1、1第二课时 复数的乘方与除法运算问题 1：在实数中，若 ab c(a0)，则 b .反之，若 b ，则 ab c.那么在ca ca复数集中，若 z1z2 z3，有 z1 (z20)成立吗？z3z2提示：成立问题 2：若复数 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR， c di0)，则 如何运算？z1z2提示：通常先把( a bi)(c di)写成 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭a bic di复数 c di，化简后可得结果，即 a bic di (a bi)(c di)(c di)(c di) (ac bd) (bc ad)ic2 d2 i(c di0)ac bdc2 d
2、2 bc adc2 d2对任意复数 z， z1， z2和 m， nN *，有 (z)m(z)n( z)m n；(zm)n zmn；(z1z2)n z z .n1 n22虚数单位 in(nN *)的周期性i4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i.3复数的除法运算及法则把满足( c di)(x yi) a bi(c di0)的复数 x yi(x， yR)叫做复数 a bi 除以复数 c di 的商且 x yi i.a bic di (a bi)(c di)(c di)(c di) ac bdc2 d2 bc adc2 d2由 i，可以看出复数a bic di (a bi)(c di
3、)(c di)(c di) (ac bd) (bc ad)ic2 d2 ac bdc2 d2 bc adc2 d2除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化对 应 学 生 用 书 P41虚数单位 i 的幂的周期性2例 1 求 1ii 2i 2 014的值思路点拨 利用 in的性质计算，i 4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，还可以利用等比数列求和来解精解详析 法一：1ii 2i 2 014 i.1 i2 0151 i 1 i2 014i1 i 1 i1 i法二：i ni n1 i n2 i n3 0( nN *)，1ii 2i 2 0141(ii 2i 3i 4)(i
4、 5i 6i 7i 8)(i 2 009i 2 010i 2 011i 2 012)i 2 013i 2 0141i1i.一点通 等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即ini n1 i n2 i n3 0( nN *)1若 z ，则 z2 014 z102_.1 i2解析： z2 2i，( 1 i2) z2 014 z102(i) 1 007(i) 51(i) 1 004(i) 3(i) 48(i) 3ii2i.答案：2i2设 z1i 4i 5i 6i 12， z2i 4i5i6 i12，则 z1与 z2的关系为z1_z2(用“”或“”填)解析： z1 1，i4
5、(1 i9)1 i i4(1 i)1 iz2i 45612 i i 72(i 4)181，(4 12)92 z1 z2.答案：复数的除法例 2 计算：(1) (5i 2) 2；i 231 23i (1 i2)(2) .(r(2) r(2)i)3(4 5i)(5 4i)(1 i)3思路点拨 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算精解详析 (1)原式 (5i 2) 2i51ii4i4.(1 2r(3)i)i1 23i (1 i2)(2)原式22(1 i)3(5 4i)i(5 4i)(1 i) 22(
6、1 i)4i(1 i)(1 i) 22(1 i)22i2 (2i)2i4 i.2 2一点通 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助b ai( a bi)(i)， b ai( a bi)i.3设复数 z ，则复数 z2的实部与虚部的和为_2i 1 i解析： z 2i 1 i 2i( 1 i)( 1 i)( 1 i) 2i( 1 i)2i1， z2(1i) 212i12i.实部为 0，虚部为2.因此，实部与虚部的和为2.答案：24若复数 z 满足 z(2i)117i(i 为虚数单位)，则 z_. 解析： z(2i)117i， z 35i.11
7、 7i2 i (11 7i)(2 i)(2 i)(2 i) 15 25i5答案：35i5化简： _.( 1 3i)3(1 i)6 2 i1 2i解析：原式 3 ii2i.( 1 3i2i ) ( 2 i)(1 2i)5答案：2i1复数除法的运算技巧在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共4轭复数，使分母“实数化” ，最后再化简2注意复数计算中常用的整体(1)i 的性质：i 4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i( nN *)； (2)(1i)22i， i， i；1 i1
8、 i 1 i1 i(3)设 i，则 31， 2 10， 2 ， 31.12 32 对 应 学 生 用 书 P42一、填空题1(新课标全国卷改编)设复数 z 满足(1i) z2i，则 z_.解析： z 1i.2i1 i 2i(1 i)(1 i)(1 i) 2i(1 i)2答案：1i2设 i 是虚数单位，复数 的虚部为_103 i解析： 3i.103 i 10(3 i)(3 i)(3 i)答案：13如果 z123i， z2 ，则 _.3 2i(2 i)2 z1z2解析： z123i， z2 ，3 i(2 i)2 z1z2 ( 2 3i)(2 i)23 2i i(3 2i)(2 i)23 2ii(2
9、i) 2(34i)i43i.答案：43i4(浙江高考)已知 i 是虚数单位，计算 _.1 i(1 i)2解析： i.1 i(1 i)2 1 i2i (1 i)i 2 1 i2 12 12答案： i12 125i 是虚数单位，i2i 23i 38i 8_.解析：设 Si2i 23i 38i 85则 iSi 22i 37i 88i 9得(1i) Sii 2i 3i 88i 9 8ii(1 i8)1 i8i. S 8i1 i 8i(1 i)(1 i)(1 i) 8i(1 i)244i.答案：44i二、解答题6计算 2 20.(1 2i)i100 (1 i1 i)5 (1 i2)解： 2 20(1 2
10、i)i100 (1 i1 i)5 (1 i2) 2i 10(1 2i)1 ( i)5(1i) 2i 1012i.7复数 z ，若 z2 0，求纯虚数 a.(1 i)2 3(1 i)2 i az解： z 1i.(1 i)2 3(1 i)2 i 2i 3 3i2 i 3 i2 i a 为纯虚数，设 a mi(m0)，则z2 (1i) 2 2iaz mi1 i mi m2 i0，m2 (m2 2)Error! m4. a4i.8已知 1i 是实系数方程 x2 ax b0 的一个根(1)求 a、 b 的值；(2)试判断 1i 是否是方程的根解：(1)1i 是方程 x2 ax b0 的根，(1i) 2 a(1i) b0，即( a b)( a2)i0，Error!6Error! a、 b 的值为 a2， b2.(2)方程为 x22 x20，把 1i 代入方程，左边(1i) 22(1i)22i22i20 显然方程成立1i 也是方程的一个根.
