1、- 1 -南安一中 20172018 学年度上学期期中考高一数学试卷本试卷考试内容为：集合与函数分第 I 卷（选择题）和第 II 卷 注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上2考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效3答案使用 05 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号） 4保持答题纸纸面清洁，不破损考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回第 I 卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一
2、项是符合题目要求的 ）1.已知全集 ，集合 或 则图中阴影部分所表示的集合是 （） A. B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】图中阴影部分所表示的集合是 与集合 的交集，求出即可。【详解】由题知图中阴影部分所表示的集合是 与集合 的交集，因为全集 ，集合 ，所以 ，而集合 ，所以 .- 2 -故答案为 C.【点睛】本题主要考查了集合间的关系及运算，属于基础题。2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )A. B. 与C. 与 D. 【答案】B【解析】【分析】两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数，对选项逐个分析即可选出答案。【详解】对选项 A， ，所以 与 对应关
3、系不同，二者不是同一函数；对选项 B， ，与 对应关系相同，而定义域都是(0，+ )，故它们是同一函数；对选项 C，函数 的定义域是(0，+ )，而函数 的定义域是 ，故不是同一函数；对选项 D，函数 的定义域为 R，而 的定义域为 ，定义域不相同，故不是同一函数。故答案为 B.【点睛】函数有三要素：定义域，对应关系和值域。如果两个函数是同一函数，那么它们的三要素都完全一样，而实际上当两个函数定义域和对应关系都一样时，它们的值域也一定一样。3.函数 的零点必落在区间( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 3 -【分析】由题意得 ， ， ，根据函数零点存在性定理可得出答案。【详解】由
4、题得 ， ，而 ，根据函数零点存在性定理可得函数 在区间 上存在零点。故答案为 B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，属于基础题。4.下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上单调性也相同的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意判断已知函数为偶函数，且在 上单调递增，四个选项逐个去分析即可选出答案。【详解】函数 的定义域是 R，定义域关于原点对称，而 ，所以 是偶函数。当 时，函数 ，因为指数函数 是 R 上的减函数，所以 在 上单调递增。选项 A， ，定义域为 ，关于原点对称，而 ，所以 不是偶函数，故 A 不满足题意；选项 B， ，当 时， ，在 上单调
5、递减，故 B 不满足题意；选项 C， ， ，不是偶函数，故 C 不满足题意；选项 D， ，定义域为 R，且 ，所以 是偶函数，又因为 是二次函数， 上单调递增，故满足题意。故选 D.- 4 -【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性，属于基础题。5.下列关于函数 的图象中，可以直观判断方程 在 上有解的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】方程 f（x）-2=0 在（-，0）上有解，函数 y=f（x）与 y=2 在（-，0）上有交点，分别观察直线 y=2 与函数 f（x）的图象在（-，0）上交点的情况，选项 A，B，C 无交点，D 有交点，故选：D点睛：这个题目考查了方程有解的问题，把
6、函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，要求图像的画法要准确。6.函数 是幂函数，且在 上是增函数，则实数 =( )A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义，可以求出 或者 ，再结合单调性可以确定只有-2 满足题意。【详解】由题得： ，解得 或者 .当 时， ， ， ， ，所以 在 上不是增函数，故舍去；当 时， ，在 上是增函数，满足题意。- 5 -故选 A.【点睛】本题是关于求幂函数相关参数的题，要熟记幂函数的定义及性质。7.若 ，则 的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解
7、析】【分析】判断 的范围，代入对应的表达式即可。【详解】因为 ，所以 .则 .故选 B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，及指数和对数有关求值的计算，属于基础题。8.某种商品进货价为每件 200 元，售价为进货价的 125%，因库存积压，若按 9 折出售，每件还可获利( )A. 元 B. 元 C. 元 D. 元【答案】C【解析】【分析】先求出无折扣的售价，再求出打折之后的售价，然后减去进货价即可。【详解】无折扣的售价为：200 125%=250（元） ，打折后售价为：250 0.9=225(元)，获利;225-200=25(元)，所以若按 9 折出售，每件还可获利 25 元。故选 C.【点睛】
8、利润=售价-进价，应用题要找准题中的关系，列出正确的式子。9.已知函数 ， ，则 的值为( )- 6 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题知 是奇函数，利用奇函数的性质可以求出 与 的关系，即可求出答案。【详解】令 ，由于 ，所以 是奇函数。而 ，则 ， ，所以 ，因为 ， ，所以 .故选 A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，属于基础题。10.已知实数 满足等式 ，下列五个关系式： ； ； ； .其中不可能成立的关系式有( )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】C【解析】【分析】在同一坐标系中画出函数 和 的图象，令两个函数值相等比较真数大小即可选出答案。【详解】
9、在同一坐标系中画出函数 和 的图象，如下图，当两个函数都在 x 轴下方且函数值相等时，即 ，可知 ，此时有成立；当两个函数都在 x 轴上方且函数值相等时，即 ，可知 ，此时成立；- 7 -而当 时， ，此时成立。综上不可能成立。【点睛】本题考查了对数函数的性质，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题。11.设 是奇函数，且在 内是增函数，又 ，则 的解集是( )A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】由于 是奇函数，可以证明函数 是偶函数，偶函数图象关于 轴对称，可以先求出时 的解，进而利用对称性求出 时的解，即可选出答案。【详解】由题意 ，因为 在 内是增函数，且 ，
10、所以当 时， ；当 时， .故当 时， 的解是 .因为函数 是奇函数，所以 ，则函数 ，满足 ，即 是偶函数，它的图象关于 轴对称，故当 时 的解为 ,所以 的解集是 .- 8 -【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的运用，属于中档题。12.已知函数 在 上对任意的 都有 成立，则实数 a 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意知函数 是 R 上的单调递增函数，利用增函数的性质建立不等式，求出 a 的取值范围即可。【详解】因为在 R 上对任意的 都有 成立，可以知道函数 是 R 上单调递增函数，则函数满足 ，解得 .故选为 B.【点睛】本题考查了函数的单调性
11、，及指数函数与一次函数的性质，属于中档题。第卷 非选择题二、填空题.13.函数 的定义域为 _【答案】【解析】【分析】求函数 的定义域，只需要令对数的真数大于 0，及偶次方根被开方数非负，列出不等式组求解即可。【详解】由题可知 ，解得 .所以答案为 .【点睛】本题考查了函数定义域的求法，属于基础题。- 9 -14.若函数 f(x)是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 时，=_【答案】【解析】【分析】当 时， ，可以求出 的表达式，然后利用奇函数的性质求出 的表达式。【详解】由题意知，当 时， ，当 时， ，则 ，而 是定义在 上的奇函数，所以 ，故当 时， .【点睛】本题考查了函数的奇偶性及
12、函数解析式的求法，属于中档题。15.用 表示 两数中的最小值,若函数 ，则不等式的解集是 _.【答案】【解析】【分析】先通过 的含义求出函数 的解析式，然后结合解析式分类讨论解出不等式即可。【详解】若 ，则 ；若 ，则 .故 ，而 ，则不等式转化为 ，分两种情况讨论：当 ，即 时， ，- 10 -不等式 ，即 ，解得 ，故 ；当 ，即 时， ,不等式 ，即 ，解得 ，故 .综上两种情况，可得 .故不等式 的解集是 .【点睛】本题考查了分段函数的知识，以及不等式解法，属于中档题。16.关于函数 ，下列命题中所有正确结论的序号是_其图象关于 轴对称； 当 时， 是增函数；当 时， 是减函数； 的最
13、小值是 ； 在区间 上是增函数；【答案】【解析】【分析】对于先求函数 的定义域，然后通过判断 与 的关系，可以确定其为偶函数，正确；对于，先通过定义法求单调性，求出 的单调区间，进而利用复合函数单调性求出 的单调区间，即可求出 的最小值，可以确定错误，正确。【详解】函数 ，定义域为 ，定义域关于原点对称，所以函数 是偶函数，图象关于 轴对称，故正确；令 ，函数 在 上单调递减，证明如下：任取 ， ，且 ，则 ，因为 ， ，所以 ，- 11 -而 ， ，所以 ，故函数 在 上单调递减。同理可以证明函数 在 上单调递增，又因为 在 单调递增，利用复合函数单调性可知， 在 上单调递减，在 上单调递增
14、。由于函数 是偶函数，可知 在 上单调递增，在 上单调递减。的最小值为 .所以错误，正确。综上正确的结论是.【点睛】本题考查了对数函数的性质，复合函数的单调性，及函数的奇偶性和最值，属于中档题。三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答）17.（） ； （）【答案】 （）99 （）2【解析】【分析】（）利用指数幂的运算先化简再求解即可；（）先把含根号的式子利用完全平方公式化简，然后对整个式子利用对数式的性质化简求值即可。【详解】 （）原式 （）原式 - 12 -【点睛】本题考查了有理指数幂的运算性质，及对数的运算性质，属于基础题。18.已知二次函数 满足条件， ，且
15、（）求 的解析式； （）在区间 上， 的图象恒在函数 的图象上方，试确定实数 的范围【答案】() () 【解析】【分析】（）设二次函数表达式为 ，先利用 求出 的值，再利用可求出 的表达式；（）由题意可转化为 在区间 上恒成立问题，求出 在 的最小值令其大于 即可。【详解】 （）设 ，因为 ，可得 ，由于 可得，所以 ，解得 ，故 （） 对 恒成立，即 对 1,3恒成立 因为二次函数 ，在 的最小值为 ，所以 .【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，以及函数恒成立问题，属于中档题。19.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图：- 13 -（）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实
16、际意义； （）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 ，试将汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 表示为时间 的函数,并求出当汽车里程表读数为 时，汽车行驶了多少时间？【答案】() () 小时【解析】【分析】（）利用矩形的面积公式求出三个矩形面积相加即可；横坐标轴表示时间，纵坐标轴表示速度，所以面积即为汽车在 3 小时内行驶的路程；（）利用分段函数定义，可以建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 和时间 的函数关系式，并将 代入对应的表达式即可求出行驶的时间。【详解】 （）阴影部分的面积为 ，阴影部分的面积表示汽车在 小时内行驶的路程为 。 （）由题意得， 令 ，解得 ，所以汽车行驶 小时
17、.【点睛】解答应用题时，要注意利用题中的数据及其蕴含的关系，平常学习时要注意培养自己的看图能力，分析问题能力。20.已知函数 .（）若 ，求 的单调区间；（）是否存在实数 ，使得 的最小值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （） 的单调增区间 ，单调减区间为 . （）见解析- 14 -【解析】【分析】（）由 ，可以求出 的值，然后利用复合函数单调性可以得到答案；（）由函数的性质，可知 有最小值 时，才满足题意，进而利用函数的知识求出。【详解】 （）因为 ，所以 ，解得 ，由 ，解得 ，所以函数 的定义域为 令 ，则 在 单调递增，在 单调递减又 在 单调递增，所以 单调递
18、增区间为 ，单调递减区间为 . （）若满足条件，则 应有最小值 ，当 时显然不成立，所以 为二次函数，对称轴为 ,所以 ，解得 ，故存在实数 使 最小值为 ，使得 的最小值为 .【点睛】复合函数单调性口诀：同增异减。具体来说，内外函数的单调性相同时，复合函数为单调递增函数；内外函数的单调性相反时，复合函数为单调递减函数。21.定义在 R 上的函数 ，当 时， ，且对任意的 都有.（）求证： 是 R 上的增函数；（）求不等式 的解集.【答案】 （）见证明；（）不等式的解集为【解析】【分析】- 15 -（）任取 ，且设 ，结合当 时， ，以及 ，都有，可以证明 ，即可证明 是 R 上的增函数；（）
19、利用抽象函数的性质及 的单调性，可以得到 ，求解即可。【详解】 （）证明：任取 ，且设 ，则，为 上的增函数.（）不等式 可化为： ，即 ，故不等式化为 ，为 上的增函数， ，解得不等式的解集为 .【点睛】本题考查了抽象函数的知识，以及函数单调性，属于中档题。22.已知函数 （）当 m=-2 时，求函数 f（ x）在（-，0）上的值域；（）若对任意 x0，+） ，总有| f（ x）|6 成立，求实数 m 的取值范围【答案】(1) (2)-11,1【解析】【分析】（）利用换元法将复合函数问题转化成二次函数类型问题求解。（）参变分离，把问题转化成函数的最值问题处理。【详解】 （）当 时， ，对称轴， - 16 -（）由题意知， 在 上恒成立。 ， ， ， ，由 得 t1，设 ，, 所以 在 上递减， 在 上递增， 在 上的最大值为 ， 在 上的最小值为 所以实数 的取值范围为【点睛】 （1）本题考查复合函数值域问题。换元法将复杂函数转化成基本函数类型解决。（2）恒成立问题一般是参变分离，把问题转化成函数的最值问题。再利用函数的单调性求函数的最值。- 17 -
