1、1阶段质量检测（四）(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1把复数 z 的共轭复数记作 ，i 为虚数单位若 z1i，则(1 z) ( )z z A3i B3iC13i D3解析：(1 z) (2i)(1i)3i.z 答案：A2复数 ( )3 2i2 3iAi BiC1213i D1213i解析： i.3 2i2 3i 3 2i i 2 3i i 3 2i i3 2i答案：A3(北京高考)若复数(1i)( ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )A(，1
2、) B(，1)C(1，) D(1，)解析：因为 z(1i)( ai) a1(1 a)i，所以它在复平面内对应的点为( a1,1 a)，又此点在第二象限，所以Error! 解得 a1.答案：B4已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z 等于( )z 21 iA2i BiCi D2i解析：设 z bi(b0)，则 .z 21 i 2 bi1 i 2 bi 1 i2 2 b 2 b i22 是实数，2 b0.z 21 i b2， z2i.答案：D5设 z1i(i 是虚数单位)，则 z2( )2zA1i B1iC1i D1i解析： z2 (1i) 21i2i1i.2z 21 i答案：D6已知复数 z12
3、 ai(aR)， z212i，若 为纯虚数，则| z1|( )z1z2A. B.2 3C2 D. 5解析：由于 z1z2 2 ai1 2i 2 ai 1 2i 1 2i 1 2i 为纯虚数，则 a1，2 2a 4 a i5则| z1| ，故选 D.5答案：D7若 z1(2 x1) yi 与 z23 xi( x， yR)互为共轭复数，则 z1对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：由 z1， z2互为共轭复数，得Error!解得Error!所以 z1(2 x1) yi3i.由复数的几何意义知 z1对应的点在第三象限答案：C8(全国卷)设有下面四个命题：p1：若复数 z
4、满足 R，则 zR；1zp2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2R，则 z1 2；zp4：若复数 zR，则 R.z其中的真命题为( )A p1， p3 B p1， p43C p2， p3 D p2， p4解析：设复数 z a bi(a， bR)，对于 p1， R， b0， zR， p1是真命题；1z 1a bi a bia2 b2对于 p2， z2( a bi)2 a2 b22 abiR， ab0， a0 或 b0， p2不是真命题；对于 p3，设 z1 x yi(x， yR)， z2 c di(c， dR)，则 z1z2( x yi)(c di) c
5、x dy( dx cy)iR， dx cy0，取 z112i， z212i， z1 2， p3不是z真命题；对于 p4， z a biR， b0， a bi aR， p4是真命题z答案：B9若复数 z1i(i 为虚数单位)， 是 z 的共轭复数，则 z2 2的虚部为( )z z A0 B1C1 D2解析：因为 z1i，所以 1i，z 所以 z2 2(1i) 2(1i) 22i2i0.z 故 z2 2的虚部为 0.z 答案：A10定义运算 ad bc，则符合条件 42i 的复数 z 为( )|a bc d| |1 1z zi|A3i B13iC3i D13i解析：由定义知 zi z，|1 1z
6、zi|得 zi z42i，即 z 3i.4 2i1 i答案：A11 ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1， z2， z3，复数 z 满足|z z1| z z2| | z z3|，则 z 对应的点是 ABC 的( )A外心 B内心C重心 D垂心解析：设复数 z 与复平面内的点 Z 相对应，由 ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z1， z2， z3及| z z1| z z2| z z3|可知点 Z 到 ABC 的三个顶点的距离相等，由三角4形外心的定义可知，点 Z 即为 ABC 的外心答案：A12若 1 i 是关于 x 的实系数方程 x2 bx c0 的一个复数根，则( )2A b2， c
7、3 B b2， c3C b2， c1 D b2， c1解析：因为 1 i 是实系数方程的一个复数根，2所以 1 i 也是方程的根，2则 1 i1 i2 b，(1 i)(1 i)3 c，2 2 2 2解得 b2， c3.答案：B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在题中横线上)13i 是虚数单位， 2 018 6_.(21 i) (1 i1 i)解析：原式 1 009 6 1 009i 6i 1009i 6(21 i)2 (1 i1 i) ( 2 2i)i 42521 i 42 ii 21i.答案：1i14若复数 z 满足方程 ii1，则 z_.z解析： ii
8、1，z (i1)(i)1i.zi 1i z1i.答案：1i15已知复数 z123i， z2 a bi， z314i，它们在复平面上所对应的点分别为A， B， C.若 2 ，则 a_， b_.OC OA OB 解析： 2 OC OA OB 14i2(23i)( a bi)即Error! Error!答案：3 1016设 z1是复数， z2 z1i 1(其中 1表示 z1的共轭复数)，已知 z2的实部是 1，则 z zz2的虚部是_解析：设 z1 a bi(a， bR)，则 1 a bi，z z2 a bii( a bi)( a b)( a b)i.5由已知得 a b1. z2的虚部为1.答案：1
9、三、解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知复数 z123i， z2 .求：(1) z1z2；(2) .15 5i 2 i 2 z1z2解： z2 13i.15 5i 2 i 2(1)z1z2(23i)(13i)79i.(2) i.z1z2 2 3i1 3i 1110 31018(本小题满分 12 分)已知 z1( x y)( x2 xy2 y)i， z2(2 x y)( y xy)i，问 x， y 取什么实数值时，(1)z1， z2都是实数；(2)z1， z2互为共轭复数解：(1)由题意得Error!解得Erro
10、r! 或Error!所以当Error! 或Error! 时， z1， z2都是实数(2)由题意得Error!解得Error! 或Error!所以当Error! 或Error! 时， z1， z2互为共轭复数19(本小题满分 12 分)已知复数 z 满足(12i) 43i.z(1)求复数 z；(2)若复数( z ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解：(1)(12i) 43i，z 2i，z4 3i1 2i 4 3i 1 2i 1 2i 1 2i 10 5i5 z2i.(2)由(1)知 z2i，则( z ai)2(2i ai)22( a1)i 24( a1)24( a1)i
11、，复数( z ai)2在复平面内对应的点在第一象限，Error! 解得1 a1，即实数 a 的取值范围为(1,1)20(本小题满分 12 分)已知复数 z1i(1i) 3.6(1)求| z1|；(2)若| z|1，求| z z1|的最大值解：(1) z1i(1i) 3i(1i) 2(1i)22i，| z1| 2 .22 2 2 2(2)如图所示，由| z|1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为O(0,0)的圆，而 z1对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以| z z1|的最大值可以看成是点Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知| z z1|max| z1| r(r
12、为圆半径)2 1.221(本小题满分 12 分)设 为复数 z 的共轭复数，满足| z |2 .z z 3(1)若 z 为纯虚数，求 z.(2)若 z 2为实数，求| z|.z解：(1)设 z bi(bR 且 b0)，则 bi，z因为| z |2 ，则|2 bi|2 ，即| b| ，z 3 3 3所以 b ，所以 z i.3 3(2)设 z a bi(a， bR)，则 a bi，z因为| z |2 ，则|2 bi|2 ，即| b| ，z 3 3 3因为 z 2 a bi( a bi)2 a a2 b2( b2 ab)i.zz 2为实数，z所以 b2 ab0.因为| b| ，所以 a ，312所
13、以| z| .( 12)2 3 2 13222(本小题满分 12 分)已知 z1是虚数， z2 z1 是实数，且1 z21.1z1(1)求| z1|的值以及 z1的实部的取值范围；(2)若 ，求证： 为纯虚数1 z11 z1解：设 z1 a bi(a， bR，且 b0)(1)z2 z1 a bi i.1z1 1a bi (a aa2 b2) (b ba2 b2)因为 z2是实数， b0，于是有 a2 b21，即| z1|1，所以 z22 a.7由1 z21，得12 a1，解得 a ，12 12即 z1的实部的取值范围是 .12， 12(2) i.1 z11 z1 1 a bi1 a bi 1 a2 b2 2bi 1 a 2 b2 ba 1因为 a ， b0，所以 为纯虚数12， 12
