1、1第 2 章 圆锥曲线与方程对应学生用书 P46一、圆锥曲线的意义1椭圆平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(1)焦点：两个定点 F1， F2叫做椭圆的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2双曲线平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线(1)焦点：两个定点 F1， F2叫做双曲线的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 3抛物线平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线
2、二、圆锥曲线的标准方程及几何性质1椭圆的标准方程和几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1( a b0)x2a2 y2b2 1( a b0)y2a2 x2b2范围 a x a， b y b a y a， b x b顶点 (a,0)，(0， b) (0， a)，( b,0)轴长 短轴长2 b，长轴长2 a焦点 (c,0) (0， c)焦距 F1F22 c对称性 对称轴 x 轴， y 轴，对称中心(0,0)离心率 01ca3. 抛物线的标准方程和几何性质类型 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)图形焦点 (p2， 0)
3、 ( p2， 0) (0， p2) (0， p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 (0,0)离心率 e1开口方向 向右 向左 向上 向下3三、圆锥曲线的统一定义(1)定义：平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离比等于常数 e 的点的轨迹当 01 时，表示双曲线；当 e1 时，表示抛物线其中 e 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线(2)对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点 F1( c,0)， F2(c,0)对应
4、的准线方程分别为 x ， x .a2c a2c四、曲线与方程1定义如果曲线 C 上点的坐标( x， y)都是方程 f(x， y)0 的解，且以方程 f(x， y)0 的解(x， y)为坐标的点都在曲线 C 上，那么，方程 f(x， y)0 叫做曲线 C 的方程，曲线 C 叫做方程 f(x， y)0 的曲线2求曲线的方程的方法(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为( x， y)，根据几何条件直接寻求 x、 y 之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标 x、 y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线
5、的方程，由此即可求得所求动点坐标 x、 y 之间的关系式(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标( x， y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程对 应 阶 段 质 量 检 测 (二 )见 8开 试 卷 (时间 120 分钟，满分 160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y29解析：令 0，解
6、得 y x.x216 y29 34答案： y x342抛物线 y24 x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是_y234解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为 y x，所以所3求距离为 .|31 0|1 3 32答案：323方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 a 的取值范围是_x2(a 1)2 y2a2解析：由题意得Error!解之得 a0， b0)与圆 x2 y22 a2的一个交点， F1， F2分别是x2a2 y2b2双曲线的左、右焦点，且 PF13 PF2，则双曲线的离心率为_解析：由Error!得 PF13 a， PF2 a，设 F1OP ，则 PO
7、F2180 ，在 PF1O 中，PF OF OP22 OF1OPcos ，21 21在 OPF2中，PF OF OP22 OF2OPcos(180 ) ，2 2由 cos(180 )cos 与 OP a，2得 c23 a2， e .ca 3aa 3答案： 36已知动圆 P 与定圆 C：( x2) 2 y21 相外切，又与定直线 l： x1 相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_解析：设 P(x， y)，动圆 P 在直线 x1 的左侧，其半径等于 1 x，则 PC1 x1，5即 2 x.(x 2)2 y2 y28 x.答案： y28 x7已知双曲 C1 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛
8、物线 C2： x22 py(p0)的焦x2a2 y2b2点到双曲线 C1的渐进线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为_解析：双曲线 C1： 1( a0， b0)的率心率为 2. 2， b a.x2a2 y2b2 ca a2 b2a 3双曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线 C2： x22 py(p0)的焦点 到双曲线的渐3 (0，p2)近线的距离为 2.| 30p2|2 p8.所求的抛物线方程为 x216 y.答案： x216 y8过抛物线 x28 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)两点，若y1 y28，则 P1P2的值为_解析：由题意知 p4，由抛物
9、线的定义得 P1P2 P1F P2F ( y1 y2)(y1p2) (y2 p2) p8412.答案：129椭圆 1 的右焦点到直线 y x 的距离是_x24 y23 33解析：椭圆 1 的右焦点为(1,0)，x24 y23右焦点到直线 x3 y0 的距离 d .333 9 12答案：1210已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F， C 与过原点的直线相交于 A， B 两x2a2 y2b2点，连接 AF， BF.若 AB10， BF8，cos ABF ，则 C 的离心率为_45解析：在 ABF 中，AF2 AB2 BF22 ABBFcos ABF10 28 22108 36，则 AF6.
10、由45AB2 AF2 BF2可知， ABF 是直角三角形， OF 为斜边 AB 的中线， c OF 5.设椭圆的AB26另一焦点为 F1，因为点 O 平分 AB，且平分 FF1，所以四边形 AFBF1为平行四边形，所以BF AF18.由椭圆的性质可知 AF AF1142 aa7，则 e .ca 57答案：5711(新课标全国卷改编)已知椭圆 E： 1( ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点x2a2 y2b2F 的直线交 E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_解析：因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y (x3)，代1
11、2入椭圆方程 1 消去 y，得 x2 a2x a2 a2b20，x2a2 y2b2 (a24 b2) 32 94所以 AB 的中点的横坐标为 1，即 a22 b2，32a22(a24 b2)又 a2 b2 c2，所以 b c3.所以 E 的方程为 1.x218 y29答案： 1x218 y2912抛物线 y212 x 截直线 y2 x1 所得弦长等于_解析：令直线与抛物线交于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 4x28 x10， x1 x22， x1x2 ，14 AB (1 22)(x1 x2)2 .5(x1 x2)2 4x1x2 15答案： 1513以椭圆的焦距为
12、直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_解析：如图，设椭圆的方程为 1( a b0)，焦半径为 c.x2a2 y2b2由题意知 F1AF290， AF2F160. AF2 c，AF12 csin 60 c.3 AF1 AF22 a( 1) c.3 e 1.ca 23 1 37答案： 1314给出如下四个命题：方程 x2 y22 x10 表示的图形是圆；椭圆 1 的离心率 e ； 抛物线 x2 y2的准线的方程是 x ；双曲线x23 y22 53 18 1 的渐近线方程是 y x.y249 x225 57其中所有不正确命题
13、的序号是_解析：表示的图形是一个点(1,0)； e ；33渐近线的方程为 y x.75答案：二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)求与椭圆 1 有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方x2144 y2169程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程解：椭圆 1 的焦点是(0，5)，(0,5)，焦点在 y 轴上，x2144 y2169于是设双曲线方程是 1( a0， b0)，y2a2 x2b2又双曲线过点(0,2)， c5， a2， b2 c2 a225421，双曲线的标准方程是 1，实轴长为 4，y
14、24 x221焦距为 10，离心率 e ，ca 52渐近线方程是 y x.2212116(本小题满分 14 分)已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，若| AB|8，求直线 l 的方程解：抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，当直线 l 斜率不存在时，| AB|4，不合题意设直线 l 的方程为 y k(x1)，代入 y24 x，整理得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知 k0，则 x1 x2 .2k2 4k2由抛物线定义知，8|AB| AF| BF| x11 x21 x1
15、x22， x1 x228，即 28.2k2 4k2解得 k1.所以直线 l 的方程为 y( x1)，即 x y10， x y10.17(本小题满分 14 分) 如图， F1， F2分别是椭圆C： 1( ab0)的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个x2a2 y2b2交点， F1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知 AF1B 的面积为 40 ，求 a， b 的值3解：(1)由题意可知， AF1F2为等边三角形， a2 c，所以 e .12(2)法一： a24 c2， b23 c2，直线 AB 的方程为 y (x c)3代入椭圆方程 3x24
16、 y212 c2，得 B .(85c， 335c)所以| AB| | c0| c.1 385 165由 S AF1B |AF1|AB|sin F1AB a c a240 ，解得12 12 165 32 235 3a10， b5 .3法二：设 AB t.因为| AF2| a，所以| BF2| t a.由椭圆定义 BF1 BF22 a 可知， BF13 a t.由余弦定理得(3 a t)2 a2 t22 atcos 60可得，t a.85由 S AF1B a a a240 知，12 85 32 235 3a10， b5 .318(浙江高考)(本小题满分 16 分)如图，点 P(0，1)是椭圆 C1
17、： 1( ab0)x2a2 y2b2的一个顶点， C1的长轴是圆 C2： x2 y24 的直径 l1， l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，9其中 l1交圆 C2于 A， B 两点， l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程；(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程解：(1)由题意得Error!所以椭圆 C1的方程为 y21.x24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1的方程为 y kx1.又圆 C2： x2 y24，故点 O 到直线 l1的距离 d ，1k2 1所以 AB2 2
18、 .4 d24k2 3k2 1又 l2 l1，故直线 l2的方程为 x ky k0.由Error! 消去 y，整理得(4 k2)x28 kx0，故 x0 ， y0 1.8k4 k2 84 k2所以 PD .8k2 14 k2设 ABD 的面积为 S，则 S ABPD ，12 84k2 34 k2所以 S ，324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313当且仅当 k 时取等号102所以所求直线 l1的方程为 y x1.10219(陕西高考)(本小题满分 16 分)已知动点 M(x， y)到直线 l： x4 的距离是它到点N(1,0)的距离的 2 倍(1)求动点 M
19、 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A， B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率10解：(1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意 d2| MN|.由此得|4 x|2 ，(x 1)2 y2化简得 1，x24 y23所以，动点 M 的轨迹方程为 1.x24 y23(2)法一：由题意，设直线 m 的方程为 y kx3，A(x1， y1)， B(x2， y2)将 y kx3 代入 1 中，x24 y23有(34 k2)x224 kx240，其中 (24 k)2424(34 k2)96(2 k23)0，故 k2 .32由根与系数的关系得，x
20、1 x2 ，24k3 4k2x1x2 .243 4k2又因为 A 是 PB 的中点，故 x22 x1，将代入，得x1 ， x ，8k3 4k2 21 123 4k2可得 2 ，且 k2 ，(8k3 4k2) 123 4k2 32解得 k 或 k ，32 32所以直线 m 的斜率为 或 .32 32法二：由题意，设直线 m 的方程为 y kx3， A(x1， y1)， B(x2， y2) A 是 PB 的中点， x1 ，x2211y1 .3 y22又 1，x214 y213 1，x24 y23联立，解得Error!或Error!即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)，所以直线 m 的斜率为 或
21、 .32 3220(湖南高考)(本小题满分 16 分)过抛物线 E： x22 py(p0)的焦点 F 作斜率分别为k1， k2的两条不同直线 l1， l2，且 k1 k22， l1与 E 相交于点 A， B， l2与 E 相交于点C， D，以 AB， CD 为直径的圆 M，圆 N(M， N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10， k20，证明： F 0， k20， k1 k2，所以 00，所以点 M 到直线 l 的距离d |2pk21 pk1 p|5 p|2k21 k1 1|5 .p2(k1 14)2 785故当 k1 时， d 取最小值 .14 7p85由题设， ，解得 p8.7p85 755故所求的抛物线 E 的方程为 x216 y.
