1、1第二课时 类比推理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征1类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类
2、比推理，简称类比法其思维过程为： 观 察 、 比 较 联 想 、 类 推 猜 测 新 的 结 论2合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理类比推理的特点主要体现在以下几个方面： (1)类比推理是从特殊到特殊的推理(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征对 应 学 生 用 书 P16类
3、比推理在数列中的应用例 1 在等差数列 an中，若 a100，则有等式a1 a2 an a1 a2 a19 n(n0，则数列 dn_( nN *)也是等比数列答案： nc1c2c3cn2已知命题：若数列 an为等差数列，且 am a， an b(m n， m， nN *)，则 am n.现已知等比数列 bn(bn0， nN *)，且 bm a， bn b(m n， m， nN *)，类比上述bn amn m结论，求 bm n.解：等差数列通项 an与项数 n 是一次函数关系，等比数列通项 bn与项数 n 是指数型函数关系利用类比可得 bm n .(bnam) 1n m n mbnam类比推理在
4、几何中的应用例 2 如图，在三棱锥 S ABC 中， SA SB， SB SC， SA SC，且SA、 SB、 SC 和底面 ABC 所成的角分别为 1、 2、 3，三侧面 SBC，3SAC， SAB 的面积分别为 S1， S2， S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想思路点拨 在 DEF 中，有三条边，三个角，与 DEF 相对应的是四面体 S ABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是 SA， SB， SC 与底面 ABC 所成的三个线面角 1， 2， 3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中精解详析
5、 在 DEF 中，由正弦定理，得 .于是，类比三角形dsin D esin E fsin F中的正弦定理，在四面体 S ABC 中，我们猜想 成立S1sin 1 S2sin 2 S3sin 3一点通 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形类比平面图形 空间图形点 线线 面边长 面积面积 体积线线角 二面角三角形 四面体3在平面中 ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分 ABC 面积所成的比 ，将这S AECS BEC ACBC个结论类比到空间：在三棱锥
6、 A BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A CD B 且与 AB 交于 E，则类比的结论为_图(1) (2)解析：平面中的面积类比到空间为体积，4故 类比成 .S AECS BEC VA CDEVB CDE平面中的线段长类比到空间为面积，故 类比成 .ACBC S ACDS BCD故有 .VA CDEVB CDE S ACDS BDC答案： VA CDEVB CDE S ACDS BDC4.如图所示，在 ABC 中，射影定理可表示为 a bcos C ccos B，其中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解：如图所示，在四面体 PAB
7、C 中， S1， S2， S3， S 分别表示 PAB，PBC， PCA， ABC 的面积， ， ， 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S S1cos S2cos S3cos .合情推理的应用例 3 我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列 an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列 an中，如果 a1 a， a2 b，求它的前 n 项和 Sn.思路点拨 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后
8、再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前 n 项和精解详析 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列(2)由(1)知 an an1 an1 an2 ，所以 an2 an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等(3)当 n 为奇数时，令 n2 k1， kN *，则Sn S2k1 S2k2 a2k1 (a b) a2k 22 (a b) a a b；n 12 n 12 n 12当 n 为偶数时，令 n2 k， kN *，则5Sn S2k k(a b) (a b)n2所以它的前 n 项和 SnError!一点通 (1)本题是一道浅显的定义
9、类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性5类比平面向量基本定理：“如果 e1， e2是平面 内两个不共线的向量，那么对于平面 内任一向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使得 a 1e1 2e2.”写出空间向量基本定理的是_答案：如果 e1， e2， e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量 a，有且只有一组实数 1， 2， 3，使得 a 1e1 2e2 3e36已知椭圆 C： 1 具有性质：若 M， N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，点 Px
10、2a2 y2b2是椭圆 C 上任意一点，当直线 PM， PN 的斜率都存在，并记为 KPM， KPN时，那么 KPM与 KPN之积是与点 P 位置无关的定值试对双曲线 1 写出类似的性质，并加以证明x2a2 y2b2解：类似的性质：若 M， N 是双曲线 1 上关于原点对称的两点，点 P 是双曲线x2a2 y2b2上任意一点，当直线 PM， PN 的斜率都存在，并记为 KPM， KPN时，那么 KPM与 KPN之积是与点P 位置无关的定值证明如下：设 M(m， n)，则 N( m， n)，其中 1.m2a2 n2b2设 P(x， y)，由 KPM ， KPN ，y nx m y nx m得 K
11、PMKPN ，y nx m y nx m y2 n2x2 m2将 y2 x2 b2， n2 m2 b2代入得 KPMKPN .b2a2 b2a2 b2a21进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性6(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面对 应 学 生 用 书 P18一、填空题1正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是_，结论是_答案：
12、正方体 正方体的体积为棱长的立方2给出下列推理：(1)三角形的内角和为(32)180，四边形的内角和为(42)180，五边形的内角和为(52)180，所以凸 n 边形的内角和为( n2)180；(2)三角函数都是周期函数， ytan x 是三角函数，所以 ytan x 是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行其中属于合情推理的是_(填序号)解析：根据合
13、情推理的定义来判断因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理答案：(1)(3)(4)3三角形的面积为 S (a b c)r， a、 b、 c 为三角形的边长， r 为三角形内切圆的12半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为_解析： ABC 的内心为 O，连结 OA， OB， OC，将 ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是 r，底边长分别为 a， b， c；类比：设四面体 A BCD 的内切球球心为 O，连结 OA， OB， OC， OD，将四面体分割为四个以 O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为 r，所
14、以有 V (S1 S2 S3 S4)r.13答案： (S1 S2 S3 S4)r(S1， S2， S3， S4为四个面的面积， r 为内切球的半径)134在平面几何中，有射影定理：“在 ABC 中， AB AC，点 A 在 BC 边上的射影为 D，7有 AB2 BDBC.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥 A BCD 中， AD平面 ABC，点 A 在底面 BCD 上的射影为 O，则有_ ”答案： S S BOCS BCD2 ABC5已知结论：“在三边长都相等的 ABC 中，若 D 是 BC 的中点， G 是 ABC 外接圆的圆
15、心，则 2” 若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体 ABCDAGGD中，若 M 是 BCD 的三边中线的交点， O 为四面体 ABCD 外接球的球心，则 _.”AOOM解析：如图，易知球心 O 在线段 AM 上，不妨设四面体 ABCD 的边长为 1，外接球的半径为 R，则 BM ，32 23 33AM ，12 (33)2 63R ，解得 R .(63 R)2 (33)2 64于是， 3.AOOM6463 64答案：3二、解答题6已知：等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，有如下的性质：(1)通项 an am( n m)d.(2)若 m n p q，且 m， n
16、， p， qN *，则 am an ap aq.(3)若 m n2 p，且 m， n， pN *，则 am an2 ap.(4)Sn， S2n Sn， S3n S2n构成等差数列类比上述性质，在等比数列 bn中，写出相类似的性质解：设等比数列 bn中，公比为 q，前 n 项和为 Sn.(1)通项 an amqn m.(2)若 m n p q，且 m， n， p， qN *，则 aman apaq.(3)若 m n2 p，且 m， n， pN *，则 a aman.2p(4)Sn， S2n Sn， S3n S2n构成等比数列7类比圆的下列特征，找出球的相关特征8(1)平面内与定点距离等于定长的点
17、的集合是圆；(2)平面内不共线的 3 个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的 4 个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求8若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算，即 a*b ，则两边均含a b2有运算符号“*”和“” ，写出对于任意 3 个实数 a， b， c 都能成立的一个等式解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一解决这道试题要把握住 a*b ，还要注意到试题的要求不仅类比推a b2广到三个数，而且等式两边均含有运算符号 “*”和“” ，则可容易得到 a( b*c)( a b)*(a b)正确的结论还有：( a*b) c( a*c)( b*c)，( a*b) c( b*a) c 等
