1、1第 7 章 计数原理1两个计数原理(1)应用分类加法计数原理，应准确进行“分类” ，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类(不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重)，每一类中的每一种方法都能独立地“完成这件事情” (2)应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步”的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成，即这些步骤不能互相替代，任何一步不能跳过2排列排列定义特别强调了按“一定顺序”排成一列，就是说，取出的元素不同一定是不相同的排列，即使元素相同，顺序不同，也不是相同的排列要特别注意“有序”与“无序”的区别3组合(1)组合的定义中包含两个基本内容：一是
2、取出“元素” ，二是“并成一组” ，即表示与顺序无关(2)如果两个组合中的元素不完全相同就是不同的组合4二项式定理(1)(a b)n的展开式的通项为 Tr1 C an rbr，且为展开式的第 r1 项rn(2)二项式系数的性质对称性：C C ，C C ，C C ，C C .0n n 1n n 1n 2n n 2n rn n rn增减性与最大值：二项式系数 C ，当 rrnn 12时，二项式系数是递减的n 12当 n 是偶数时，中间的一项 C 取得最大值n当 n 是奇数时，中间两项 C 和 C 相等，且同时取得最大值n n二项式系数的和：C C C C C 2 n，0n 1n 2n kn n且
3、C C C C C C 2 n1 .1n 3n 5n 0n 2n 4n两个计数原理的应用例 1 如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池2内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有( )A180 种 B240 种C360 种 D420 种解析 由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色当用三种颜色时，花池 2,4 同色和花池 3,5 同色，此时共有 A 种方案35当用四种颜色时，花池 2,4 同色或花池 3,5 同色，故共有 2A 种方案45当用五种颜色时有 A 种方案5因此所有栽种方案为 A
4、 2A A 420(种)35 45 5答案 D应用两个计数原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成对于有些较复杂的既要分类又要分步的问题，应注意层次清晰，不重不漏，在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)1甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 0,0,2,1,5，为遵守当地某月 5日至 9 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为( )A5 B24C32 D64解析：选 D 5 日至 9 日，有 3 天奇数日
5、，2 天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有 2 种选择，共有 238(种)，第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选 1 天安排甲的车，另外一天安排其他车，有 224(种)第二类，不安排甲的车，每天都有 2 种选择，共有 224(种)，共计 448，根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数共有8864.2从集合1,2,3，10中任意选出 3 个不同的数，使这 3 个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )3A3 B4C6 D8解析：选 D 以 1 为首项的等比数列为 1,2,4；1,3,9.以 2 为首项的等比数列为 2,4,8.以4 为首项的等比数列为 4,6,9.把这 4 个数列的顺
6、序颠倒，又得到 4 个数列，所求的数列共有 2(211)8(个).排列组合应用题例 2 五位老师和五名学生站成一排：(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法；(2)五名学生不能相邻共有多少种排法；(3)老师和学生相间隔共有多少种排法解 (1)先将五名学生“捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有 A 种排法，五名6学生再内部全排列有 A 种，故共有 A A 86 400 种排法5 6 5(2)先将五位老师全排列有 A 种排法，再将五名学生排在五位老师产生的六个空位上5有 A 种排法，故共有 A A 86 400 种排法56 5 56(3)排列方式只能有两类，如图所示：(用表示老师所在位置，用表示学
7、生所在位置)故有 2A A 28 800 种排法5 5“学生相邻”就“捆绑学生” ， “学生不相邻”就插空 “捆绑”之中的元素有顺序，哪些元素不相邻就插空例 3 由 1、2、3、4、5 五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为 12 345，第 2 项是 12 354，直到末项(第 120 项)是 54 321.问：(1)43 251 是第几项？(2)第 93 项是怎样的一个五位数？解 (1)由题意知，共有五位数为 A 120(个)，5比 43 251 大的数有下列几类：万位数是 5 的有 A 24(个)；4万位数是 4，千位数是 5 的有 A 6(个)；3万位数是 4，千位数
8、是 3，百位数是 5 的有 A 2(个)；2比 43 251 大的数共有 246232 个，所以 43 251 是第 1203288 项(2)从(1)知万位数是 5 的有 A 24 个，44万位数是 4，千位数是 5 的有 A 6(个)；3但比第 93 项大的数有 1209327 个，第 93 项即倒数第 28 项，而万位数是 4，千位数是 5 的 6 个数是 45 321、 45 312、45 231、45 213、45 132、45 123，从此可见第 93项是 45 213.带有限制条件的排列组合问题，常用“元素分析法”和“位置分析法” ，当直接考虑对象较为复杂时，可用逆向思维，使用间接
9、法(排除法)，既先不考虑约束条件，求出所有排列组合总数，然后减去不符合条件的排列、组合种数3一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A33! B3(3！) 3C(3！) 4 D9!解析：选 C 把一家三口看作一个排列，共有 3 个三口之家，然后再排列这 3 家，所以有(3！) 4种4某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A72 B120C144 D168解析：选 B 依题意，先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A A 144，其334中 3 个歌舞类节目互不相邻但
10、 2 个小品类节目相邻的排法种数为 A A A 24，因此满足题223意的排法种数为 14424120.5从 6 位同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A9 B14C12 D15解析：选 A 法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有 C 种选法；4第二类张、王两同学中只有 1 人参加，有 C C 种选法故共有 C C C 9 种选法1234 4 1234法二：(间接法)C C 9 种46 246某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那
11、么不同的发言顺序的种数为( )A360 B520C600 D720解析：选 C 当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为 2C A 480，当甲、354乙同时参加时，不同的发言顺序的种数为 A A 120，则不同的发言顺序的种数为25235480120600.二项式定理及其应用例 4 (1)已知(1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a( )A4 B3C2 D1(2)(2x3) 10 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a10(x1) 10，则 a1 a2 a3 a10等于( )A13 10 B3 101 C3 101 D0(3)(2017山东高考)已知(13 x)n
12、的展开式中含有 x2项的系数是 54，则n_.解析 (1)展开式中含 x2的系数为 C aC 5，25 15解得 a1.(2)令 x1，得 a01，令 x2，得 a0 a1 a101，所以 a1 a2 a100.(3)(13 x)n的展开式的通项为 Tr1 C (3x)r.rn令 r2，得 T39C x2.由题意得 9C 54，解得 n4.2n 2n答案 (1)D (2)D (3)4(1)二项式及其展开式的实质是一个恒等式，无论 x 取什么值，左、右两边代数式的值总对应相等通常利用这一点，分析 x 取何值时，展开式等于所求式，再将此 x 值代入左侧的二项式，就可以得出结果，这种处理方法叫做赋值
13、法(2)解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式Tr1 C an rbr(r0,1,2， n)rn7已知 n展开式中各项系数的和为 256，求：(x 14x)(1)n 的值；(2)展开式中所有有理项解：(1)由题意 2n256， n8.(2)通项公式 Tr1 C ( )8 r rC x43r4 ，r8 x (14x) r8其中 0 r8，要使展开式中的项为有理项，只要 x 的指数为整数，则 r0,4,8.6所以第 1 项，第 5 项与第 9 项为有理项，它们分别是 x4,70x， x2 .8求 5的展开式中含 x4的项的系数(x24x2 4)解： 5 10，(x24x2 4) (x
14、2x)通项公式为Tr1 C x10 r r(2) rC x102 r，r10 (2x) r10令 102 r4，则 r3， x4的项的系数为(2) 3C 960.310(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1计算 C 2A 的值是( )58 24A64 B80C13 464 D40解析：选 B C 2A C 2A 24380.58 24 38 248763212将 A， B， C， D， E 排成一列，要求 A， B， C 在排列中顺序为“ A， B， C”或“C， B， A”
15、(可以不相邻)，则不同的排列方法有( )A12 种 B20 种C40 种 D60 种解析：选 C 五个元素没有限制，全排列数为 A ，由于要求 A， B， C 的次序一定(按5A， B， C 或 C， B， A)，故所求排列数为 240.A5A33如图，要给，四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )A320 B160C96 D60解析：选 A 按的顺序涂色，有 C C C C 544432015 14 14 147种不同的方法4设 n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 M N240，(5x 1x)
16、则展开式中 x 的系数为( )A150 B150C300 D300解析：选 B 由题意知， M4 n， N2 n，由 M N240，解得 n4，则 Tr1 C (5x)4 r r(1) r54 rC x4 3r2 ，r4 ( 1x) r4令 4 1 得 r2.3r2所以展形式中 x 的系数为(1) 2C 52150.245若(2 x )4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则( a0 a2 a4)2( a1 a3)2的值为( )3A1 B1C0 D2解析：选 A ( a0 a2 a4)2( a1 a3)2( a0 a1 a2 a3 a4)(a0 a1 a2 a3 a4)(2 )4(2
17、 )41.3 36有 9 个男生，5 个女生排成一排，要求女生排在一起(中间不能有男生)，不同的排法种数是( )AA A B10A59 5CA A D2A A510 59解析：选 C 把 5 名女生作为一个元素，与其他 9 名男生排列，有 A 种不同的排法，10其中这 5 名女生有 A 种排法，根据分步乘法计数原理有 A A 种不同的排法5 10574 名男歌手和 2 名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )A6A B3A3 3C2A DA A A3 2144解析：选 D 先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有 A 种选法，这两名女歌手有
18、A14种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排列有 A 种排法，根据分步乘法计2 4数原理，有 A A A 种出场方案14248用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( )A144 个 B120 个C96 个 D72 个解析：选 B 当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共有 2A 个偶数；当34万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选一个，共有 C A 个偶数故符合条件的偶数共13348有 2A C A 120(个)34 13349若 n的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中含 的项的系数是( )(
19、3x 13x2) 1x3A7 B7C21 D21解析：选 C 赋值法，令 x1，得展开式各项系数之和为(31) n2 n128，所以n7，所以展开式的通项为 Tr1 (1) rC 37 rx7 53r ，令 7 r3，得 r6，故r753展开式中含 的项的系数是 C 321.1x3 6710将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子中，其中每个盒子都不空的放法共有( )A3 4种 B4 3种C18 种 D36 种解析：选 D 必然有 1 个盒子放 2 个球，可以先取出 2 个球看作一个整体，有 C 种，24再将 3 个元素排 3 个位置，有 A 种，共有 C A 36 种3 24311(201
20、7全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A12 种 B18 种C24 种 D36 种解析：选 D 因为安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1人完成，所以必有 1 人完成 2 项工作先把 4 项工作分成 3 组，即 2,1,1，有 6 种，C24C12C1A2再分配给 3 个人，有 A 6 种，所以不同的安排方式共有 6636 种312在(1 x)n的展开式中，奇数项之和为 p，偶数项之和为 q，则(1 x2)n等于( )A0 B pqC p2 q2 D p2 q2解析：选 C 由于(
21、1 x)n与(1 x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1 x)n p q，所以(1 x2)n(1 x)n(1 x)n( p q)(1 q) p2 q2.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上)13. 12展开式中的常数项为_(x 13x)解析：由通项公式 Tr1 C x12 r rr12 ( 13x)(1) rC x1243r ，r129令 12 r0 解得 r9.43 T10220.答案：22014从集合1,2,3，10中，选出由 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中任何两个数的和不等于 11，则这样的子集共有_个解析：两个数的
22、和等于 11 的情况有(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以满足条件的子集有 C C C C C 32(个)12 12 12 12 12答案：32155 个人排成一排，要求甲、乙两个人之间至少有一个人，则不同的排法有_种解析：甲、乙两个人之间至少有一个人，就是甲、乙两个人不相邻，则有A A 72(种)排法3 24答案：7216. (1 x)6展开式中 x2的系数为_(11x2)解析：(1 x)6展开式的通项 Tr1 C xr，所以 (1 x)6的展开式中 x2的系数为r6 (11x2)1C 1C 30.26 46答案：30三、解答题(本大题共有 6 小题，共 70
23、分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)六个人按要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(用数字作答，要有详细的说明过程)(1)甲不站在两端；(2)甲、乙不相邻；(3)甲在乙的左边(可以不相邻)；(4)甲、乙之间间隔两个人；(5)甲不站左端，乙不站右端解：(1)先排甲，有 C 种；其余的人全排列有 A 种，故共有 C A 480(种)14 5 145(2)法一：先计算甲、乙两个相邻的排法数共有 A A 240(种)，则甲、乙两个不相邻25的方法数为 A A A 480(种)6 25法二：先排其余的四人有 A 24(种)，再在四个人的五个空隙中排甲、乙两人，共有
24、4A 20(种)，根据分步乘法计数原理，共有 A A 480(种)25 425(3)在无限制的排列中，共有 A 种，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的排列种数是610相同的，故共有 A 360(种)排法126(4)先从另外四人中选出两人排在甲、乙的中间有 A 种不同的排法，所以包括甲、乙24这四人的排法有 A A 种排法，将这四人看作一个整体，与另外两人全排列有 A 种排法，242 3根据分步计数原理可知共有 A A A 144(种)不同的排法2423(5)(排除法)甲站左端的排法数有 A 种，乙站右端的排法数有 A 种，甲站左端同时乙5 5站右端的排法数有 A 种，所以甲不站左端，乙不站右端的
25、排法数为 A 2A A 504(种)4 6 5 418(本小题满分 12 分)已知(12 )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项x系数的 2 倍，而且是它的后一项系数的 ，试求展开式中二项式系数最大的项56解：设展开式中第 k 项的系数是第 k1 项系数的 2 倍，是 k1 项系数的 .56所以Error! 解得 n7.所以展开式中二项式系数最大的项是T4C (2 )3280 x32 与 T5C (2 )4560 x2.37 x 47 x19(本小题满分 12 分)用数字 0,1,2,3,4 组成四位数或三位数(数字可重复利用)(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个大于 20
26、00 的四位数？(3)可组成多少个被 3 整除的三位数？解：(1)A 53500 或 545 3500(间接法)14(2)A 531374.13(3)各位数字之和是 3 的倍数的数可被 3 整除，符合题意的有以下几种情况各位上数字相同有 4 个含有 0 的数字，由 0,0,3 组成有 1 个，由 0,1,2 组成、或由 0,2,4 组成各有C C 4(个).0,3,3 组成有 2 个122由 1,2,3 组成或由 2,3,4 组成的各有 A 6 个，由 1,1,4 组成的有 3 个，4,4,1 组3成的有 3 个所以共有 41242263233 个20(本小题满分 12 分)如图，在以 AB
27、为直径的半圆周上，有异于 A， B 的六个点C1， C2， C3， C4， C5， C6，直径 AB 上有异于 A， B 的四个点 D1， D2， D3， D4.11(1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含 C1点的有多少个？(2)以图中的 12 个点(包括 A， B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理： C1， C2， C6这六个点任取三点可构成一个三角形； C1， C2， C6中任取一点， D1， D2， D3， D4中任取两点可构成一个三角形； C1， C2， C6中任取两点， D1， D2， D3， D4中任取一点可构成一
28、个三角形C C C C C 116(个)36 1624 2614其中含 C1点的三角形有 C C C C 36(个)25 15 14 24(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，共有 C C C C C 360(个)46 3616 262621(本小题满分 12 分)已知 n，i 是虚数单位， x0， nN *.(2xi1x2)(1)如果展开式中的倒数第 3 项的系数是180，求 n 的值；(2)对(1)中的 n，求展开式中系数为正实数的项解：(1)由已知，得 C (2i)2180，即 4C 180，所以 n2 n900，又n 2n 2nnN ，解得 n10.(2) 10展开式的通项为
29、(2xi1x2)Tk1 C (2 i)10 kx2 kC (2i)10 kx552k .k10 x k10因为系数为正实数，且 k0,1,2，10，所以 k2,6,10.所以所求的项为 T311 520， T73 360 x10 ， T11 x20 .22(本小题满分 12 分)10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 4 只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？(1)4 只鞋子没有成双的；(2)4 只鞋子恰成两双；(3)4 只鞋中有 2 只成双，另两只不成双解：(1)从 10 双鞋子中选取 4 双，有 C 种不同的选法，每双鞋子各取一只，分别有4102 种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为 NC 243 360(种)410(2)从 10 双鞋子中选取 2 双有 C 种取法，即 45 种不同取法210(3)先选取一双有 C 种选法，再从 9 双鞋中选取 2 双鞋有 C 种选法，每双鞋只取一10 2912只各有 2 种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法为 NC C 221 440(种)1029
