1、13三个正数的算术几何平均不等式1定理 3如果 a， b， cR ，那么 ，当且仅当 a b c 时，等号成立，用文字语a b c3 3abc言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(1)不等式 成立的条件是： a， b， c 均为正数，而等号成立的条件是：a b c3 3abc当且仅当 a b c. (2)定理 3 可变形为： abc 3； a3 b3 c33 abc.(a b c3 )(3)三个及三个以上正数的算术几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等” 2定理 3 的推广对于 n 个正数 a1， a2， an，它们的算术平均不小于它
2、们的几何平均，即 ，当且仅当 a1 a2 an时，等号成立a1 a2 ann na1a2an用平均不等式证明不等式例 1 设 a， b， cR ，求证：(a b c)227.(1a2 1b2 1c2)思路点拨 本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题证明 a， b， cR ， a b c3 0，3abc从而( a b c)29 0，3a2b2c2又 3 0，1a2 1b2 1c2 3 1a2b2c2 (a b c)2(1a2 1b2 1c2)3 9 27.3 1a2b2c2 3a2b2c2当且仅当 a b c 时，等号成立2证明不等式
3、的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明(2)三个正数的算术几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明1设 a， b， cR ，求证( a b c) 9.(1a 1b 1c)证明：当 a， b， cR 时， a b c3 ，3abc 3 .1a 1b 1c 31abc( a b c) 9，(1a 1b 1c)当且仅当 a b c 时，等号成立2已知 a1， a2， an都是正数，且 a1a2an1，求证：
4、(2 a1)(2 a2)(2 an)3 n.证明：因为 a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有 2 a111 a13 .3a1同理 2 aj3 (j2,3， n)3aj将上述各不等式的两边分别相乘即得(2 a1)(2 a2)(2 an)(3 )(3 )(3 )3a1 3a2 3an3 n .3a1a2an a1a2an1，(2 a1)(2 a2)(2 an)3 n.当且仅当 a1 a2 an1 时，等号成立.用平均不等式求最值例 2 (1)求函数 y( x1) 2(32 x) 的最大值(11)的最小值4(x 1)2思路点拨 (1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值；(2)对于和的形式求最小
5、值，应构造积为定值解 (1)10， x10.3y( x1) 2(32 x)( x1)( x1)(32 x) 3(x 1 x 1 3 2x3 ) 3 ，(13) 127当且仅当 x1 x132 x，即 x 时等号成立，即 ymax .43 (1， 32) 127(2) x1， x10， y x4(x 1)2 (x1) (x1) 112 12 4(x 1)23 14，312(x 1)12(x 1) 4(x 1)2当且仅当 (x1) (x1) ，12 12 4(x 1)2即 x3 时等号成立即 ymin4.(1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大” (2)应
6、用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等3设 x0，则 f(x)4 x 的最大值为( )12x2A4 B422 2C不存在 D.52解析：选 D x0， f(x)4 x 4 43 4 12x2 (x2 x2 12x2) 3x2x212x2 32，当且仅当 ，即 x1 时等号成立，故 f(x)的最大值为 .52 x2 x2 12x2 524已知 abc，求 a c 的最小值1b2 ab c(a b)4解：由 abc，得 a b0， b c0，则 a c1
7、b2 ab c(a b)( a b)( b c)1(a b)(b c)3 3，3(a b)(b c) 1(a b)(b c)当且仅当 a b b c 时等号成立，1(a b)(b c)所以当 a b b c 时，1(a b)(b c)a c 取得最小值 3.1b2 ab c(a b)用平均不等式解应用题例 3 如图所示，在一张半径是 2 m 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E k
8、.sin r2这里 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？思路点拨 根 据 题 设 条 件 建 立 r与 的 关 系 式 将 它 代 入 E ksin r2 得 到 以 为 自 变 量 ， E为 因 变 量 的 函 数 关 系 式 用 平 均 不 等 式 求 函 数 的 最 值 获 得 问 题 的 解解 r ，2cos E k .sin cos24 (00，则 y x 的最小值为( )4x2A2 B2 2C3 D32解析：选 D y x 3 3，当且仅当 ，即 x2 时取4x2 x2 x2 4x2 3x2x24x2 x2 4x2“”号2设 x，
9、 y， zR 且 x y z6，则 lg xlg ylg z 的取值范围是( )A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)6解析：选 B lg xlg ylg zlg( xyz)，而 xyz 3，lg( xyz)lg 83lg 2，(x y z3 )当且仅当 x y z2 时，等号成立3若实数 x， y 满足 xy0，且 x2y2，则 xy x2的最小值是( )A1 B2C3 D4解析：选 C xy x2 xy xy x212 123 3 3，当且仅当 xy x2， x2y2，312xy12xyx2 314(x2y)2 12即 x1， y2 时取“”号故 xy x2的最小
10、值为 3.4已知 a， b， cR ， x ， y ， z ，则 x， y， z 的大小a b c3 3abc a2 b2 c23关系是( )A x y z B y x zC y z x D z y x解析：选 B a， b， cR ， ，a b c3 3abc x y，又 x2 ，a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac9z2 ，3a2 3b2 3c29 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ac，三式相加得 a2 b2 c2 ab bc ca，3 a23 b23 c2( a b c)2， z2 x2， z x，即 y x z.5设 00.故 32x(1 x)(1 x)
11、.2x (1 x) (1 x)3 23 x(1 x)2 ，当且仅当 x 时取等号427 13答案：42776设 x， y， z 均大于 0，且 x3 y4 z6，则 x2y3z 的最大值为_解析：6 x3 y4 z y y y4 z6 .x2 x2 6x2y3z x2y3z1，当且仅当 y4 z 时取“”号x2 x2z3z 的最大值为 1.答案：17设三角形三边长为 3,4,5， P 是三角形内的一点，则 P 到该三角形三边距离乘积的最大值是_解析：设 P 到长度为 3,4,5 的三角形三边的距离分别是 x， y， z，三角形的面积为 S.则 S (3x4 y5 z)，又3 24 25 2，1
12、2这个直角三角形的面积 S 346.123 x4 y5 z2612.3 3 x4 y5 z12.33x4y5z( xyz)max .1615当且仅当 x ， y1， z 时等号成立43 45答案：16158设 a， b， cR ，求证：(a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92证明： a， b， cR ，2( a b c)( a b)( b c)( c a)3 0.3(a b)(b c)(c a) 3 0，1a b 1b c 1a c 3 1a b1b c1a c( a b c) .(1a b 1b c 1a c) 92当且仅当 a b c 时，等号成立9若 为锐角，求 ysin
13、 cos2 的最大值解： y2sin 2 cos2 cos2 2sin2 (1sin 2 )(1sin 2 )128 3 .12 (23) 427当且仅当 2sin2 1sin 2 ，即 sin 时取等号33此时 ymax .23910已知某轮船速度为每小时 10 千米时，燃料费为每小时 30 元，其余费用(不随速度变化)为每小时 480 元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小解：设船速为 v 千米/小时，燃料费为 A 元/小时则依题意有 A kv3，且有30 k103， k .3100 A v3.3100设每千米的航行费用为 R，则需时间为 小时，1v R v2 v2 3 36.1v(3100v3 480) 3100 480v 3100 240v 240v 33100v2240v240v当且仅当 v2 ，3100 240v即 v20 时取最小值轮船航行速度为 20 千米/小时时，每千米航行费用总和最小9
