1、131 数系的扩充复数的概念及代数表示法问题 1：方程 2x23 x10.试求方程的整数解？方程的实数解？提示：方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和 .12问题 2：方程 x210 在实数范围内有解吗？提示：没有解问题 3：若有一个新数 i 满足 i21，试想方程 x210 有解吗？提示：有解， xi.问题 4：实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加，结果记作 a bi，这一新数集形式如何表示？提示：C a bi|a， bR 1虚数单位 i我们引入一个新数 i，叫做虚数单位，并规定：(1)i21.(2)实数可以与 i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立2复
2、数的概念形如 a bi(a， bR)的数叫做复数全体复数所组成的集合叫做复数集，记作 C.3复数的代数形式复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a， bR)，其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.复数的分类问题 1：复数 z a bi(a， bR)，当 b0 时， z 是什么数？提示：当 b0 时， z a 为实数问题 2：复数 z a bi(a， bR)，当 a0 时， z 是什么数？提示：当 a b0 时， z0 为实数；当 a0， b0， z bi 为纯虚数1复数 z a biError!22两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等1注意复数的代数形式 z a
3、bi 中 a， bR 这一条件，否则 a， b 就不一定是复数的实部与虚部2复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小在复数集里， 一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分对 应 学 生 用 书 P35复数的概念例 1 实数 m 为何值时，复数 z ( m22 m3)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯m(m 2)m 1虚数？思路点拨 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断精解详析 (1)要使 z 是实数， m 需满足 m22 m30，且 有意义，即m(m 2)m 1m10，解得 m3.(2)要使 z 是虚数， m 需满足 m22 m30，且
4、 有意义，即 m10，解得m(m 2)m 1m1 且 m3.(3)要使 z 是纯虚数， m 需满足 0，且 m22 m30，解得 m0 或 m2.m(m 2)m 1一点通 z a bi(a， bR)是复数的基本定义，由 a， b 的取值来确定 z 是实数、虚数、纯虚数还是零在解题时，关键是确定复数的实部和虚部1若复数 z( x21)( x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为_解析： z( x21)( x1)i 是纯虚数，Error! x1.答案：12已知复数 2 ， i,0i,5i8，i(1 )，i 2，其中纯虚数的个数为_727 3解析：0i0，i 21，纯虚数有 i， i.27 (1 3)
5、3答案：23当实数 m 为何值时，复数 z ( m22 m)i 为m2 m 6m(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)当Error!即 m2 时，复数 z 是实数；(2)当 m22 m0，即 m0.且 m2 时，复数 z 是虚数；(3)当Error!即 m3 时，复数 z 是纯虚数复数相等的充要条件例 2 已知 M1，( m22 m)( m2 m2)i， P1,1,4i，若 M P P，求实数m 的值思路点拨 因为 M P P，所以 M P，从而可建立关于 m 的关系式，进而求得 m 的值精解详析 M1，( m22 m)( m2 m2)i，P1,1,4i，且 M P P. M P，即
6、( m22 m)( m2 m2)i1，或( m22 m)( m2 m2)i4i.Error! 或Error! m1 或 m2.一点通 (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用4当关于 x 的方程 x2(12i) x3 mi0 有实根，则实数 m_.解析：设实根为 x0，则 x x02 x0i3 mi0.20即 x x03 m(2 x01)i0.20Error!4 m .112答案：1125已知 2x1( y1)i x y( x y)i，求实数 x、 y 的值解
7、： x， y 为实数，2 x1， y1， x y， x y 均为实数，由复数相等的定义，知Error!Error!6已知 m 是实数， n 是纯虚数，且 2m n4(3 m)i，求 m， n 的值解：设 n bi(bR 且 b0)由 2m n4(3 m)i 得 2m bi4(3 m)i，Error! Error! m 的值为 2， n 的值为 i.复数概念的综合应用例 3 若不等式 m2( m23 m)i2 x2( y21)i，( x， yR)，Error!Error!8已知复数 z k23 k( k25 k6)i( kR)，且 z0(a， bR)Error!.对 应 学 生 用 书 P36一
8、、填空题1下列命题中，若 aR，则( a1)i 是纯虚数；若 a， bR 且 a b，则 ai bi；若( x21)( x23 x2)i 是纯虚数，则实数 x1；两个虚数不能比较大小其中正确的命题是_解析：若 a1，则( a1)i0，错；复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小错；中 x1 则 x23 x20， x1 不适合，错；是正确的答案：2若 43 a a2i a24 ai，则实数 a 的值为_解析：由复数相等的充要条件可知Error!解得 a4.答案：43复数( a2 a2)(| a1|1)i( aR)是纯虚数，则 a 的取值为_解析：复数( a2 a2)(| a1|1)i 是纯虚
9、数，Error!解之得 a1.答案：14已知 M1,2，( a23 a1)( a25 a6)i， N1,3， M N3，则实数a_.解析： M N3，6( a23 a1)( a25 a6)i3，即Error!解之得 a1.答案：15已知 z14 a1(2 a23 a)i， z22 a( a2 a)i，其中 aR， z1z2，则 a 的值为_解析： z1z2，Error!即Error!故 a0.答案：0二、解答题6已知复数(2 k23 k2)( k2 k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数 k 的取值范围解：由题意得Error!即Error!即Error!解得 0.当 m3 时 z 为实数(2) z 为纯虚数，实部 lg(m22 m14)0，且 m24 m30，即Error! 解得 m5.当 m5 时 z 为纯虚数7
