1、122.2 间 接 证 明1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有” 该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福” 2已知正整数 a， b， c 满足 a2 b2 c2.求证： a， b， c 不可能都是奇数问题 1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能问题 2： a、 b、 c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件 a2 b2 c2吗？提示：都是奇数若 a、 b、 c 都是奇数，则不能满足条件 a2 b2 c2. 1间接证明不是直接从原命题
2、的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等2反证法(1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若 p 则 q”的过程可以用下面的框图表示： 肯 定 条 件 p否 定 结 论 q 导 致 逻辑 矛 盾 “p且 q”为 假 “若 p则q”为 真(2)反证法证明命题“若 p 则 q”的步骤反设 假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果存真由矛盾结果，断定反设不真，
3、从而肯定原结论成立1反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法2可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论对 应 学 生 用 书 P302用反证法证明否定性命题例 1 已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形思路点拨 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾精解详析 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、 B、 C、 D，考虑 ABC，点 D
4、的位置分为在 ABC 之内或之外两种情况(1)如果点 D 在 ABC 之内(如图(1)，根据假设围绕点 D 的三个角都是锐角，其和小于 270，这与一个周角等于 360矛盾(2)如果点 D 在 ABC 之外(如图(2)，根据假设 A， B， C， D 都小于 90，这和四边形内角之和等于 360矛盾综上所述原结论成立一点通 (1)结论中含有“不” 、 “不是” 、 “不可能” 、 “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)” ；
5、第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”反证法属“间接解题方法” 1实数 a、 b、 c 不全为 0 等价于_(填序号) a， b， c 全不为 0； a， b， c 中最多只有一个为 0； a， b， c 中只有一个不为0； a， b， c 中至少有一个不为 0.解析：“不全为 0”等价于“至少有一个不为 0”答案：2.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 M 是 A1D1的中点，点 N 是 CD 的中点，用反证法证明直线 BM 与直线 A1N 是两条异面直线解：假设直线 BM 与 A1N 共面则 A1D1平面 A1BND1，且平面 A1BND1平面 ABCD BN，由正方体特征知
6、 A1D1平面 ABCD，故 A1D1 BN，又 A1D1 BC，所以 BN BC.3这与 BN BC B 矛盾，故假设不成立所以直线 BM 与直线 A1N 是两条异面直线3已知三个正数 a， b， c 成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等a b c差数列证明：假设 ， ， 成等差数列，a b c则 2 ，a c b即 a c2 4 b，ac而 b2 ac，即 b ， a c2 4 ，ac ac ac所以( )20.即 ，a c a c从而 a b c，与 a， b， c 不成等差数列矛盾，故 ， ， 不成等差数列a b c用反证法证明惟一性命题例 2 求证：两条相交直线有且只有
7、一个交点思路点拨 “有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个” 、 “一个也没有” 精解详析 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点若直线 a， b 无交点，则 a b 或 a， b 是异面直线，与已知矛盾若直线 a， b 不只有一个交点，则至少有两个交点 A 和 B，这样同时经过点 A， B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两条相交直线有且只有一个交点一点通 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性当证明结论以“有且只有” “只有一个” “惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为
8、简单明了4证明方程 2x3 有且仅有一个根证明：2 x3， xlog 23，这说明方程有一个根下面用反证法证明方程 2x3 的根是惟一的，假设方程 2x3 有两个根 b1、 b2(b1 b2)，则 2b13,2 b23.两式相除得：2 b1 b21.如果 b1 b20，则 2b1 b21，这与 2b1 b21 相矛盾如果 b1 b21.求证： a， b， c， d 中至少有一个是负数思路点拨 本题要证 a、 b、 c、 d 中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能所以正面证明很复杂，可考虑用反证法精解详析 假设 a、 b、 c、 d 都
9、不是负数，即 a0， b0， c0， d0. a b c d1， b1 a0， d1 c0. ac bd ac(1 a)(1 c)2 ac( a c)1( ac a)( ac c)1 a(c1) c(a1)1. a(c1)0， c(a1)0. a(c1) c(a1)11，即 ac bd1.与 ac bd1 相矛盾假设不成立 a、 b、 c、 d 中至少有一个是负数一点通 (1)对于否定性命题或结论中出现“至多” “至少” “不可能”等字样时，常用反证法(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个反设词一个也没有(不存在)至少有
10、两个 至多有 n1 个 至少有 n1 个56已知 a， b， c(0,1)，求证：(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不能都大于 .14证明：假设(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 都大于 .14 a， b， c(0,1)，1 a0,1 b0,1 c0， .(1 a) b2 (1 a)b 14 12同理 ， .(1 b) c2 12 (1 c) a2 12三式相加，得 ，(1 a) b2 (1 b) c2 (1 c) a2 32即 ，矛盾32 32所以(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不能都大于 .147用反证法证明：若函数 f(x)在区间 a， b上是增函数，那么方程 f
11、(x)0 在区间a， b上至多只有一个实数根证明：假设方程 f(x)0 在区间 a， b上至少有两个根，设 ， 为其中的两个实根因为 ，不妨设 180，这与三角形内角和为 180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设 ABC 中有两个直角，不妨设 A90， B90.上述步骤的正确顺序为_解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为.答案：5用反证法证明命题“若 x2( a b)x ab0，则 x a 且 x b”时，应假设为_解析：对“且”的否定应为“或” ，所以“ x a 且 x b”的否定应为“ x a 或7x b”答案： x a 或 x b二、解答题6(陕西高考)设 an是公比
12、为 q 的等比数列(1)推导 an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列 an1不是等比数列解：(1)设 an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时， Sn a1 a1 a1 na1；当 q1 时， Sn a1 a1q a1q2 a1qn1 ，qSn a1q a1q2 a1qn，得，(1 q)Sn a1 a1qn， Sn ，a1(1 qn)1 q SnError!(2)证明：假设 an1是等比数列，则对任意的 kN *，(ak1 1) 2( ak1)( ak2 1)，a 2 ak1 1 akak2 ak ak2 1，2k 1a q2k2 a1qk a1qk1 a1qk1 a1qk1 a1q
13、k1 ，21 a10，2 qk qk1 qk1 . q0， q22 q10， q1，这与已知矛盾假设不成立，故 an1不是等比数列7设 f(x) x2 ax b，求证：| f(1)|，| f(2)|，| f(3)|中至少有一个不小于 .12证明：假设| f(1)| ，| f(2)| ，| f(3)| ，12 12 12则有Error!于是有Error!由、得4 a2，由、得6 a4.、显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确8已知 P直线 a.求证：过点 P 和直线 a 平行的直线 b 有且只有一条证明：(1)存在性： P直线 a，点 P 和直线 a 确定一个平面 .由平面几何知识知：在平面 内过点 P 能作出一条直线与直线 a 平行，故直线 b 存在8(2)惟一性：假设过点 P 还有一条直线 c 与 a 平行 a b， a c， b c，这与直线 b、 c 有共点 P 矛盾故假设不存在，因此直线 b 惟一综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行
