1、133.3 函数的最大(小)值与导数预习课本 P9698，思考并完成以下问题 1什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？2函数的最值与极值有什么关系？3求函数最值的方法和步骤是什么？新 知 初 探 1函数 y f(x)在闭区间 a， b上取得最值的条件如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值点睛 对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值. 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念(3)函数 y f(x)在 a， b上连续，是函数 y f(x)在
2、 a， b上有最大值或最小值的充分而非必要条件2求函数 y f(x)在 a， b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数 y f(x)在( a,_b)内的极值2(2)将函数 y f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值点睛 函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得有极值的未必有最值，有最值
3、的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值( )(2)开区间上的单调连续函数无最值( )(3)函数 f(x)在区间 a， b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得( )答案：(1) (2) (3)2函数 f(x) x33 x22 在区间1,1上的最大值是( )A2 B0C2 D4答案：C3函数 f(x)3 xsin x 在 x0，上的最小值为_答案：14已知 f(x) x2 mx1 在区间2，1上的最大值就是函数 f(x)的极大值，则 m 的取值范围是_答案：(4，2
4、)求函数的最值典例 求下列函数的最值(1)f(x)4 x33 x236 x5， x2，)；(2)f(x) xsin x， x0,212解 (1) f( x)12 x26 x36，令 f( x)0，3得 x12， x2 .32当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 2 ( 2， 32) 32 (32， )f( x) 0 0 f(x) 57 1154由于当 x 时， f( x)0，所以 f(x)在 上为增函数因此，函数 f(x)在32 (32， )2，)上只有最小值 ，无最大值1154(2)f( x) cos x，令 f( x)0，且 x0,2，12解得 x 或 x .23
5、43当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 0 (0， 23) 23 (23， 43) 43 (43， 2 ) 2f( x) 0 0 f(x) 0 极大值 3 32 极小值23 32 当 x0 时， f(x)有最小值，为 f(0)0；当 x2 时， f(x)有最大值，为 f(2).求函数最值的四个步骤第一步：求函数的定义域第二步：求 f( x)，解方程 f( x)0.第三步：列出关于 x， f(x)， f( x)的变化表第四步：求极值、端点值，确定最值注意 不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较 活学活用已知函数 f(x) ln x，求 f(x)在 上的最大值和最小值1
6、 xx 12， 2解：易知 f(x)的定义域为(0，)，4f(x) ln x 1ln x，1 xx 1x f( x) .1x2 1x x 1x2令 f( x)0，得 x1.当 x 变化时， f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x 12 (12， 1) 1 (1,2) 2f( x) 0 f(x) 1ln 2 极小值 0 ln 212在 上，当 x1 时， f(x)取得极小值，也是最小值，且 f(1)0.12， 2又 f 1ln 2， f(2) ln 2，(12) 12 f f(2) 2ln 2 (34ln 2)(12) 32 12 ln 0， f f(2)，12 e316 (12) f(x)
7、在 上的最大值为 f 1ln 2，最小值为 f(1)0.12， 2 (12)由函数的最值求参数典例 已知函数 f(x) ax36 ax2 b， x1,2的最大值为 3，最小值为29.求a， b 的值解 由题设知 a0，否则 f(x) b 为常数函数，与题设矛盾求导得 f( x)3 ax212 ax3 ax(x4)，令 f( x)0，得 x10， x24(舍去)当 a0，且 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f( x) 0 f(x) 7 a b b 16 a b由表可知，当 x0 时 f(x)取得极大值 b，也就是函数在1,2上的最大值，
8、 f(0) b3.又 f(1)7 a3， f(2)16 a3 f(1)， f(2)16 a329，解得 a2.当 a0 时，同理可得，当 x0 时， f(x)取得极小值 b，也就是函数在1,2上的最5小值， f(0) b29.又 f(1)7 a29， f(2)16 a29 f(1)， f(2)16 a293，解得 a2.综上可得， a2， b3 或 a2， b29.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决 活学活用已知函数 f(x)4 x (x0，
9、a0)在 x3 时取得最小值，求 a 的值ax解：由题意知 f( x)4 .ax2 4x2 ax2又 x0， a0，令 f( x)0，得 x ，a2当 0 x 时， f( x)0；当 x 时， f( x)0.a2 a2故 f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，(0，a2) (a2， )即当 x 时， f(x)取得最小值，则 3，解得 a36.a2 a2与最值有关的恒成立问题典例 已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 在 x 与 x1 处都取得极值23(1)求 a， b 的值及函数 f(x)的单调区间(2)若 x1,2，不等式 f(x)f(2)2 c，解得 c2.故 c 的取值范围为(，
10、1)(2，)一题多变1变设问若本例中条件不变，把(2)中“ x1,2，不等式 f(x)c ，12 32所以 f(1) c 为最小值32因为存在 x1,2，不等式 f(x)f(1) c ，32即 2c22 c30，解得 cR.2变条件，变设问已知函数 f(x) x3 ax b(a， bR)在 x2 处取得极小值 .13 43(1)求 f(x)的单调递增区间(2)若 f(x) m2 m 在4,3上恒成立，求实数 m 的取值范围103解：(1) f( x) x2 a，由 f(2)0，得 a4；再由 f(2) ，得 b4.437所以 f(x) x34 x4， f( x) x24.13令 f( x) x
11、240，得 x2 或 xf(x)max，则上面的不等式恒成立(2)要使不等式 f(x)h 在区间 m， n上恒成立，可先在区间 m， n上求出函数 f(x)的最小值 f(x)min，只要 f(x)minh，则不等式 f(x)h 恒成立 层级一 学业水平达标1设函数 f(x)2 x 1( x0)，则 f(x)( )1xA有最大值 B有最小值C是增函数 D是减函数解析：选 A f( x)2 ，1x2 2x2 1x2令 f( x)0，得 x .22当 x 时， f( x)0；当 x0 时， f( x)0， x 是函数 f(x)的22 22 22极大值点，也是最大值点故 f(x)有最大值，无最小值2函
12、数 y2 x33 x212 x5 在2,1上的最大值、最小值分别是( )8A12，8 B1，8C12，15 D5，16解析：选 A y6 x26 x12，由 y0 x1 或 x2(舍去)x2 时， y1； x1 时， y12； x1 时， y8. ymax12， ymin8.故选 A.3函数 f(x)2 ， x(0,5的最小值为( )x1xA2 B3C. D2 174 2 12解析：选 B 由 f( x) 0，得 x1，1x 1x2 x32 1x2且 x(0,1)时， f( x)0， x(1,5时， f( x)0， x1 时， f(x)最小，最小值为 f(1)3.4函数 f(x) x44 x(
13、|x|0 得 sin x ， 2 ， 6 6 3 6 3 2当 x 时取最大值，故应选 B. 66函数 f(x) x2 (x0)的最小值是_54x解析： f( x)2 x .令 f( x)0，得 x3.54x2当 x3 时， f( x)0；当3 x0 时， f( x)0.所以当 x3 时， f(x)取得极小值，也是最小值，所以 f(x)min27.答案：277函数 f(x) xe x， x0,4的最小值为_解析： f( x)e x xe xe x(1 x)令 f( x)0，得 x1(e x0)， f(1) 0， f(0)0， f(4) 0，1e 4e4所以 f(x)的最小值为 0.答案：08若
14、函数 f(x) x33 x a 在区间0,3上的最大值、最小值分别为 m， n，则m n_.解析： f( x)3 x23，当 x1 或 x1 时， f( x)0；当1 x1 时， f( x)0. f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增 f(x)min f(1)13 a2 a n.又 f(0) a， f(3)18 a， f(0) f(3) f(x)max f(3)18 a m， m n18 a(2 a)20.答案：209已知 k 为实数， f(x)( x24)( x k)10(1)求导函数 f( x)；(2)若 x1 是函数 f(x)的极值点，求 f(x)在区间2,2上的最大值和最小值解
15、：(1) f(x) x3 kx24 x4 k， f( x)3 x22 kx4.(2)由 f(1)0，得 k .12 f(x) x3 x24 x2， f( x)3 x2 x4.12由 f( x)0，得 x1 或 x .43又 f(2)0， f(1) ， f ， f(2)0，92 (43) 5027 f(x)在区间2,2上的最大值为 ，最小值为 .92 502710已知函数 f(x) x3 ax2 bx5，曲线 y f(x)在点 P(1， f(1)处的切线方程为y3 x1.(1)求 a， b 的值；(2)求 y f(x)在3,1上的最大值解：(1)依题意可知点 P(1， f(1)为切点，代入切线方
16、程 y3 x1 可得， f(1)3114， f(1)1 a b54，即 a b2，又由 f(x) x3 ax2 bx5 得，又 f( x)3 x22 ax b，而由切线 y3 x1 的斜率可知 f(1)3，32 a b3，即 2a b0，由Error! 解得Error! a2， b4.(2)由(1)知 f(x) x32 x24 x5，f( x)3 x24 x4(3 x2)( x2)，令 f( x)0，得 x 或 x2.23当 x 变化时， f(x)， f( x)的变化情况如下表：x 3(3，2)2 ( 2，23) 23 (23， 1)1f( x) 0 0 11f(x) 8 极大值 极小值 4
17、f(x)的极大值为 f(2)13，极小值为 f ，(23) 9527又 f(3)8， f(1)4， f(x)在3,1上的最大值为 13.层级二 应试能力达标1函数 f(x) 在区间2,4上的最小值为( )xexA0 B.1eC. D.4e4 2e2解析：选 C f( x) ，ex xex ex 2 1 xex当 x2,4时， f( x)0，即函数 f(x)在2,4上是单调递减函数，故当 x4 时，函数 f(x)有最小值 .4e42函数 f(x) x33 ax a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围为( )A0,1) B(0,1)C(1,1) D.(0，12)解析：选 B f( x)3
18、x23 a，令 f( x)0，可得 a x2，又 x(0,1)，0 a1，故选 B.3若函数 f(x) x33 x29 x k 在区间4,4上的最大值为 10，则其最小值为( )A10 B71C15 D22解析：选 B f( x)3 x26 x93( x3)( x1)由 f( x)0，得 x3 或 x1.又 f(4) k76， f(3) k27，f(1) k5， f(4) k20.由 f(x)max k510，得 k5， f(x)min k7671.4已知当 x 时，函数 f(x) txsin x(tR)的值恒小于零，则 t 的取值范(0， 2)12围是( )A. B.( ，2 ( ， 2C.
19、 D.2 ， 2， )解析：选 A f(x) txsin x0 在 x 内恒成立，即 t 在 内恒(0， 2) sin xx (0， 2)成立令 g(x) ，则 g( x) .sin xx xcos x sin xx2令 (x) xcos xsin x，则 ( x) xsin x，当 x 时， ( x)0， (x)在 上单调递减，(0， 2) (0， 2) (x) (0)0，sin x xcos x， g( x)0， g(x)在 内单调递减， t .(0， 2)sin 2 2 25设函数 f(x) x2ex，若当 x2,2时，不等式 f(x) m 恒成立，则实数 m 的取12值范围是_解析：
20、f( x) xex x2ex x(x2)，12 ex2由 f( x)0 得 x0 或 x2.当 x2,2时， f( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x 2 (2,0) 0 (0,2) 2f( x) 0 0 f(x) 2e2 0 2e2当 x0 时， f(x)min f(0)0，要使 f(x) m 对 x2,2恒成立，只需 m f(x)min， m0.答案：(，0)6已知函数 y x22 x3 在区间 a,2上的最大值为 ，则 a_.154解析： y2 x2，令 y0，得 x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减13若 a1，则最大值为 f(a) a22 a3 ，154解得
21、 a ；12(a 32舍 去 )若 a1，则最大值为 f(1)1234 .154综上知， a .12答案：127已知函数 f(x) ax3 x2 bx(其中常数 a， bR)， g(x) f(x) f( x)是奇函数(1)求 f(x)的表达式；(2)求 g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1) f( x)3 ax22 x b， g(x) f(x) f( x) ax3(3 a1) x2( b2) x b. g(x)是奇函数， g( x) g(x)，从而 3a10， b0，解得 a ， b0，13因此 f(x)的表达式为 f(x) x3 x2.13(2)由(1)知 g(x) x32 x，1
22、3 g( x) x22，令 g( x)0.解得 x1 (舍去)， x2 ，2 2而 g(1) ， g( ) ， g(2) ，53 2 423 43因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g( ) ，最小值为 g(2) .2423 438已知函数 f(x)ln x .ax(1)当 a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)x1，e时，分如下情况讨论：当 a0，函数 f(x)单调递增，其最小值为 f(1) a0， f(x)单调递增，所以，函数 f(x)的最小值为 f(a)ln a1，由 ln a1 ，得 a .32 e当 ae 时，函数 f(x)在1，e上有 f( x)e 时，显然函数 f(x)在1，e上单调递减，其最小值为 f(e)1 2，仍与最ae小值是 相矛盾；32综上所述， a 的值为 .e15
