1、12.5 圆锥曲线的统一定义对 应 学 生 用 书 P35圆锥曲线的统一定义抛物线可以看成平面内的到定点(焦点) F 的距离与到定直线(准线) l 的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹在坐标平面内有一定点 F(c,0)，定直线 x (a0， c0)动点a2cP(x， y)到定点 F(c,0)的距离与到定直线 x 的距离的比为 .a2c ca问题 1：求动点 P(x， y)的轨迹方程 提示：由 ，(x c)2 y2|a2c x| ca化简得：( a2 c2)x2 a2y2 a2(a2 c2)问题 2：当 ac，即 01 时，轨迹是什么？ca提示：双曲线圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点
2、 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹当 0 e1 时，它表示椭圆，当 e1 时，它表示双曲线，当 e1 时，它表示抛物线其中 e 是离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？2提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程 准线方程 曲线方程 准线方程 1( a b0)x2a2 y2b2xa2c 1( a b0)y2a2 x2b2ya2c 1( a0， b0)x2a2 y2b2xa2c 1( a0
3、， by2a2 x2b20)ya2cy22 px(p0) x p2 x22 py(p0) y p2y22 px(p0) x p2 x22 py(p0) y p2圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的对 应 学 生 用 书 P36利用统一定义确定曲线形状例 1 过圆锥曲线 C 的一个焦点 F 的直线
4、l 交曲线 C 于 A， B 两点，且以 AB 为直径的圆与 F 相应的准线相交，则曲线 C 为_思路点拨 利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求 e 的范围即可判断精解详析 设圆锥曲线的离心率为 e， M 为 AB 的中点， A， B 和 M 到准线的距离分别为 d1， d2和 d，圆的半径为 R， d ， R .由题意知 R d，d1 d22 AB2 FA FB2 e(d1 d2)2则 e1，圆锥曲线为双曲线3答案 双曲线一点通 解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即 e .有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以
5、考查统一定义的应PF1d1 PF2d2用为主1方程 | x y1|对应点 P(x， y)的轨迹为_(1 x)2 y2解析：由 | x y1|(1 x)2 y2得 .x ( 1)2 y2|x y 1|2 2可看作动点 P(x， y)到定点(1,0)的距离与到定直线 x y10 的距离比为 1 的2轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线答案：双曲线2若将例 1 中“相交”二字改为“相离” ，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切” ，再判断曲线的形状解：设圆锥曲线的离心率为 e， M 是 AB 中点， A， B 和 M 到准线的距离分别为 d1， d2和 d，圆的半径为 R，则 d ，d
6、1 d22R .AB2 FA FB2 e(d1 d2)2当圆与准线相离时， R d，即 ，e(d1 d2)2 d1 d220 e1，圆锥曲线为椭圆当圆与准线相切时， R d， e1，圆锥曲线为抛物线.用圆锥曲线的统一定义求轨迹例 2 已知动点 P(x， y)到点 A(0,3)与到定直线 y9 的距离之比为 ，求动点 P 的33轨迹思路点拨 此题解法有两种一是定义法，二是直译法4精解详析 法一：由圆锥曲线的统一定义知： P 点的轨迹是一椭圆， c3， 9，a2c则 a227， a3 ，3 e ，与已知条件相符333 33椭圆中心在原点，焦点为(0，3)，准线 y9.b218，其方程为 1.y22
7、7 x218法二：由题意得 .x2 (y 3)2|9 y| 33整理得 1.y227 x218P 点的轨迹是以(0，3)为焦点，以 y9 为准线的椭圆一点通 解决此类题目有两种方法：是直接列方程，代入后化简整理即得方程是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程3平面内的动点 P(x， y)(y0)到点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离之差为 2，求动点P 的轨迹解： 如图：作 PM x 轴于 M，延长 PM 交直线 y2 于点 N. PF PM2， PF PM2.又 PN PM2， PF PN. P 到定点 F 与到定直线 y2 的距离相等由抛物线的定义知， P 的轨迹
8、是以 F 为焦点，以 y2 为准线的抛物线，顶点在原点，p4.抛物线方程为 x28 y(y0)动点 P 的轨迹是抛物线4在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F1(4,0)，直线 l： x2，动点 M 到 F1的距离是它到定直线 l 距离 d 的 倍设动点 M 的轨迹曲线为 E.2(1)求曲线 E 的轨迹方程；(2)设点 F2(4,0)，若直线 m 为曲线 E 的任意一条切线，且点 F1， F2到 m 的距离分别为d1， d2，试判断 d1d2是否为常数，并说明理由解：(1)由题意，设点 M(x， y)，则有 MF1 ，(x 4)2 y25点 M(x， y)到直线 l 的距离 d| x(2)|
9、x2|，故 |x2|，(x 4)2 y2 2化简得 x2 y28.故动点 M 的轨迹方程为 x2 y28.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线 m 斜率不存在，则切线方程为 x2 ，2此时 d1d2( c a)(c a) b28.当切线 m 斜率存在时，设切线 m： y kx t，代入 x2 y28，整理得： x2( kx t)28，即(1 k2)x22 tkx( t28)0. (2 tk)24(1 k2)(t28)0，化简得 t28 k28.又由 kx y t0， d1 ， d2 ，| 4k t|k2 1 |4k t|k2 1d1d2 8,8 为常数|16k2 t2|k2 1 |16k2
10、(8k2 8)|k2 1综上，对任意切线 m， d1d2是常数.圆锥曲线统一定义的应用例 3 已知定点 A(2， )，点 F 为椭圆 1 的右焦点，点 M 在椭圆上运动，3x216 y212求 AM2 MF 的最小值，并求此时点 M 的坐标思路点拨 利用统一定义把 MF 转化为点 M 到相应准线的距离，数形结合便可迎刃而解精解详析 a4， b2 ， c 2.3 a2 b2离心率 e .A 点在椭圆内，设 M 到右准线的距离为 d，则 e，即 MF ed d，12 MFd 12右准线 l： x8. AM2 MF AM d. A 点在椭圆内，过 A 作 AK l(l 为右准线)于 K，交椭圆于点
11、M0.则 A、 M、 K 三点共线，即 M 与 M0重合时， AM d 最小为 AK，其值为 8(2)10.故 AM2 MF 的最小值为 10，此时 M 点坐标为(2 ， )3 3一点通 圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，6实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对应5已知双曲线 1 的右焦点为 F，点 A(9,2)， M 为双曲线上的动点，则x29 y216MA MF 的最小值为_35解析：双曲线离心率 e ，由圆锥曲线统一定义知 e(d 为点 M 到右准线 l 的距离)，53 MFd右准线 l 的方程为 x ，显然当 A
12、M l 时， AM d 最小，95而 AM MF MA de MA d.35 35而 AM d 的最小值为 A 到 l 的距离为 9 .95 365答案：3656若点 P 的坐标是(1，3)， F 为椭圆 1 的右焦点，点 Q 在椭圆上移动，x216 y212当 QF PQ 取得最小值时，求点 Q 的坐标，并求出最小值12解：在 1 中 a4， b2 ， c2，x216 y212 3 e ，椭圆的右准线 l： x8，12过点 Q 作 QQ l 于 Q，则 e.QFQQ QF QQ.12 QF PQ QQ PQ (QQ PQ)12 12 12 12要使 QQ PQ 最小，由图可知 P、 Q、 Q
13、三点共线，所以由 P 向准线 l 作垂线，与椭圆的交点即为 QF PQ 最小时的点 Q，12 Q 的纵坐标为3，代入椭圆得： Q 的横坐标为 x2. Q 为(2，3)，此时 QF PQ .12 927圆锥曲线的准线、离心率的求解及应用例 4 求椭圆 1 的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线且离心率互x216 y225为倒数的双曲线方程思路点拨 由方程确定 a、 c，从而求 e 与准线，由椭圆的准线、离心率再确定双曲线的实轴、虚轴长，求出双曲线的方程精解详析 由 1 知 a5， b4， c3.x216 y225e ，准线方程为 y .ca 35 253设双曲线虚半轴长为 b，实半轴长为 a
14、，半焦距为 c，离心率为 e，则 e ，又 .1e 53 a2c a 2c 253解得： a ， c ， b 2 .1259 62527 250 000729双曲线方程为 1.81y215 625 729x2250 000一点通 此类问题首先判断该圆锥曲线是什么曲线，然后化成标准方程，确定出a、 b、 c、 p，进而求离心率和准线方程7(天津高考)已知抛物线 y28 x 的准线过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点， x2a2 y2b2且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_解析：抛物线 y28 x 的准线 x2 过双曲线的一个焦点，所以 c2，又离心率为2，所以 a1， b ，所以该双
15、曲线的方程为 x2 1.c2 a2 3y23答案： x2 1y238已知椭圆 1( ab0)的焦距为 2 ，若一双曲线与此椭圆共焦点，且它的x2a2 y2b2 10实轴长比椭圆的长轴长短 8，双曲线的离心率与椭圆的离心率之比是 51，求椭圆和双曲线的方程，并求其相应的准线方程解：设 a， b分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长，依题意有Error! 解得Error!所以椭圆的短半轴长 b ，a2 c2 15双曲线的虚半轴长 b 3.c2 a 28故椭圆和双曲线的方程分别是 1 和 x2 1.x225 y215 y29椭圆的准线方程为 x ，5210双曲线的准线方程为 x .10101圆锥曲线的判断
16、：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是：(1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义2圆锥曲线共同特征的应用：设 F 为圆锥曲线的焦点， A 为曲线上任意一点， d 为点 A 到定直线的距离，由 e 变AFd形可得 d .由这个变形可以实现由 AF 到 d 的转化，借助 d 则可以解决一些最值问题AFe对应课时跟踪训练(十四) 1双曲线 2x2 y216 的准线方程为_解析：原方程可化为 1.y216 x28 a216， c2 a2 b216824，
17、c2 .6准线方程为 y .a2c 1626 463答案： y4632设 P 是椭圆 1 上一点， M， N 分别是两圆：( x4) 2 y21 和( x4)x225 y292 y21 上的点，则 PM PN 的最小值、最大值分别为_解析： PM PN 最大值为 PF11 PF2112，最小值为 PF11 PF218.答案：8,1293到直线 y4 的距离与到 A(0，2)的距离的比值为 的点 M 的轨迹方程为2_解析：设 M(x， y)，由题意得 .|y 4|x2 (y 2)2 2化简得 1.y28 x24答案： 1y28 x244(福建高考)椭圆 ： 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1
18、， F2，焦距为 2c.若x2a2 y2b2直线 y (x c)与椭圆 的一个交点 M 满足 MF1F22 MF2F1，则该椭圆的离心率等于3_解析：直线 y (x c)过点 F1( c,0)，且倾斜角为 60，所以 MF1F260，从3而 MF2F130，所以 MF1 MF2.在 Rt MF1F2中， MF1 c， MF2 c，所以该椭圆的离心3率 e 1.2c2a 2cc 3c 3答案： 135已知椭圆 1 内部的一点为 A ， F 为右焦点， M 为椭圆上一动点，则x24 y22 (1， 13)MA MF 的最小值为_ 2解析：设 M 到右准线的距离为 d，由圆锥曲线定义知 ，右准线方程
19、为 x 2 .MFd 22 a2c 2 d MF.2 MA MF MA d.2由 A 向右准线作垂线，垂线段长即为 MA d 的最小值， MA d2 1.2答案：2 126已知椭圆 1 上有一点 P，到其左、右两焦点距离之比为 13，求点 P 到x2100 y236两准线的距离及点 P 的坐标解：设 P(x， y)，左、右焦点分别为 F1、 F2.由已知的椭圆方程可得 a10， b6， c8， e ，准线方程为 x .ca 45 252 PF1 PF22 a20，且 PF1 PF213， PF15， PF215.设 P 到两准线的距离分别为 d1、 d2，则10由 e ，得 d1 ， d2 .
20、PF1d1 PF2d2 45 254 754 x x ， x .a2c 252 254 254代入椭圆方程，得 y .3394点 P 的坐标为 或 .(254， 3394 ) ( 254， 3394 )7已知平面内的动点 P 到定直线 l： x2 的距离与点 P 到定点 F( ，0)之比为 .2 2 2(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)若点 N 为轨迹 C 上任意一点(不在 x 轴上)，过原点 O 作直线 AB，交(1)中轨迹 C 于点 A、 B，且直线 AN、 BN 的斜率都存在，分别为 k1、 k2，问 k1k2是否为定值？解：(1)设点 P(x， y)，依题意，有 .(x r(
21、2)2 y2|x 2 2| 22整理，得 1.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x24 y22 1.x24 y22(2)由题意，设 N(x1， y1)， A(x2， y2)，则 B( x2， y2)， 1， 1.x214 y212 x24 y22k1k2 y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2 y21 y2x21 x2 ，为定值2 12x21 2 12x2x21 x2 128已知双曲线 1( a0， b0)的左、右两个焦点分别为 F1， F2， P 是左支上一x2a2 y2b2点， P 到左准线的距离为 d，双曲线的一条渐近线为 y x，问是否存在点 P，使3d、 PF1、 PF2成等比数
22、列？若存在，则求出 P 的坐标，若不存在，说明理由解：假设存在点 P，设 P(x， y)双曲线的一条渐近线为 y x，3 ， b23 a2， c2 a23 a2.ba 3 2.ca若 d、 PF1、 PF2成等比数列，则 2， PF22 PF1.PF2PF1 PF1d11又双曲线的准线为 x ，a2c PF1 |2 x0 a|，|2x0 2a2c|PF2 |2 x0 a|.|2x0 2a2c|又点 P 是双曲线左支上的点， PF12 x0 a， PF22 x0 a.代入得2 x0 a2(2 x0 a)，x0 a.32代入 1 得 y0 a.x2a2 y2b2 152存在点 P 使 d、 PF1、 PF2成等比数列，P .(32a， 152a)
