1、1课时跟踪检测（二） 基本不等式1下列不等式中，正确的个数是( )若 a， bR，则 ；a b2 ab若 xR，则 x22 2；1x2 2若 xR，则 x21 2；1x2 1若 a， b 为正实数，则 .a b2 abA0 B1C2 D3解析：选 C 显然不正确；正确；对于，虽然 x22 无解，但 x22 2 成立，故正确；1x2 2 1x2 2不正确，如 a1， b4.2设正实数 a， b 满足 a b1，则( )A. 有最大值 4 B. 有最小值1a 1b ab 12C. 有最大值 D a2 b2有最小值a b 222解析：选 C 由于 a0， b0，由基本不等式得 1 a b2 ，当且仅
2、当 a b 时，等ab号成立， ， ab ， 4，因此 的最小值为ab12 14 1a 1b a bab 1ab 1a 1b4， a2 b2( a b)22 ab12 ab1 ，( )12 12 a b2 a b2 12 112，所以 有最大值 ，故选 C.ab ab a b 23已知 x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y 的最小值是( )A3 B4C. D.92 112解析：选 B 由题意得 x2 y8 x2y8 2，当且仅当 x2 y 时，等号成立，(x 2y2 )整理得( x2 y)24( x2 y)320，即( x2 y4)( x2 y8)0，又 x2 y0，所以 x2 y
3、4，故选 B.4某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存2货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A5 千米处 B4 千米处C3 千米处 D2 千米处解析：选 A 由已知可得 y1 ， y20.8 x(x 为仓库到车站的距离)，20x所以费用之和 y y1 y20.8 x 2 8.20x 0.8x20x当且仅当 0.8x ，即 x5 时等号成立20x5若 x0，则 f(x)23 x2 的最大值是_，取得最大值时 x 的
4、值是12x2_解析： f(x)23 23410，(x24x2)当且仅当 x2 即 x 时取等号4x2 2答案：10 26若 a0， b0， a b2，则下列不等式对一切满足条件的 a， b 恒成立的是_(填序号) ab1； ； a2 b22；a b 2 a3 b33； 2.1a 1b解析：两个正数，和定，积有最大值，即 ab 1，当且仅当 a b 时取等 a b 24号，故正确；( )2 a b2 2 2 4，当且仅当 a b 时取等号，得 2，故a b ab ab a b错误；由于 1，故 a2 b22 成立，故正确；a2 b22 a b 24a3 b3( a b)(a2 b2 ab)2(
5、a2 b2 ab)， ab1， ab1，又a2 b22， a2 b2 ab1， a3 b32，故错误； 1 112，当且仅当 a b 时取等号，故成立1a 1b (1a 1b) a b2 a2b b2a答案：7对于 x ，不等式 16 恒成立，则正数 p 的取值范围为(0， 2) 1sin2x pcos2x3_解析：令 tsin 2x，则 cos2x1 t.又 x ， t(0,1)(0， 2)不等式 16 可化为 p (1 t)1sin2x pcos2x (16 1t)而 y (1 t)17 172 9，(161t) (1t 16t) 1t16t当 16 t，即 t 时取等号，1t 14因此若
6、原不等式恒成立，只需 p9.答案：9，)8已知 a0， b0， a b1，求证：(1) 8；1a 1b 1ab(2) 9.(11a)(1 1b)证明：(1) a b1， a0， b0， 21a 1b 1ab 1a 1b a bab (1a 1b)2 2 4(a ba a bb ) (ba ab)4 48(当且仅当 a b 时，等号成立)，baab 12 8.1a 1b 1ab(2) 1，(11a)(1 1b) 1a 1b 1ab由(1)知 8. 9.1a 1b 1ab (1 1a)(1 1b)9已知 x0， y0，且 2x5 y20.(1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求 的最小值1
7、x 1y解：(1) x0， y0，由基本不等式，得 2x5 y2 .10xy2 x5 y20，2 20，即 xy10，当且仅当 2x5 y 时等号成立10xy因此有Error! 解得Error!4此时 xy 有最大值 10. ulg xlg ylg( xy)lg 101.当 x5， y2 时， ulg xlg y 有最大值 1.(2) x0， y0， ，1x 1y (1x 1y) 2x 5y20 120(7 5yx 2xy) 120(7 2 5yx2xy) 7 21020当且仅当 时等号成立5yx 2xy由Error! 解得Error! 的最小值为 .1x 1y 7 2102010某房地产开发
8、公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区 A1B1C1D1的面积为 4 000 m2，人行道的宽分别为 4 m 和 10 m(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比 x，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x) A1B1B1C1的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1的长和宽应如何设计？解：(1)设休闲区的宽为 a m，则其长为 ax m，由 a2x4 000，得 a .2010x则 S(x)( a8)( ax20) a2x(8 x20) a1604 000(8 x20) 1602010x80 4 160( x1)10(2 x 5x)(2)由(1)知， S80 2 4 1601 6004 1605 760.102x5x当且仅当 2 即 x2.5 时取等号，此时 a40， ax100.x5x所以要使公园所占面积最小，休闲区 A1B1C1D1应设计为长 100 m，宽 40 m.5
