1、1第 9 讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布考纲解读 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，并能根据分布列正确求出期望与方差，并能解决一些实际问题(重点、难点)2.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，掌握正态曲线的相关性质，并能进行正确求解考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点题型. 预计 2020 年将会考查：与分布列相结合求期望与方差，通过设置密切贴近现实生活的情景，考查概率思想的应用意识和创新意识；正态分布的考查，尤其是正态总体在某一区间内的概率. 题型为解答题中的一问，试题难度不会太大，属中档题型.1离散型随机变量的均值与方差若离散型随
2、机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn(1)均值：称 E(X) x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 X 的均值或数学期01 望，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平02 (2)D(X) (xi E(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)ni 1的 平均偏离程度，其算术平方根 为随机变量 X 的标准差03 D X2均值与方差的性质(1)E(aX b) aE(X) b；01 (2)D(aX b) a2D(X)(a， b 为常数)02 3两点分布与二项分布的均值、方差24正态曲线(1)正态曲线的定义函数 ， (x
3、) e ， x(，)，其中实数 和 ( 0)为参数，12 称 ， (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线( 是正态分布的期望， 是正态分布的标准差)(2)正态曲线的特点曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，关于直线 x 对称；01 曲线在 x 处达到峰值 ；02 1 2曲线与 x 轴之间的面积为 1；当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“高瘦” ，表示总体的分03 布越集中； 越大，曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散04 5正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数 a， b(a1.7
4、5，则 p 的取值范围是( )A. B. C. D.(0，712) (0， 12) (712， 1) (12， 1)答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为 p，即 P(X1) p，发球二次的概率P(X2) p(1 p)，发球三次的概率 P(X3)(1 p)2，则 E(X) p2 p(1 p)3(1 p)2 p23 p3，依题意有 E(X)1.75，则 p23 p31.75，解得 p 或 p0)，试卷满分 150 分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90 分)的人数占总人数的 ，则此次数学考试成绩在 100 分到110110 分之间的人数约为( )A400 B500 C600 D
5、800答案 A解析 P(X90) P(X110) ，110 P(90 X110)12 ，110 45 P(100 X110) ，25则成绩在 100 分到 110 分之间的人数为 1000 400.故选 A.25条件探究 若将举例说明 1 中“正方形”改为“矩形” ， “X N(1,1)”变为“X N(1,1)，阴影部分如图所示” ，则结果如何？解 对于正态分布 N(1，1)，可知 1， 1，正态曲线关于直线 x1 对称，故题图中阴影部分的面积为 P(30)和 N( 2， )( 20)的密度函数图象如图所21 2示，则有( )A 1 2， 1 2 B 1 2， 1 2C 1 2， 1 2 D
6、1 2， 1 2答案 A解析 反映正态分布的平均水平， x 是正态曲线的对称轴，由图知 1110) (10.6826)0.1587，12 P( 90)0.68260.15870.8413.估计及格人数约为 20000.84131683.高频考点 均值、方差的计算和实际应用考点分析 离散型随机变量的均值、方差是高考大题的必考题型之一通常以实际问题为背景，综合考查概率计算、求分布列，计算均值、方差还应特别注意与函数知识的综合问题典例 (2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理14完根据
7、往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率(1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶)为多少时， Y 的数学期望达到最大值？解 (1)由题意知， X 所有可能取值为 200,300,500
8、，由表格数据知 P(X200) 0.2，2 1690P(X300) 0.4，3690P(X500) 0.4.25 7 490因此 X 的分布列为X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500，至少为 200，因此只需考虑200 n500.当 300 n500 时，若最高气温不低于 25，则 Y6 n4 n2 n；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002( n300)4 n12002 n；若最高气温低于 20，则 Y62002( n200)4 n8002 n.因此 E(Y)2 n0.4(12002 n)0.4(8002 n)0.26400.4 n.当 200 n300 时，若最高气温不低于 20，则 Y6 n4 n2 n；若最高气温低于 20，则 Y62002( n200)4 n8002 n，因此 E(Y)2 n(0.40.4)(8002 n)0.21601.2 n.所以 n300 时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元15
