1、133 复数的几何意义对应学生用书 P43 复平面的定义问题 1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以问题 2：试说明理由提示：因复数 z a bi(a， bR)与有序实数对( a， b)惟一确定，由( a， b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数的几何意义已知复数 z a bi(a， bR)问题 1：在复平面内作出复数 z 所对应的点 Z.提示：如图所示问题 2：向量 OZ和点 Z 有何关系？提示
2、：有一一对应关系问题 3：复数 z a bi 与有何关系？提示：也是一一对应1复数与点，向量间的对应关系22复数的模复数 z a bi(a， bR)对应的向量为 OZ，则的模叫做复数 z 的模(或绝对值)，记作| z|，且| z| a bi| .a2 b2复数加减法的几何意义如图 1OZ、 2分别与复数 a bi，c di 对应问题 1：试写出 1、 2OZ及 1 2Z、 1O 2Z的坐标提示： Z( a， b)， ( c， d)，1O 2( a c， b d)， 1 2( a c， b d)问题 2：向量 1 2及 Z 所对应的复数分别是什么？提示：( a c)( b d)i 及( a c)
3、( b d)i.1复数加法的几何意义设向量 1OZ， 2分别与复数 z1 a bi， z2 c di 对应，且 1OZ和2不共线如图，以 1， 2OZ为邻边画平行四边形 OZ1ZZ2，则其对角线OZ 所表示的向量 就是复数( a c)( b d)i 对应的向量2复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设 1Z， 2分别与复数 a bi， c di 相对应，且1OZ， 2不共线，如图则这两个复数的差 z1 z2与向量 1OZ 2 (等于 21Z)对应，这就是复数减法的几何意义3设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则| z1 z2| ，即(a c)2 (b d)2两
4、个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部32表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数 0.3在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的对 应 学 生 用 书 P44复数的几何意义例 1 实数 x 分别取什么值时，复数 z x2 x6( x22 x15)i 对应的点 Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线 x y30 上？思路点拨 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解若已知复数
5、z a bi(a， bR)，则当 a0 且 b0，复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内7在复平面内，点 A、 B、 C 分别对应复数 z11i， z25i， z333i.以 AB、 AC为邻边作一个平行四边形 ABDC，求 D 点对应的复数 z4及 AD 的长解：如图，由复数加减法的几何意义， AD B，即 z4 z1( z2 z1)( z3 z1)所以 z4 z2 z3 z173i.|AD| z4 z1|(73i)(1i)|62i|2 .101复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增
6、加了解决复数问题的途径(1)复数 z a bi(a， bR)的对应点的坐标为( a， b)，而不是( a， bi)；(2)复数 z a bi(a， bR)的对应向量 OZ是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 OZ相等的向量有无数个2复数的模(1)复数 z a bi(a， bR)的模| z| ；a2 b2(2)从几何意义上理解，表示点 Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1 z2|表示点 Z1和点 Z2之间的距离对 应 学 生 用 书 P457一、填空题1若 OA、 B对应的复数分别是 7i,32i，则| AB|_.解析： (7,1)，(3，2)， (4，3
7、)，| AB|5.答案：52(重庆高考改编)复平面内表示复数 i(12i)的点位于第_象限解析：i(12i)2i 对应的点为(2,1)，位于第一象限答案：一3若 z| z|28i，则 z_.解析：法一：设 z a bi(a， bR)，则| z| ，a2 b2代入方程得 a bi 28i.a2 b2所以Error! 解得Error!所以 z158i.法二：原式可化为 z2| z|8i，| z|R，2| z|是 z 的实部于是| z| ，即| z|2684| z| z|2，(2 |z|)2 82| z|17.代入 z2| z|8i，得 z158i.答案：158i4已知 z12i， z23 ai(a
8、R)，若 z1 z2所对应的点在实轴上，则a_.解析： z1 z22i3 ai5( a1)i，由 z1 z2所对应的点在实轴上可知 a10，即 a1.答案：15(新课标全国卷改编)设 z i，则| z|_.11 i解析： i i i i，则| z| .11 i 1 i(1 i)(1 i) 1 i2 12 12 (12)2 (12)2 22答案：22二、解答题86若复数 z( m2 m2)(4 m28 m3)i( mR)的共轭复数 对应的点在第一象限，z求实数 m 的集合解：由题意得 ( m2 m2)(4 m28 m3)i， 对应的点位于第一象限，z z所以有Error! 所以Error!所以E
9、rror!即 1m ，故所求 m 的集合为Error!.327在复平面内 A， B， C 三点对应的复数分别为 1,2i，12i. (1)求， ，对应的复数；(2)判断 ABC 的形状；(3)求 ABC 的面积解：(1) AB对应的复数为 zB zA(2i)11i.C对应的复数为 zC zB(12i)(2i)3i.对应的复数为 zC zA(12i)122i.(2)由(1)知| AB|1i| ，|3i| ，| AC| |22i|2 ，2 10 2| |2| |2| B|2.故 ABC 为直角三角形(3)S ABC | A| C| 2 2.12 12 2 28若 zC 且| z22i|1，求| z22i|的最小值解：已知| z(22i)|1 中， z 的对应点轨迹是以(2,2)为圆心，1 为半径的圆，|z(22i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为 3.9
