1、11不等式的基本性质1实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小在数轴上，右边的数总比左边的数大 (2)如果 a b0，则 a b；如果 a b0，则 a b；如果 a b0，则 a b.(3)比较两个实数 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差 a b 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果 a b，那么 b a；如果 b a，那么 a b.即 a bb a.(2)如果 a b， b c，那么 a c.即 a
2、b， b cac.(3)如果 a b，那么 a cb c.(4)如果 a b， c0，那么 acbc；如果 ab， cb0，那么 anbn(nN， n2)(6)如果 ab0，那么 (nN， n2)na nb3对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数 c(或代数式)结果有三种： c0 时得同向不等式； c0 时得等式； cb d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而ab0， cd0acbd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除(3)
3、性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且 nN， n2，否则结论不成立而当 n 取正奇数时可放宽条件， abanbn(n2 k1， kN)，ab (n2 k1， kN )nanb(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“ ”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系” 这要求必须熟记与区别不同性质的条件如 a b， ab0 ，而反之不成立1a 1b2数、式大小的比较例 1 已知 p， q 为正数且 p q1，比较( px qy)2与 px2 qy2的大小思路点拨 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件解 ( px qy)2( px2
4、 qy2) p2x22 pqxy q2y2 px2 qy2 p(p1) x2 q(q1) y22 pqxy.因为 p q1，所以 p1 q， q1 p.所以( px qy)2( px2 qy2) pq(x2 y22 xy) pq(x y)2.因为 p， q 为正数，所以 pq(x y)20.所以( px qy)2 px2 qy2.当且仅当 x y 时，不等式中等号成立比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的符号结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等1已知 a， bR，比较 a4 b4与 a3b ab3的大小解：因为( a4 b4)( a3b ab3)
5、a3(a b) b3(b a)( a b)(a3 b3)( a b)2(a2 ab b2)( a b)2 0，(ab2)2 34b2(当且仅当 a b 时，取“”号)所以 a4 b4 a3b ab3.2已知 x， y 均为正数，设 m ， n ，试比较 m 与 n 的大小1x 1y 4x y解： m n 1x 1y 4x y x yxy 4x y ，(x y)2 4xyxy(x y) (x y)2xy(x y) x， y 均为正数， x0， y0， xy0， x y0，( x y)20， m n0，即 m n，当且仅当 x y 时取等号3不等式的证明例 2 已知 ab0， c .ea c eb
6、 d思路点拨 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明证明 法一： ea c eb d e(b d a c)(a c)(b d)，e(b a c d)(a c)(b d) ab0， c0， c0.同理 b d0，( a c)(b d)0. e0.e(b a c d)(a c)(b d)即 .ea c eb d法二：Error! Error! .ea c eb d进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件3设 ab0，求证： .a2 b2a2 b2a ba
7、b证明：法一： a2 b2a2 b2 a ba b(a b)(a b)2 (a2 b2)(a2 b2)(a b) 0，2ab(a b)(a2 b2)(a b)原不等式成立4法二： ab0，故 a2b20.故左边0，右边0. 1 1.左 边右 边 (a b)2a2 b2 2aba2 b2原不等式成立4已知 ab0， dc0，求证： .acbd证明：因为 dc0，所以 0.1c1d又因为 ab0，所以 a b ，即 .1c 1d acbd利用不等式的性质求范围例 3 已知 30|y|0.故 P 在 Q 的右边2已知 a， b， cR，且 ab0，则下面推理中正确的是( )A abam2bm2 B.
8、 abacbcC a3b3 b2ab1a1b解析：选 C 对于 A，若 m0，则不成立；对于 B，若 c0(a b)(a2 ab b2)0， a2 ab b2 2 b20 恒成立，(ab2) 34 a b0， ab.又 ab0， b2(a b)(a b)0，不能说 ab.3已知 a， b， c(0，)，若 ，则( )ca b ab c bc aA c a b B b c a6C a b c D c b a解析：选 A 由 ，可得 1 1 1，即 ca b ab c bc a ca b ab c bc a a b ca b ，又 a， b， c(0，)，所以 a b b c c a.由 a b
9、b c 可得a b cb c a b cc aa c；由 b c c a 可得 b a，于是有 c a b.4若 a， b 为实数，则“0 ”的( )1b 1aA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选 A 对于 00，则 b0， a 成立，1b 1a因此“0 ”的充分条件；反之，若 a1， b2，结论“ a ”成立，但条件 0 ”的必要条件，即1a 1b 1a“0 ”的充分不必要条件1b 1a5若 f(x)3 x2 x1， g(x)2 x2 x1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是 f(x)_g(x)解析： f(x) g(x)(3 x2 x1)(2 x2 x1
10、) x22 x2( x1)2110， f(x)g(x)答案：6下列命题： c ab； a0 b ；1a 1b 0ab；cacb 1)ab. a0 b 0， 0 .1a 1b 1a 1b7 0，有Error!或Error!即Error! 或Error!不正确，中无论 n 为奇数或偶数，均可由 1)ay，则实数 a， b 应满足的条件为_解析： xy， x y a2b252 ab a24 a( ab1) 2( a2) 20. ab10 或 a20.即 ab1 或 a2.答案： ab1 或 a28若 a0， b0，求证： a b.b2a a2b证明： a b( a b)b2a a2b (ab ba)
11、 ，(a b)2(a b)ab(a b)20 恒成立，且已知 a0， b0， a b0， ab0. 0. a b.(a b)2(a b)ab b2a a2b9若 f(x) ax2 bx，且 1 f(1)2,2 f(1)4，求 f(2)的取值范围解： f(1) a b， f(1) a b，令 f(2)4 a2 b Af(1) Bf(1)，则Error! Error! f(2)3 f(1) f(1)1 f(1)2,2 f(1)4，33 f(1)6，5 f(1)3 f(1)10，5 f(2)10.故 f(2)的取值范围为5,1010已知 a0， a1.8(1)比较下列各组大小 a21 与 a a；
12、a31 与 a2 a； a51 与 a3 a2.(2)探讨在 m， nN 条件下， am n1 与 am an的大小关系，并加以证明解：(1) a0， a1， a21( a a) a212 a( a1) 20. a21 a a. a31( a2 a) a2(a1)( a1)( a1)( a1) 20， a31 a2 a， a51( a3 a2) a3(a21)( a21)( a21)( a31)当 a1 时， a31， a21，( a21)( a31)0.当 00.即 a51 a3 a2.(2)根据(1)可探讨，得 am n1 am an.证明如下：am n1( am an) am(an1)(1 an)( am1)( an1)当 a1 时， am1， an1，( am1)( an1)0.当 00.综上( am1)( an1)0，即 am n1 am an.9
