1、111.2 & 1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系预习课本 P48，思考并完成以下问题 1一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？2什么样的两个命题有相同的真假性？3两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？新 知 初 探 1原命题与逆命题2原命题与否命题3原命题与逆否命题4四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)2(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性( )(2)原命题与逆命题之间的真假性没
2、有关系( )答案：(1) (2)2命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A若一个数是负数，则它的平方不是正数B若一个数的平方是正数，则它是负数C若一个数不是负数，则它的平方不是正数D若一个数的平方不是正数，则它不是负数答案：B3命题“若 x2y2，则 xy”的否命题是_答案：若 x2 y2，则 x y4命题 p：若 a1，则 a21；命题 q：若 a21，则 a1，则命题 p 与 q 的关系是_答案：互为逆否命题四种命题的概念典例 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)对顶角相等；(2)全等三角形的对应边相等解 (1)原命题：如果两
3、个角是对顶角，则它们相等；逆命题：如果两个角相等，则它们是对顶角；否命题：如果两个角不是对顶角，则它们不相等；逆否命题：如果两个角不相等，则它们不是对顶角(2)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等四种命题的转换方法(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题3(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命
4、题的逆否命题注意 四种命题转换时关键是把命题写成“若则”的形式 活学活用写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)当 x2 时， x23 x20.解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：若 x23 x20，则 x2；否命题：若 x2，则 x23 x20；逆否命题：若 x23 x20，则 x2.四种命题真假的判断典例 判断下
5、列命题的真假(1)“正三角形都相似”的逆命题(2)“若 x2 y20，则 x， y 不全为零”的否命题(3)“若 m0，则 x2 x m0 有实根”的逆否命题解 (1)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形” 假命题(2)原命题的否命题为“若 x2 y20，则 x， y 全为零” 真命题(3)原命题的逆否命题为“若 x2 x m0 无实根，则 m0” 因为方程 x2 x m0无实根，所以判别式 14 m0，则 x2 x m0 有实根”的逆命题的真假，则结果如何？解：原命题的逆命题为“若 x2 x m0 有实根，则 m0”因为方程 x2 x m0 有实根，所以判别式 14 m0，
6、所以 m ，故逆命题为144假命题2变条件若本例(3)改为判断“若 m0，则 mx2 x10 有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？解：原命题的逆否命题为“若 mx2 x10 无实根，则 m0” 因为方程mx2 x10 无实根，则 m0，所以判别式 14 m2，则 m2 n22” 由于 m n2，则 m2 n2 (m n)2 222，12 12所以 m2 n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题层级一 学业水平达标1设 a， b 是向量，命题“若 a b，则| a| b|”的逆命题是( )A若 a b，则| a| b| B若 a b，则| a| b|C若| a| b|，则 a
7、b D若| a| b|，则 a b解析：选 D 条件“ a b”和结论“| a| b|”互换后得到逆命题：若| a| b|，则 a b.故选 D.2 “在 ABC 中，若 C90，则 A， B 全是锐角”的否命题为( )A在 ABC 中，若 C90，则 A， B 全不是锐角B在 ABC 中，若 C90，则 A， B 不全是锐角C在 ABC 中，若 C90，则 A， B 中必有一个是钝角D以上都不对解析：选 B “全是”的否定是“不全是” ，故该命题的否命题为“在 ABC 中，若C90，则 A， B 不全是锐角” 3命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的
8、个数为( )A0 B1C2 D4解析：选 C “若 a3，则 a6”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题又逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为 2.故选 C.4若命题 p 的逆命题为 q，命题 q 的否命题为 r，则命题 p 是命题 r 的( )A逆命题 B否命题C逆否命题 D以上都不对解析：选 C 由四种命题的关系，知命题 p 与命题 r 互为逆否命题5在下列四个命题中，为真命题的是( )A “x2 时， x25 x60”的否命题6B “若 b3，则 b29”的逆命题C若 acbc，则 abD “相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析：选 D A 中命题的否命题为“ x2 时， x25
9、x60” ，是假命题；B 中命题的逆命题为“若 b29，则 b3” ，是假命题；C 中当 cb，则 ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A0 个 B1 个C2 个 D4 个解析：选 C 若 c0，则 ac2bc2不成立，故原命题为假命题由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题逆命题“设 a， b， cR，若 ac2bc2，则 ab”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有 2 个真命题，故选 C.2命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )A逆命题 B否命题C逆否命题 D无关命题解析：选 A 由于这两个命题的关
10、系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选 A.3命题“若 x， y 都是奇数，则 x y 也是奇数”的逆否命题是( )A若 x y 是奇数，则 x 与 y 不都是奇数8B若 x y 是奇数，则 x 与 y 都不是奇数C若 x y 不是奇数，则 x 与 y 不都是奇数D若 x y 不是奇数，则 x 与 y 都不是奇数解析：选 C 由于“ x， y 都是奇数”的否定表达是“ x， y 不都是奇数” ， “x y 是奇数”的否定表达是“ x y 不是奇数” ，故原命题的逆否命题为若 x y 不是奇数，则 x， y 不都是奇数，故选 C.4有下列四个命题：若“ xy1
11、，则 x， y 互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形全等”的否命题；“若 m1，则 x22 x m0 有实数解”的逆否命题；“若A B B，则 AB”的逆否命题其中，为真命题的是( )A BC D解析：选 D 的逆命题：“若 x， y 互为倒数，则 xy1”是真命题；的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题；的逆否命题：“若 x22 x m0 没有实数解，则 m1”是真命题；命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如 A1,2,3,4,5，B4,5，显然 AB 是错误的5在原命题“若 A B B，则 A B A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_解析：逆命题为“若 A
12、 B A，则 A B B”；否命题为“若 A B B，则 A B A”；逆否命题为“若 A B A，则 A B B”；全为真命题答案：46若命题“若 xm1，则 x22 x30”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数 m 的取值范围是_解析：由已知，易得 x|x22 x30 x|xm1又 x|x22 x30 x|x3，Error!或Error!0 m2.答案：0,27已知 a， b， cR，证明：若 a b cba；而它的逆否命题也为真，即“ a 不是最小，则 b 是最大”为真，所以 bac.总之由命题 A 为真可知： cba 或 bac.同理由命题 B 为真可知 acb 或 bac.从而可知， bac.所以三个人年龄的大小顺序为 b 最大， a 次之， c 最小
