1、1课时跟踪训练(二十五) 空间的角的计算1已知 A(0,1,1)， B(2，1,0)， C(3,5,7)， D(1,2,4)，则直线 AB与直线 CD所成角的余弦值为_2棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N分别为 A1B1， BB1的中点，则异面直线AM与 CN所成角的余弦值是_3 PA平面 ABC， AC BC， PA AC1， BC ，则二面角 A PB C的余弦值为2_4(大纲全国卷改编)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，则 CD与平面 BDC1所成角的正弦值等于_5已知 E， F分别是棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱
2、 BC， CC1的中点，则截面AEFD1与底面 ABCD所成二面角的余弦值是_6.如图，在几何体 ABCDE中， ABC是等腰直角三角形， ABC90， BE和 CD都垂直于平面 ABC，且 BE AB2， CD1，点F是 AE的中点求 AB与平面 BDF所成角的正弦值7(江西高考)如图，四棱锥 P ABCD中， PA平面 ABCD， E为 BD的中点， G为 PD的中点， DAB DCB， EA EB AB1， PA ，连结 CE并延长交 AD于 F.32(1)求证： AD平面 CFG；(2)求平面 BCP与平面 DCP的夹角的余弦值28.如图，在几何体 ABCDE中， DA平面 EAB，
3、CB DA， EA AB， M是 EC的中点，EA DA AB2 CB.(1)求证： DM EB；(2)求异面直线 AB与 CE所成角的余弦值；(3)求二面角 M BD A的余弦值答 案1解析： AB(2，2，1)， CD(2，3，3)，cos ， CD .| 5322 5 2266直线 AB， CD所成角的余弦值为 .52266答案：522662解析：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，M ， C(0,1,0)， N .(1，12， 1) (1， 1， 12) A ， CN ，(0，12， 1) (1， 0， 12)3cos AM， CN ，125252 25故异面直
4、线 AM与 CN所成角的余弦值为 .25答案：253解析：如图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， B( ，1,0)， C(0,1,0)， P(0,0,1)，2AP(0,0,1) ， B( ，1,0)， C( ，0,0)， P(0，1，1)设平面2 2PAB的法向量为 m( x， y， z)，则Error!Error!Error!令 x1，则 m(1， ，0)2设平面 PBC的法向量为 n( x， y， z)，则Error! Error!Error!令 y1，则 n(0，1，1)，cos m， n .mn|m|n| 33答案：334.解析：以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设A
5、A12 AB2，则 D(0,0,0)， C(0,1,0)， B(1,1,0)， C1(0,1,2)，则C(0,1,0) ， B(1,1,0) ， 1(0,1,2)设平面 BDC1的法向量为 n( x， y， z)，则 n ， n ，所以有Error!令 y2，得平面 BDC1的一个法向量为 n(2，2,1)设 CD与平面 BDC1所成的角为 ，则 sin |cos n， DC| .|n|n| 23答案：235.解析：以 D为坐标原点，以 DA， DC， DD1分别为 x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则 A(1,0,0)， E ， F(12， 1， 0)， D1(0,0,1)(0，
6、1，12)4所以 1AD(1,0,1)， AE .(12， 1， 0)设平面 AEFD1的法向量为 n( x， y， z)，则Error!Error!取 y1，则 n(2,1,2)，而平面 ABCD的一个法向量为 u(0,0,1)，cos n， u .23答案：236解：以点 B为原点， BA、 BC、 BE所在的直线分别为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)， D(0,2,1)， E(0,0,2)，F(1,0,1)(0,2,1) ， F(1，2,0)， BA(2,0,0)设平面 BDF的一个法向量为 n(2， a， b)
7、， n ， n B，Error! 即Error!解得 a1， b2. n(2,1，2)又设 AB与平面 BDF所成的角为 ，则 sin .n| |n| 423 23即 AB与平面 BDF所成角的正弦值为 .237解：(1)证明：在 ABD中，因为 E是 BD中点，所以 EA EB ED AB1，故 BAD ， ABE AEB ，2 3因为 DAB DCB，所以 EAB ECB，从而有 FED BEC AEB ，3所以 FED FEA，5故 EF AD， AF FD.因为 PG GD，所以 FG PA.又 PA平面 ABCD，所以 GF AD，故 AD平面 CFG.(2)以点 A为坐标原点建立如
8、图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C， D(0， ，0)， P ，(32， 32， 0) 3 (0， 0， 32)故 BC ，Error!(12， 32， 0)Error!，D .(32， 32， 0)设平面 BCP的一个法向量 n1(1， y1， z1)，则Error! 解得Error!即 n1 .(1， 33， 23)设平面 DCP的一个法向量 n2(1， y2， z2)，则Error! 解得Error!即 n2(1， ，2)3从而平面 BCP与平面 DCP的夹角的余弦值为cos .|n1n2|n1|n2|431698 248解：以直线 AE、 AB、 A
9、D为 x轴、 y轴、 z轴，建立空间直角坐标系 A xyz，设 CB a，则 A(0,0,0)， E(2a,0,0)，B(0,2a,0)， C(0,2a， a)， D(0,0,2a)，所以 M(a， a， )，a2(1)证明：( a， a， )， EB(2 a,2a,0)，3a2 DEB a(2 a) a2a00，6 DM EB，即 DM EB.(2)A(0,2 a,0)， C(2 a，2 a， a)，设异面直线 AB与 CE所成的角为 ，则 cos .| 4a22a3a 23即异面直线 AB与 CE所成角的余弦值为 .23(3) DA平面 EAB， AD平面 DAB，平面 DAB平面 EAB， EA平面 EAB，平面 EAB平面 DAB AB，EA AB. EA平面 DAB. AE(2 a,0,0)是平面 DAB的一个法向量设平面 MBD的一个法向量为 n( x， y， z)，DM( a， a， )， BD(0，2 a,2a)，3a2则Error! 即Error!令 z a，则 n ，(a2， a， a)设二面角 M BD A的平面角为 ，则 cos .n| |n| a22a3a2 13即二面角 M BD A的余弦值为 .137
