1、132.1 直线的方向向量与平面的法向量对 应 学 生 用 书 P63直线的方向向量a1， a2， a3an是一组非零共线向量，表示向量 a1的有向线段所在直线与直线 l平行问题 1：表示向量 a2， a3， an的有向线段所在直线与直线 l的关系怎样？提示：平行或重合问题 2：如何表示 a1， a2an与直线 l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线 l的方向， a1， a2， an与该向量共线直线 l上的向量 e(e0)以及与 e共线的非零向量叫做直线 l的方向向量.平面的法向量直线 l与平面 垂直， l1， l2是平面 内的两条直线问题 1：表示直线 l的方向向量的有向线段所在的直线与平
2、面 是否垂直？提示：垂直因为这些直线与 l平行或重合问题 2：直线 l的方向向量与直线 l1， l2的方向向量是否垂直？提示：垂直1如果表示非零向量 n的有向线段所在直线垂直于平面 ，那么称向量 n垂直于平面 ，记作 n .此时，我们把向量 n叫做平面 的法向量2与平面垂直的直线叫做平面的法线因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量1一条直线有无数个方向向量，它们共线一个平面有无数个法向量，它们也共线2平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量3给定一点 A和一个向量 a，那么过点 A，以向量 a为法向量的平面是惟一的2对 应 学 生 用 书 P63利用直线方向向量和平面的法向量判定线面位
3、置关系例 1 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系：(1)平面 ， 的法向量分别是 u(1,1，2)， v ；(3， 2， 12)(2)直线 l的方向向量 a(6,8,4)，平面 的法向量 u(2,2，1)思路点拨 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系精解详析 (1) u(1,1，2)， v ，(3， 2， 12) uv(1,1，2) 3210，(3， 2， 12) uv ，故 .(2) u(2,2，1)， a(6,8,4)， ua(2,2，1)(6,8,4)121640， ua ，故 l 或 l .一点通1两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直
4、)2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行3两个平面的法向量共线时，两平面平行1若两条直线 l1、 l2的方向向量分别为 a(1,2，2)， b(2，4,4)，则 l1与l2的位置关系为_解析： b2 a， a b，即 l1 l2或 e1与 e2重合答案：平行或重合2根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线 l1， l2的方向向量分别是 a(1，3，1)， b(8,2,2)；(2)平面 ， 的法向量分别是 u(1,3,0)， v(3，9，0)；(3)直线 l的方向向量，平面 的法向量分别是 a(1，4，3)， u
5、(2,0,3)；(4)直线 l的方向向量，平面 的法向量分别是 a(3,2,1)， u(1,2，1)3解：(1) a(1，3，1)， b(8,2,2)， ab8620， a b，即 l1 l2.(2) u(1,3,0)， v(3，9,0)， v3 u， v u，即 .(3) a(1，4，3)， u(2,0,3)， au0 且 a ku(kR)， a与 u既不共线也不垂直，即 l与 相交但不垂直(4) a(3,2,1)， u(1,2，1)， au3410， a u，即 l 或 l .平面的法向量的求解及应用例 2 已知点 A(3,0,0)， B(0,4,0)， C(0,0,5)，求平面 ABC的
6、一个单位法向量思路点拨 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量精解详析 由于 A(3,0,0)， B(0,4,0)， C(0,0,5)，所以 B(3,4,0)，(3,0,5)设平面 ABC的法向量为 n( x， y， z)，则有 n 0，且 n 0，即Error! 取 z1，得 x ， y ，53 54于是 n .又| n| ，(53， 54， 1) 76912所以平面 的单位法向量是n0 .(20769， 15769， 12769)一点通 求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量 AC、 B.(2)设平面法向量的坐标为 n( x， y， z)(3
7、)联立方程组Error!并解答(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其4他坐标(常数不能为 0)3已知平面 经过三点 A(1,2,3)， B(2,0，1)， C(3，2,0)，试求平面 的一个法向量解： A(1,2,3)， B(2,0，1)， C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)设平面 的一个法向量是 n( x， y， z)依题意应有 n 0 且 nA0.即Error! 解得 z0，且 x2 y.令 x2，则 y1平面 的一个法向量是 n(2,1,0)4.如图所示，在四棱锥 S ABCD中，底面是直角梯形， ABC90，SA底面 ABCD，且
8、SA AB BC1， AD ，求平面 SCD与平面 SBA的一12个法向量解：因为 AD、 AB、 AS是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A xyz，则 A(0,0,0)， D( ，0,0)， C(1,1,0)， S(0,0,1)，12则 C ， .(12， 1， 0) ( 12， 0， 1)由题意易知向量 ( ，0,0)是平面 SAB的一个法向量12设 n( x， y， z)为平面 SDC的法向量，则Error!即Error!取 x2，则 y1， z1，平面 SDC的一个法向量为(2，1,1)5.如图所示，四棱锥 V ABCD，底面 ABCD为正方形， VA平面ABCD，以这五
9、个顶点为起点和终点的向量中，求：5(1)直线 AB的方向向量；(2)求证： BD平面 VAC，并确定平面 VAC的法向量解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线 AB的方向向量有：AB、 、 CD、 四个(2)底面 ABCD为正方形， BD AC. VA平面 ABCD， BD平面 ABCD， BD VA，又 AC VA A， BD平面 VAC，所以平面 VAC的法向量有 BD、 两个确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量对应课时跟踪训练(二十三) 1若直线 l平面
10、 ，且 l的方向向量为( m,2,4)，平面 的法向量为 ，(12， 1， 2)则 m为_解析： l的方向向量与平面 的法向量平行 . m1.m12 21 42答案：12设 A是空间任意一点， n为空间任一非零向量，则适合条件 AMn0 的点 M的轨迹是_解析： Mn0 称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念答案：过点 A且与向量 n垂直的平面3设直线 l1的方向向量为 a(2，1,2)，直线 l2的方向向量为 b(1,1， m)，若l1 l2，则 m_.解析： l1 l2，212 m0. m .12答案：124在空间中，已知平面 过点 A(3,0,0)和 B(0,4,0)及 z轴上一
11、点 C(0,0， a)(a0)，如果平面 与平面 xOy的夹角为 45，则 a_.6解析：平面 xOy的法向量为 n(0,0,1)， AB(3,4,0)， AC(3,0， a)，设平面 的法向量为 u( x， y， z)，则Error!则 3x4 y az，取 z1，则 u ，(a3， a4， 1)故 cos n， u .1a29 a216 1 22又 a0， a .125答案：1255已知 a(1,4,3)， b(3， x， y)分别是直线 l1、 l2的方向向量，若 l1 l2，则x_， y_.解析：由 l1 l2，得 ，解得 x12， y9.13 4x 3y答案：12 96已知 A(2,
12、2,2)， B(2,0,0)， C(0,2，2)，(1)写出直线 BC的一个方向向量；(2)设平面 经过点 A，且是 的法向量， M(x， y， z)是平面 内任一点，试写出 x、 y、 z满足的关系式解：(1) B(2,0,0)， C(0,2，2)，(2,2，2)，即(2,2，2)为直线 BC的一个方向向量(2)由题意 AM( x2， y2， z2)， BC平面 ， AM ， BC AM.(2,2，2)( x2， y2， z2)0.2( x2)2( y2)2( z2)0.化简得 x y z20.7在正方体 ABCD A1B1C1D1中，(1)求平面 ABCD的一个法向量；(2)求平面 A1B
13、C1的一个法向量；(3)若 M为 CD的中点，求平面 AMD1的一个法向量7解：以 A为坐标原点，分别以 AB， D， 1所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 a.(1)平面 ABCD即为坐标平面 xOy， n1(0,0,1)为其一个法向量(2) B1D平面 A1BC1，又(0， a,0)( a,0， a)( a， a， a)， n2 1(1,1，1)为平面 A1BC1的一个法向量1a(3)设 n( x0， y0， z0)为平面 AMD1的一个法向量， AM ， 1D(0， a， a)，(a2， a， 0)Error!令 x02，则 y01， z01， n(2，
14、1,1)为平面 AMD1的一个法向量8.如图，已知 ABCD A1B1C1D1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示 AB3， BC4， AA12.(1)求平面 B1CD1的一个法向量；(2)设 M(x， y， z)是平面 B1CD1内的任意一点，求 x， y， z满足的关系式解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系 A xyz中，各点坐标为 B1(3,0,2)， C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得 1C(0,4，2)， 1CD(3,0,2)；设平面 B1CD1的一个法向量为 a( x， y， z)，则 a ， a 1，从而 a 1B0， a 1C0，所以 0x4 y2 z0，3 x0 y2 z0，解方程组Error!得到Error!不妨取 z6，则 y3， x4.所以 a(4,3,6)就是平面 B1C1D的一个法向量8(2)由题意可得 1BM( x3， y， z2)，因为 a(4,3,6)是平面 B1CD1的一个法向量，所以 a 1，从而 a 0，即 4(x3)3 y6( z2)0,4 x3 y6 z24，所以满足题意的关系式是 4x3 y6 z24.
