1、1阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程考试时间：120 分钟 试卷总分：160 分二题 号 一15 16 17 18 19 20总 分得 分一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分将答案填在题中的横线上)1(江苏高考)双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y292抛物线 y24 x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是_y233方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 a 的取值范围是x2 a 1 2 y2a2_4(辽宁高考)已知 F 为双曲线 C： 1 的左焦点， P， Q 为 C 上的点若 PQ 的x29 y216长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线
2、段 PQ 上，则 PQF 的周长为_5设点 P 是双曲线 1( a0， b0)与圆 x2 y22 a2的一个交点， F1， F2分别是x2a2 y2b2双曲线的左、右焦点，且 PF13 PF2，则双曲线的离心率为_6已知动圆 P 与定圆 C：( x2) 2 y21 相外切，又与定直线 l： x1 相切，那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是_7已知双曲 C1 1( a0， b0)的离心率为 2.若抛物线 C2： x22 py(p0)的焦x2a2 y2b2点到双曲线 C1的渐进线的距离为 2，则抛物线 C2的方程为_8过抛物线 x28 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1(x1， y1)， P2(x
3、2， y2)两点，若y1 y28，则 P1P2的值为_9椭圆 1 的右焦点到直线 y x 的距离是_x24 y23 3310已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F， C 与过原点的直线相交于 A， B 两x2a2 y2b2点，连接 AF， BF.若 AB10， BF8，cos ABF ，则 C 的离心率为_4511(新课标全国卷改编)已知椭圆 E： 1( ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点x2a2 y2b22F 的直线交 E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_12抛物线 y212 x 截直线 y2 x1 所得弦长等于_13以椭圆的焦距为直径并过两焦
4、点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_14给出如下四个命题：方程 x2 y22 x10 表示的图形是圆；椭圆 1 的离心率 e ； 抛物线 x2 y2的准线的方程是 x ；双曲线x23 y22 53 18 1 的渐近线方程是 y x.y249 x225 57其中所有不正确命题的序号是_二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 14 分)求与椭圆 1 有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方x2144 y2169程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方
5、程16(本小题满分 14 分)已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，若| AB|8，求直线 l 的方程17.(本小题满分 14 分) 如图， F1， F2分别是椭圆C： 1( ab0)的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线x2a2 y2b2AF2与椭圆 C 的另一个交点， F1AF260.3(1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知 AF1B 的面积为 40 ，求 a， b 的值318(浙江高考)(本小题满分 16 分)如图，点 P(0，1)是椭圆C1： 1( ab0)的一个顶点， C1的长轴是圆 C2： x2 y24 的x
6、2a2 y2b2直径 l1， l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于A， B 两点， l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程；(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程9(陕西高考)(本小题满分 16 分)已知动点 M(x， y)到直线 l： x4 的距离是它到点N(1,0)的距离的 2 倍(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A， B 两点，若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率20(湖南高考)(本小题满分 16 分)过抛物线 E： x22 py(p0)的焦点 F 作斜率分别为4k1， k
7、2的两条不同直线 l1， l2，且 k1 k22， l1与 E 相交于点 A， B， l2与 E 相交于点C， D，以 AB， CD 为直径的圆 M，圆 N(M， N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10， k20，证明： F 0， b0)的率心率为 2. 2， bx2a2 y2b2 ca a2 b2aa. 双曲线的渐近线方程为 xy0.抛物线 C2： x22 py(p0)的焦点 到双曲3 3 (0，p2)线的渐近线的距离为 2.| 30p2|2 p8.所求的抛物线方程为 x216 y.答案： x216 y8解析：由题意知 p4，由抛物线的定义得P1P2 P1F P2F ( y1
8、 y2) p8412.(y1p2) (y2 p2)答案：129解析：椭圆 1 的右焦点为(1,0)，x24 y23右焦点到直线 x3 y0 的距离 d .333 9 12答案：1210解析：在 ABF 中，AF2 AB2 BF22 ABBFcos ABF10 28 22108 36，则 AF6.由45AB2 AF2 BF2可知， ABF 是直角三角形， OF 为斜边 AB 的中线， c OF 5.设椭圆的AB2另一焦点为 F1，因为点 O 平分 AB，且平分 FF1，所以四边形 AFBF1为平行四边形，所以6BF AF18.由椭圆的性质可知 AF AF1142 aa7，则 e .ca 57答案
9、：5711解析：因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y (x3)，12代入椭圆方程 1 消去 y，得 x2 a2x a2 a2b20，x2a2 y2b2 (a24 b2) 32 94所以 AB 的中点的横坐标为 1，即 a22 b2，32a22(a24 b2)又 a2 b2 c2，所以 b c3.所以 E 的方程为 1.x218 y29答案： 1x218 y2912解析：令直线与抛物线交于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 4x28 x10， x1 x22， x1x2 ， AB 14 1 22 x1 x2 2 .5 x1 x2
10、 2 4x1x2 15答案： 1513解析：如图，设椭圆的方程为 1( a b0)，焦半径x2a2 y2b2为 c.由题意知 F1AF290， AF2F160. AF2 c，AF12 csin 60 c.3 AF1 AF22 a( 1) c.3 e 1.ca 23 1 3答案： 1314解析：表示的图形是一个点(1,0)； e ；33渐近线的方程为 y x.75答案：15解：椭圆 1 的焦点是(0，5)，(0,5)，焦点在 y 轴上，x2144 y21697于是设双曲线方程是 1( a0， b0)，y2a2 x2b2又双曲线过点(0,2)， c5， a2， b2 c2 a225421，双曲线的
11、标准方程是 1，实轴长为 4，y24 x221焦距为 10，离心率 e ，ca 52渐近线方程是 y x.2212116解：抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，当直线 l 斜率不存在时，| AB|4，不合题意设直线 l 的方程为 y k(x1)，代入 y24 x，整理得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意知 k0，则 x1 x2 .2k2 4k2由抛物线定义知，|AB| AF| BF| x11 x21 x1 x22， x1 x228，即 28.2k2 4k2解得 k1.所以直线 l 的方程为 y( x1)，即 x y10， x y1
12、0.17解：(1)由题意可知， AF1F2为等边三角形， a2 c，所以 e .12(2)法一： a24 c2， b23 c2，直线 AB 的方程为 y (x c)3代入椭圆方程 3x24 y212 c2，得 B .(85c， 335c)所以| AB| | c0| c.1 385 165由 S AF1B |AF1|AB|sin F1AB a c a240 ，解得12 12 165 32 235 3a10， b5 .3法二：设 AB t.因为| AF2| a，所以| BF2| t a.由椭圆定义 BF1 BF22 a 可知， BF13 a t.由余弦定理得(3 a t)2 a2 t22 atco
13、s 60可得，8t a.85由 S AF1B a a a240 知，12 85 32 235 3a10， b5 .318解：(1)由题意得Error!所以椭圆 C1的方程为 y21.x24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1的方程为 y kx1.又圆 C2： x2 y24，故点 O 到直线 l1的距离 d ，1k2 1所以 AB2 2 .4 d24k2 3k2 1又 l2 l1，故直线 l2的方程为 x ky k0.由Error! 消去 y，整理得(4 k2)x28 kx0，故 x0 ， y0 1.8
14、k4 k2 84 k2所以 PD .8k2 14 k2设 ABD 的面积为 S，则 S ABPD ，12 84k2 34 k2所以 S ，324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313当且仅当 k 时取等号102所以所求直线 l1的方程为 y x1.10219解：(1)设 M 到直线 l 的距离为 d，根据题意 d2| MN|.由此得|4 x|2 ， x 1 2 y2化简得 1，x24 y239所以，动点 M 的轨迹方程为 1.x24 y23(2)法一：由题意，设直线 m 的方程为 y kx3，A(x1， y1)， B(x2， y2)将 y kx3 代入 1 中
15、，x24 y23有(34 k2)x224 kx240，其中 (24 k)2424(34 k2)96(2 k23)0，故 k2 .32由根与系数的关系得，x1 x2 ，24k3 4k2x1x2 .243 4k2又因为 A 是 PB 的中点，故 x22 x1，将代入，得x1 ， x ，8k3 4k2 21 123 4k2可得 2 ，且 k2 ，(8k3 4k2) 123 4k2 32解得 k 或 k ，32 32所以直线 m 的斜率为 或 .32 32法二：由题意，设直线 m 的方程为 y kx3， A(x1， y1)， B(x2， y2) A 是 PB 的中点， x1 ，x22y1 .3 y22
16、又 1，x214 y213 1，x24 y23联立，解得Error!或Error!即点 B 的坐标为(2,0)或(2,0)，所以直线 m 的斜率为 或 .32 321020解：(1)证明：由题意，抛物线 E 的焦点为 F ，(0，p2)直线 l1的方程为 y k1x .p2由Error! 得 x22 pk1x p20.设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则 x1， x2是上述方程的两个实数根从而 x1 x22 pk1，y1 y2 k1(x1 x2) p2 pk p.21所以点 M 的坐标为 ， FM( pk1， pk )(pk1， pk21p2) 21同理可得点 N 的坐标为 ， N( pk2， pk )(pk2， pk2p2) 2于是 F p2(k1k2 k k )212因为 k1 k22， k10， k20， k1 k2，所以 00，所以点 M 到直线 l 的距离d |2pk21 pk1 p|5 p|2k21 k1 1|511 .p2(k1 14)2 785故当 k1 时， d 取最小值 .14 7p85由题设， ，解得 p8.7p85 755故所求的抛物线 E 的方程为 x216 y.
