1、1二 用数学归纳法证明不等式举例1利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一在运用数学归纳法证明不等式时，由 n k 成立，推导 n k1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行2归纳猜想证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳猜想证明”这一基本思想方法中一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性，形成“观察归纳猜想证明”的思想方法利用数学归纳法证明不等式例 1 证明不等式 1 2 (nN )12 13 1n n
2、思路点拨 验 证 n 1时 ，不 等 式 成 立 假 设 n k成 立 ，推 证 n k 1 n k 1成立 ， 结 论 得 证证明 (1)当 n1 时，左边1，右边2，不等式成立(2)假设当 n k(kN ， k1)时不等式成立，即 1 2 ，12 13 1k k则当 n k1 时，左边1 2 ，12 13 1k 1k 1 k 1k 1 2k(k 1) 1k 1现在只需证明 2 成立，2k(k 1) 1k 1 k 1即证 2 2 k1 成立，k(k 1)两边平方并整理，得 01，显然成立，所以 2 成立2k(k 1) 1k 1 k 1即 1 2 成立12 13 1k 1k 1 k 1所以当
3、n k1 时，不等式成立由(1)(2)可知，对于任意正整数 n，原不等式都成立2数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时，由 n k 到 n k1 时的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到 n k时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程1设 Sn是数列 的前 n 项和，当 n2 时，比较 S2n与 的大小，并予以证明1n n 22解：由S22
4、1 ， S231 S22 12 13 14 2512 2 22 12 13 14 15 18 18 18 18 18 2 22 12，猜想： S2n (n2)3 22 n 22下面用数学归纳法证明(1)当 n2 时，上面已证不等式成立(2)假设当 n k(kN ， k2)时，有 S2k ，k 22则当 n k1 时，S2k1 S2k 12k 1 12k 2 12k 1 k 22 2k2k 1 ，k 22 12 (k 1) 22即当 n k1 时，不等式也成立结合(1)(2)可知， S2n (n2， nN )成立n 222用数学归纳法证明：1 Qn.若 x0，则 Pn Qn.若 x(1,0)，则
5、 P3 Q3 x31)，当 n2 时，要证明的式子为_n 22 12 13 12n解析：当 n2 时，要证明的式子为2 时， f(2k1 )12 13 1n n2 f(2k)_.解析： f(2k1 )1 ，12 13 12k 12k 1 12k 1f(2k)1 ，所以12 13 12kf(2k1 ) f(2k) .12k 1 12k 2 12k 1答案： 12k 1 12k 2 12k 18用数学归纳法证明，对任意 nN ，有(12 n) n2.(112 13 1n)证明：(1)当 n1 时，左边右边，不等式成立当 n2 时，左边(12) 22，不等式成立(112) 92(2)假设当 n k(
6、k2)时不等式成立，即(12 k) k2.(112 1k)则当 n k1 时，有左边(12 k)( k1)Error!Error!(12 k) (12 k) ( k1)(112 1k) 1k 1 1 k2 1( k1) .(112 1k) k2 (1 12 1k)8当 k2 时，1 1 ，(*)12 1k 12 32左边 k2 1( k1) k22 k1 ( k1) 2.k2 32 32这就是说当 n k1 时，不等成立由(1)(2)可知当 n1 时，不等式成立9已知数列 an的前 n 项和 Sn满足： Sn 1，且 an0， nN .an2 1an(1)求 a1， a2， a3，并猜想 an
7、的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解：(1)当 n1 时，由已知得 a1 1，a12 1a1即 a 2 a120.21 a1 1( a10)3当 n2 时，由已知得 a1 a2 1，a22 1a2将 a1 1 代入并整理得 a 2 a220.3 2 3 a2 (a20)5 3同理可得 a3 .7 5猜想 an (nN )2n 1 2n 1(2)证明：由(1)知，当 n1 时，通项公式成立假设当 n k(kN )时，通项公式成立，即 ak .2k 1 2k 1由于 ak1 Sk1 Sk ，ak 12 1ak 1 ak2 1ak将 ak 代入上式，整理得2k 1 2k 1a 2 ak1 20，
8、2k 1 2k 1 ak1 ，2k 3 2k 1即 n k1 时通项公式成立由可知对所有 nN ， an 都成立2n 1 2n 110设数列 an满足 an1 a nan1， n1,2,3.2n(1)当 a12 时，求 a2， a3， a4，并由此猜想出 an的一个通项公式；(2)当 a3 时，证明对所有的 n1，有 an n2.解：(1)由 a12，得 a2 a a113，21由 a23，得 a3 a 2 a214，29由 a34，得 a4 a 3 a315.23由此猜想 an的一个通项公式：an n1( n1)(2)证明：用数学归纳法证明当 n1， a1312，不等式成立假设当 n k 时不等式成立，即 ak k2，那么，当 n k1 时ak1 ak(ak k)1( k2)( k2 k)1 k3，也就是说，当 n k1 时，ak1 ( k1)2.根据和，对于所有 n1，有 an n2.
