1、1充 分 条 件 与 必 要 条 件预习课本 P911，思考并完成以下问题 1什么是充分条件、必要条件？2什么是充要条件？新 知 初 探 1充分条件与必要条件命题真假“若 p，则 q”是真命题“若 p，则 q”是假命题推出关系 p q p q/条件关系p 是 q 的充分条件q 是 p 的必要条件p 不是 q 的充分条件q 不是 p 的必要条件2充要条件若 pq 且 qp，则记作 pq，此时 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)x1 是( x1)( x2)0 的充分条件( )(2) 是 sin 的必要条件( ) 6
2、12(3)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题( )2(4)“若綈 p，则綈 q”是真命题，则 p 是 q 的必要条件( )答案：(1) (2) (3) (4)2已知向量 a( x1,2)， b(2,1)，则 a b 的充要条件是( )A x B x112C x5 D x0答案：D3设集合 M x|00， b0”是“ ab0”的_条件(填“充分”或“必要”)答案：充分充分条件、必要条件、充要条件的判断典例 (1)(2017天津高考)设 xR，则“2 x0”是“| x1|1”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(201
3、7北京高考)设 m， n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n ”是“mn0”，若綈 p 是綈 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围解：由 x24 ax3 a20 得 a0， 0， x1x2 y，求证： 0.1x1y证明：(1)必要性：由 y，得 y x0.(2)充分性：由 xy0 及 xy，得 ，即 0.1x1y层级一 学业水平达标1设 p： xb 成立的充分不必要条件是( )A a b1 B ab1C a2b2 D a3b3解析：选 A 由 a b1 b，从而 a b1 ab；反之，如 a4， b3.5，则43.5/43.5 1，故 ab/a b1，故 A 正确3已知 a， b 是实
4、数，则“| a b| a| b|”是“ ab0”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 因为|a b| a| b|a22 ab b2 a22| ab| b2|ab| abab0，而由 ab0 不能推出 ab0，由 ab0 能推出 ab0，所以由| a b| a| b|不能推出 ab0，由 ab0 能推出|a b| a| b|，故选 B.4设 R，则“ 0”是“ f(x)cos( x )(xR)为偶函数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件7C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 0 时，函数 f(x)cos( x )cos x
5、 是偶函数，而 f(x)cos( x )是偶函数时， k( kZ)故“ 0”是“函数 f(x)cos( x )为偶函数”的充分不必要条件5使| x| x 成立的一个必要不充分条件是( )A x0 B x2 xClog 2(x1)0 D2 xa，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_解析： p： x1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 pq，但 ，也就是说， p 对应q/ p集合是 q 对应集合的真子集，所以 a2 且 y3”是“ x y5”的充要条件； b24 ac2 且 y3 时， x y5 成立，反之不一定，如 x0， y6.所以“ x2 且y3”是“ x y5”的充
6、分不必要条件；不等式解集为 R 的充要条件是 a0， y0.所以“lg xlg y0”成立， xy1 必成立，反之不然因此“ xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：9下列命题中，判断条件 p 是条件 q 的什么条件(1)p：| x| y|， q： x y；(2)p： ABC 是直角三角形， q： ABC 是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分， q：四边形是矩形；(4)p：圆 x2 y2 r2与直线 ax by c0 相切， q： c2( a2 b2)r2.解：(1)| x| y|/ x y，但 x y|x| y|， p 是 q 的必要不充分条件(2
7、) ABC 是直角三角形/ ABC 是等腰三角形， ABC 是等腰三角形/ ABC 是直角三角形， p 是 q 的既不充分也不必要条件(3)四边形的对角线互相平分/ 四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分， p 是 q 的必要不充分条件(4)若圆 x2 y2 r2与直线 ax by c0 相切，则圆心到直线 ax by c0 的距离等于 r，即 r ，|c|a2 b2所以 c2( a2 b2)r2；反过来，若 c2( a2 b2)r2，则 r 成立，|c|a2 b2说明 x2 y2 r2的圆心(0,0)到直线 ax by c0 的距离等于 r，即圆 x2 y2 r2与直线 ax by
8、 c0 相切，故 p 是 q 的充要条件10已知命题 p：对数函数 f(x)log a(2 t27 t5)( a0，且 a1)有意义， q：关于实数 t 的不等式 t2( a3) t( a2)0，解得 1 b”的( )(13) (13)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 当 0 b成立，(13) (13)所以是充分条件；当 a b时，(13) (13)有 a0”是“ x1”的必要条件B已知向量 m， n，则“ mn ”是“ m n”的充分条件C “a4b4”是“ ab”的必要条件D在 ABC 中， “ab”不是“ AB”的充分条件解析：选 A A
9、中，当 x1 时，有 x0，所以 A 正确；B 中，当 mn 时， m n 不一定成立，所以 B 不正确；C 中，当 ab 时， a4b4不一定成立，所以 C 不正确；D 中，当 ab时，有 AB，所以“ ab”是“ AB”的充分条件，所以 D 不正确故选 A.3已知直线 l， m，平面 ，且 m ，则( )A “l ”是“ l m”的必要条件B “l m”是“ l ”的必要条件C l ml D l l m解析：选 B 很明显 l l m， l m / l ， l m / l ， l / l m，故选 B.104设 p： x1； q：( x a)(x a1)0，若 p 是 q 的充分不必要条件
10、，则实数 a12的取值范围是( )A. B.(0，12) 0， 12C. D.0，12) (0， 12解析：选 B q： a x a1， p 是 q 的充分不必要条件，Error! 或Error!解得 0 a .125已知关于 x 的方程(1 a)x2( a2) x40( aR)，则该方程有两个正根的充要条件是_解析：方程(1 a)x2( a2) x40 有两个实根的充要条件是Error!即Error! Error!设此时方程的两根分别为 x1， x2，则方程有两个正根的充要条件是Error!Error!10，解得10.若 q 是 p 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围解： q 是 p
11、的必要不充分条件， p 是 q 的充分不必要条件对于 p，依题意，知 (2 a)244(2 a5)4( a28 a20)0，2 a10.设 P a|2 a10， Q a|1 m a1 m， m0，由题意知 P Q，Error!或Error!解得 m9，实数 m 的取值范围是9，)8已知数列 an的前 n 项和 Sn( n1) 2 l.11(1)证明： l1 是 an是等差数列的必要条件(2)试问： l1 是否为 an是等差数列的充要条件？请说明理由解：(1)证明： a1 S14 l，当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1. a25， a37. an是等差数列，则 2a2 a1 a3，即 25(4 l)7，解得 l1.故 l1 是 an是等差数列的必要条件(2)当 l1 时， Sn( n1) 21， a1 S13，当 n2 时， an Sn Sn1 2 n1.又 a13 适合上式， an2 n1( nN *)又 an1 an2， an是公差为 2，首项为 3 的等差数列 l1 是 an是等差数列的充分条件又由(1)知 l1 是 an是等差数列的必要条件， l1 是 an是等差数列的充要条件
