m0 时，由 2p m，得 ，这时抛物线的准线方程是 x .p2 m4 m4抛物线的准线与直线 x1 的距离为 3，1 3，解得 m8，(m4)这时抛物线的方程是 y28 x.当 m0 时， 13，解得 m16.(m4)这时抛物线的方程是 y216 x.综上，所求抛物线方程为 y28 x 或 y216 x.88一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶 2 m 时，水宽 4 m，若水面下降 1 m，求水的宽度解：如图建立直角坐标系设抛物线的方程为 x22 py，水面离拱顶 2 m 时，水面宽 4 m，点(2，2)在抛物线上，44 p， p1. x22 y，水面下降 1 m，即 y3，而 y3 时， x ，6水面宽为 2 m.6即若水面下降 1 m，水面的宽度为 2 m.6
