1、1佛山一中 2019 届高三年级期中考试题数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 设命题 ：若定义域为 的函数 不是偶函数，则 ， 命题 ： 在 上是减函数，在 上是增函数则下列判断错误的是 A. 为假 B. 为真 C. 为真 D. 为假 3. 已知 ， ，则 A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 5. 已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2，一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的
2、距离是A. B. C. D. 343232326. 已知 ， 为平面上的单位向量， 与 的起点均为坐标原点 ， 与 的夹角为 ，平面区域D 由所有满足 的点 P 组成，其中 那么平面区域 D 的面积为A. B. C. D. 7. 设命题 p：实数 满足 ， q：实数 x， y 满足 ，则 p 是 q 的,xy|1y21xA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 若实数 a， b， c， d 满足 ，则 的最小值为222(3ln)()0bacd22()()acbdA. B. 2 C. D. 829. 已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和
3、两点 A( m,0)， B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得 APB90，则 m 的最大值为A. 7 B. 6 C. 5 D. 410. 已知点 A， F， P 分别为双曲线 的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若21(0,)xyab恒成立，则双曲线的离心率为2A. B. C. 2 D. 3 1311. 设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 12. 设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为 A. B. C. D. 3二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.定义在 上的函数 满足 及 ，且在 上有 ，
4、则R()fx()2)fx()ffx0,12()fx_1209f14. ABC 的三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，其中 b3， c2 O 为 ABC 的外心，则_15. 已知点 及圆 ，一光线从点 出发，经 轴上一点 反射后与圆相切(1,2)P22(3)(4)xyPxQ于点 ，则 的值为_T|QT16. 函数 的零点个数为_2()4cos()2sin|l(1)|xfxx三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17. （本小题满分 12 分）如图，在 AB
5、C 中，点 P 在 BC 边上， PAC60， PC2， AP AC4（1）求 ACP；（2）若 APB 的面积是 ，求 18. （本小题满分 12 分）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜24：CyxF率为 的直线 与 交于 ， 两点， (0)klAB|8（1）求 的方程；l（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程AB19. （本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形， PA平面 ABCD， ABC60， E， F 分别是 BC， PC 的中点（1）证明： AE PD；（2）若 PA AB2，求二面角 E-AF-C 余弦值420. （本小题满分 12 分）已
6、知椭圆 的离心率 ，过焦点且垂直于 x 轴的21(0)xyab12e直线被椭圆截得的线段长为 3（1）求椭圆的方程；（2）斜率为 的动直线 l 与椭圆交于 A,B 两点，在平面上是否存在定点 P，使得当直线 PA 与直线PB 的斜率均存在时，斜率之和是与 l 无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21. （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 aR21()4ln(4)fxax（1）讨论 的单调性；()fx（2）若函数 存在极值，对于任意的 ，存在正实数 ，使得120x0x12012()(),fff试判断 与 的大小关系并给出证明12x0（二）选考题：共 1
7、0 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. （本小题满分 10 分）已知曲线 的参数方程 (t 为参数)在以坐标原点为极点，轴1C123xy的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 22s:in(1)求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；1C2(2)若 与 相交于 A、 B 两点，设点 ，求 的值12 (1,0)F1|AFB23. （本小题满分 10 分）已知函数 ()|fxx(1)若 ，使得不等式 成立，求实数 m 的最小值 M；0xR0(2)在(1)的条件下，若正数 a， b 满足 ，求 的最小值312ab5佛山一中 2019 届高三年级期中考数学（理
8、科）答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C C D B D A D B C D A二、填空题 13. 14. 15. 16. 2145243三、解答题17. （1） 在 中，因为 ， ， ，由余弦定理得 ，2 分所以 ，整理得 ，解得 所以 4 分所以 是等边三角形所以 5 分（2） 由于 是 的外角，所以 6 分因为 的面积是 ，所以 7 分所以 8 分在 中，所以 10 分在 中，由正弦定理得 ，11 分所以 12 分18. (1)设 ，由题意得 ， 的方程为 112(,)(,)AyxB(1,0)Fl(1)0ykx分6由 得 2 分2(1),4
9、ykx222(4)0kx，故 3 分260k12kx所以 4 分1224|()()kABFx由题设知 ，解得 （舍去） ， 5 分248kk1因此 的方程为 6 分l1yx(2)由(1)得 的中点坐标为 ， AB(3,2)所以 的垂直平分线方程为 ，即 8 分)yx5yx设所求圆的圆心坐标为 ，则 10 分0(,)x0220,(1)(1)6.x解得 或 11 分03,2xy01,6.因此所求圆的方程为 或 12 分22(3)()16xy22()(6)14xy19. （1） 因为四棱锥 ，底面 为菱形， ， ， 分别是 ， 的中点，所以 是等边三角形，所以 ，1 分又因为在菱形 中， ，所以 ，
10、2 分因为 ， ，所以 ，3 分因为 ，所以 ，4 分因为 ，所以 5 分（2） 由（ ）知 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ， 分别为 ， 的中点， ，所以 ，7， ， ， ， ， ，6 分所以 ， ，7 分设平面 的一个法向量为 ， 则 取 ，得 ，9 分因为 ， ， ，所以 ，所以 为平面 的一个法向量又 ，11 分所以 因为二面角 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 12 分20. (1) 设椭圆的半焦距为 c，则 ，且 由 解得 222ab12cea2,1xcyb2ba分依题意， ，于是椭圆的方程为 4 分23ba2143xy(2)设 ，设 ，
11、与椭圆方程联立得121,2AxtBxt:2lxt 2230.xt则有 6 分11,3.tt直线 PA,PB 的斜率之和89 分1221122()()33.PABmxtnxtmknt当 时斜率的和恒为 0，解得 11 分3,2nm1,32mn综上所述，所有满足条件的定点 P 的坐标为 或 12 分1,21. 解 （1）函数 f(x)的导函数 2 分4(4)(1()(),axfxa情形一 a0此时 ，于是 f(x)在 上单调递增；3 分0A情形二 a0此时 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减4 分4,a4,a（2）函数 f(x)存在极值，因此 a0根据题意，有5 分12120 12()ln4(
12、)(4,ffxxax而6 分1212128(),f ax故只需要比较 与 的大小12lnx12令 ，则 当 时， ，故 在(1,)上()()ltgt224(1)()tgttt()0gt()gt单调递增因此，当 时， 1t0于是， ，即 9 分2121lnx1212lnxx9于是 10 分120(),xff又 在 上单调递减，因此 进而 12 分fA120,x120x22. 解：(1)曲线 的参数方程为 (t 为参数)， ， ，1C23xty23txy30xy曲线 的普通方程为 2 分13(1)yx曲线 ： ， ， ， ，22sin22sin1223()1xy2341xy曲线 的直角坐标方程为 5 分2C43xy 由题意可设，与 A、B 两点对应的参数分别为 ， ，将 的参数方程代入 的直角坐标方程( ) 1t21C2，化简整理得， ， ，7 分2143xy25410t1245t， ，21| tFAB1205t，221212112416|()()()tttt10 分645|3FAB23.解：(1)由题意，不等式 有解，即 1 分|1|xm(|1|)minxM，3 分|1|()|2x当且仅当 时取等号，()0xx105 分2M由 得 ，(2)(1)3ab，8 分111()2()22(abbaab当且仅当 时取等号，9 分122a故 10 分1()2minab
