1、121.1 合情推理第一课时 归纳推理问题 1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电问题 2：由问题 1 你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电 问题 3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压(水银柱/毫米) 110 115 120 125 130 135 145舒张压(水银柱/毫米) 70 73 75 78 80 83 88提示：140 85问题 4：由问题 3 中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高问题 5：数列 a
2、n的前五项为 1,3,5,7,9 试写出 an.提示： an2 n1( nN *)1推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么2归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(2)归纳推理的思维过程如图 实 验 、 观 察 概 括 、 推 广 猜 测 一 般 性 结 论(3)归纳推理的特点2归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超
3、越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题1归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围2归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质3归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的4观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据5由归纳推理所得到的结论
4、未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一对 应 学 生 用 书 P13归纳推理在数列中的应用例 1 已知数列 an的第 1 项 a11，且 an1 (n1,2，)，求出an1 ana2， a3， a4，并推测 an.思路点拨 数列的通项公式表示的是数列 an的第 n 项 an与序号 n 之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出 n 与 an的关系即可解决精解详析 当 n1 时， a11；当 n2 时， a2 ；11 1 12当 n3 时， a3 ；121 12 133当 n4 时， a4 .13
5、1 13 14观察可得，数列的前 4 项等于相应序号的倒数由此猜想，这个数列的通项公式为an .1n一点通 在求数列的通项与前 n 项和时，经常用归纳推理得出结论这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与 n 的关系，往往会较简捷地获得结论1已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn .求出 a1， a2， a3， a4，12(an 1an)并推测 an.解： Sn ， a1 ， a 1.12(an 1an) 12(a1 1a1) 21又 an0， a11；a1 a2 ，即 1 a2 ， a2 1；12(a2 1a2) 12 12a
6、2 2a1 a2 a3 ，12(a3 1a3)即 a3 ， a3 ；212 12a3 3 2a1 a2 a3 a4 ，12(a4 1a4) a4 ， a42 ；312 12a4 3观察可得， an .n n 12已知数列 an中， a26， n.an 1 an 1an 1 an 1(1)求 a1， a3， a4；(2)猜想数列 an的通项公式解：(1)由 a26， 1，得 a11.a2 a1 1a2 a1 1由 2，得 a315.a3 a2 1a3 a2 1由 3，得 a428.a4 a3 1a4 a3 1故 a11， a315， a428.4(2)由 a111(211)；a262(221)；
7、a3153(231)；a4284(241)，猜想 an n(2n1)归纳推理在不等式中的应用例 2 对任意正整数 n，试归纳猜想 2n与 n2的大小关系思路点拨 给 n从 小 到 大 赋 值 计 算 各 式 的 值 比 较 大 小 归 纳 猜 想精解详析 当 n1 时，2 112；当 n2 时，2 22 2；当 n3 时，2 352；当 n6 时，2 662.归纳猜想，当 n3 时，2 n43；n4 时，4 554， n5 时；5 665.据此猜想，当 n(n1) n.归纳推理在图形推理中的应用例 3 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中 1,3,6,10 这些数能够
8、表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第 n 个三角形数思路点拨 将 1,3,6,10 分别写成 ， ， ， ，据此可完成本题122 232 342 452的求解精解详析 观察项与项数的关系特点如下：项 1 2 3 4项数 122 232 342 452分析：项的各分母均为 2，分子分别为相应项数与相应项数与 1 和的积归纳：第 n 个三角形数应为 (nN *)n(n 1)2一点通 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般
9、需转化为求数列的通项公式或前 n项和等5下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：6设第 n 个图有 an个树枝，则 an1 与 an(n1)之间的关系是_解析：由图可得，第一个图形有 1 根树枝， a11，第 2 个图形有 3 根树枝，即 a23，同理可知：a37, a415， a531.归纳可知： a232112 a11，a372312 a21，a4152712 a31，a53121512 a41，由归纳推理可猜测： an1 2 an1.答案： an1 2 an16根据下图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第 n 个图中点的个数.解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.
10、又 1101；3112；7123,13134,21145.结合项数与项的关系猜想第 n 个图中点的个数为：1( n1) n，即为n2 n1( nN *)答案： n2 n1( nN *)归纳推理在数阵中的应用例 4 如图是杨辉三角的前 5 行，请试写出第 8 行，并归纳、猜想一般规律思路点拨 由杨辉三角的前 5 行总结各行数字的规律，由此寻找第 8 行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律7精解详析 第 8 行：1 7 21 35 35 21 7 1.一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是 1，其余数字等于它肩上两数字之和；(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两
11、项相等且最大一点通 解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：(1)明确各行、各列数的大小；(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n3)行的从左至右的第 3 个数是_解析：第 1 行，第 2 行，第 3 行，分别有 1,2,3，个数字，且每个数字前后差 1，则第 n1 行的最后一个数字加 3 即为第 n(n3)行的从左至右的第3 个数，前 n1 行共有数字 123( n1) ，则第 n(n3)行的从左至右n(n 1)2的第 3 个数为 3 .n(n 1)2 n2 n 62答案：
12、n2 n 628.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设 aij(i， jN *)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 行如a428，若 aij2 009.则 i 和 j 的和为_解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009 为第 1 005 个奇数，又前 31 个奇数行内数的个数的和为 961，前 32 个奇数行内数的个数的和为 1 024，故 2 009 在第 32个奇数行内，所以 i63，因为第 63 行的第一个数为 296211 923,2 0091 9232( m1)，所以 m44，即 j44
13、，所以 i j107.答案：1071归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 2224 8(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论(3)猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明对 应 学 生 用 书 P15一、填空题1(陕西高考)观察下列等式(11)21(21)(22)2 213(31)(32)(33)2 3135照此规律， 第
14、 n 个等式可为_解析：观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次为( n1)，( n n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式为：( n1)( n2)( n3)( n n)2 n135(2n1)答案：( n1)( n2)( n3)( n n)2 n135(2n1)2已知 f1(x)cos x， f2(x) f1( x)， f3(x) f2( x)， f4(x) f3( x)， fn(x) fn1 ( x)，则 f2 014(x)_.解析： f1(x)cos x， f2(x) f1( x)sin x，f3(x) f2( x)cos x， f4(x) f3( x)sin x
15、，f5(x) f4( x)cos x，再继续下去会重复出现，周期为 4， f2 014(x) f2(x)sin x.答案：sin x3根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos cos ；cos 2 2cos 2 1；cos 3 4cos 3 3cos ；cos 4 8cos 4 8cos 2 1；cos 5 16cos 5 20cos 3 5cos 9依照规律猜想 cos 6 32cos 6 mcos4 ncos2 1.则 m n_.解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是 1，即 32 m n11. m n30.答案：304已知 an n，把数列 an的各项排成如下的三角形：(
16、13)a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9记 A(s， t)表示第 s 行的第 t 个数，则 A(11,12)_. 解析：每行对应的元素个数分别为 1,3,5 ，那么第 10 行最后一个数为 a100，则第11 行的第 12 个数为 a112，即 A(11,12) a112 112.(13)答案： 112(13)5经计算发现下列不等式： 2 ， 2 ， 2 18 10 4.5 15.5 10 2 ，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a， b 都成立3 2 17 2 10的条件不等式：_.解析：21820,4.515.520,3 17 20，即各不等式左边两根号内2 2的数之
17、和等于 20，右侧均为 2 .10答案：当 a b20， a， b(0，)时，有 2a b 10二、解答题6已知 2 ， 3 ， 4 ，若 6 (a， b 均为2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 ab ab实数)，请推测 a， b 的值解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，而分母是这个分子的平方减 1，由此推测 中， a6， b6 2135，6 ab即 a6， b35.7在平面内观察：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，凸六边形有 9 条10对角线由此猜出凸 n 边形有几条对角线？
18、解：凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，比凸四边形多 3 条；凸六边形有 9 条对角线，比凸五边形多 4 条；于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸 n1 边形多 n2 条对角线，由此凸 n 边形对角线条数为 2345( n2) n(n3)( n4， nN *)128观察：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101；tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广解：观察到 10206090，5107590，因此猜测此推广为 ， 2且 、 、 都不为 k ， kZ， 2则 tan tan tan tan tan tan 1.证明如下：由 得 ， 2 2tan( )tan cot .( 2 )又tan( ) ，tan tan 1 tan tan tan tan tan( )(1tan tan )cot (1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )cot tan tan 1tan tan tan tan 1.11
