1、1第 11 章 算法复数推理与证明 第 3 讲A 组 基础关1由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“ mn nm”类比得到“ ab ba”；“( m n)t mt nt”类比得到“( a b)c ac bc”；“( mn)t m(nt)”类比得到“( ab)c a(bc)”；“ t0， mt xtm x”类比得到“ p0， ap xpa x”；“| mn| m|n|”类比得到“| ab| a|b|”；“ ”类比得到“ ”acbc ab acbc ab以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 向量的数量积满足交换律，正确；向量的数量积满足分配律
2、，正确；向量的数量积不满足结合律，不正确；向量的数量积不满足消去律，不正确；由向量的数量积公式，可知不正确；向量的数量积不满足消去律，不正确；综上知，正确的个数为 2 个，故 B 正确2在用演绎推理证明通项公式为 an cqn(cq0)的数列 an是等比数列的过程中，大前提是( )A an cqnB. q(n2)anan 1C若数列 an满足 (nN *)是常数，则 an是等比数列an 1anD若数列 an满足 (n2)是常数，则 an是等比数列an 1an答案 C解析 证明一个数列是等比数列的依据是等比数列的定义，其公式表示为 (nN *)或an 1an(n2)是常数anan 13(2018
3、江西南昌模拟)已知132 3 2,132 33 3 2,132 33 34 3 2， ，若(62) (122) (202)132 33 34 3 n33025，则 n( )A8 B9 C10 D11答案 C2解析 观察所提供的式子可知，等号左边最后一个数是 n3时，等号右边的数为2，因此，令 23025，则 55， n10 或 n11(舍去)n n 12 n n 12 n n 124.(2018山西孝义期末)我们知道：在平面内，点( x0， y0)到直线 Ax By C0 的距离公式 d ，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线|Ax0 By0 C|A2 B2x2 y2 z3
4、0 的距离为( )A3 B5 C. D35217 5答案 B解析 利用类比的方法，在空间中，点( x0， y0， z0)到直线 Ax By Cz D0 的距离d ，所以点(2,4,1)到平面 x2 y2 z30 的距离 d|Ax0 By0 Cz0 D|A2 B2 C2 5.2 8 2 31 4 4 1535将自然数 0,1,2，按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从 2017 到 2019 的箭头方向是( )答案 B解析 看作一个循环体，又因为 20165044.所以从 2017 到 2019 的箭头方向是 .6(2018安徽江淮十校三联)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所
5、失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“” 即代表无限次重复，但原式却是2 2 2 个定值 x，这可以通过方程 x 确定 x2，则 1 ( )2 x11 11 A. B. C. D. 5 12 5 12 1 52 1 52答案 C3解析 1 x，即 1 x，即 x2 x10，解得11 11 1xx ，故 1 ，故选 C.1 52 (x 1 52 舍 去 ) 11 11 1 527(2018陕西一模)设 ABC 的三边长分别为 a， b， c， ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r ，类比这个结论可知，四面体 S ABC
6、 的四个面的面积分别为2Sa b cS1， S2， S3， S4，内切球半径为 R，四面体 S ABC 的体积为 V，则 R 等于( )A. B.VS1 S2 S3 S4 2VS1 S2 S3 S4C. D.3VS1 S2 S3 S4 4VS1 S2 S3 S4答案 C解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，由平面图形中r 的求解过程类比空间图形中 R 的求解过程可得四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和，则四面体的体积为V V 四面体 S ABC (S1 S2 S3 S4)R，所以 R .故选 C.13 3VS1 S2 S3
7、 S48(2018湖北八校联考)二维空间中，圆的一维测度(周长) l2 r，二维测度(面积)S r2；三维空间中，球的二维测度(表面积) S4 r2，三维测度(体积) V r3.应用合43情推理，若四维空间中， “超球”的三维测度 V8 r3，则其四维测度 W_.答案 2 r4解析 在二维空间中，圆的二维测度(面积) S r2，则其导数 S2 r，即为圆的一维测度(周长) l2 r；在三维空间中，球的三维测度(体积) V r3，则其导数43V4 r2，即为球的二维测度(表面积) S4 r2；应用合情推理，在四维空间中， “超球”的三维测度 V8 r3，则其四维测度 W2 r4.9(2018重庆
8、调研)甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同 ”乙说：4“我读的第二本书与甲读的第一本书相同 ”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是_读的第一本书答案 丙解析 因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书10已知点 A(x1， ax1)， B(x2， a x2)是函数 y ax的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段 AB 总是位于 A， B 两点之间函数图象的上方，因此有成立运用类比思想方法可知，若点 A(x1，sin x1)，B(
9、x2，sin x2)是函数 ysin x(x(0，)图象上任意不同的两点，则类似地有_成立答案 1， nN *)，若 fm(x) (mN *)，则 m( )x1 256xA9 B10 C11 D126答案 B解析 由题意可得 f2(x) f1f1(x) f1 ，(2x2 x)22x2 x2 2x2 x x1 x同理可得， f3(x) ， f4(x) ，x1 2x x1 4xf5(x) ， fn(x) ，x1 8x x1 2n 2x由 fm(x) (mN *)恒成立，可得 2m2 2562 8，即有 m28，即 m10.x1 256x3已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a11， Sn n
10、2an(nN *)，试归纳猜想出 Sn的表达式为( )A Sn B Sn2nn 1 2n 1n 1C Sn D Sn2n 1n 1 2nn 2答案 A解析 Sn n2an n2(Sn Sn1 )， Sn Sn1 ，又 S1 a11，则n2n2 1S2 ， S3 ， S4 .猜想得 Sn ，故选 A.43 32 64 85 2nn 14(2017全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则( )A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道
11、四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1 个优秀，1 个良好” 乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好” ；丙为“良好”时，乙为“优秀” ，可得乙可以知道自己的成绩丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好” ；甲为“良好”时，丁为“优秀” ，可得丁可以知道自己的成绩故选 D.65(2018黑龙江检测)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，则S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列 bn的前 n
12、项积为 Tn，则_成等比数列答案 T4， ， ，T8T4T12T8 T16T12解析 设等比数列 bn的公比为 q，首项为 b1，则 T4 b q6， T8 b q127 b q28，41 81 81T12 b q1211 b q66，12 12T16 b q1215 b q120，16 16 b q22， b q38， b q54，T8T4 41 T12T8 41 T16T12 41故 T4， ， ， 成等比数列T8T4T12T8 T16T126如图，平面上，点 A， C 为射线 PM 上的两点，点 B， D 为射线 PN 上的两点，则有 (其中 S PAB， S PCD分别为 PAB， P
13、CD 的面积)；空间中，点 A， C 为射S PABS PCD PAPBPCPD线 PM 上的两点，点 B， D 为射线 PN 上的两点，点 E， F 为射线 PL 上的两点，则有_(其中 VP ABE， VP CDF分别为四面体 P ABE， P CDF 的体积)VP ABEVP CDF答案 PAPBPEPCPDPF解析 设 PM 与平面 PDF 所成的角为 ，则 A 到平面 PDF 的距离 h1 PAsin ， C 到平面 PDF 的距离h2 PCsin ， VP ABE VA PBE S PBEh1，13VP CDF VC PDF S PDFh2，13 VP ABEVP CDF13S P
14、BEh113S PDFh213PBPEPAsin13PDPFPCsin .PAPBPEPCPDPF7如图，将边长分别为 1,2,3 的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子之间的距离7为 1，若以此方式再放置边长为 4,5,6，10 的正八边形，则这 10 个正八边形镶嵌的珠子总数是_答案 341解析 边长为 1,2,3，10 的正八边形叠放在一起，则各个正八边形上的珠子数分别为 8,28,38，108，其中，有 3 个珠子被重复计算了 10 次，有 2 个珠子被重复计算了 9 次，有 2 个珠子被重复计算了 8 次，有 2 个珠子被重复计算了 7 次，有 2 个珠子被重复计算了 6 次，有 2
15、 个珠子被重复计算了 1 次，故不同的珠子总数为(82838108)(3928272621)440341，故所求总数为 341.(27 2892 )8如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标 0，点(1,0)处标 1，点(1，1)处标 2，点(0，1)处标 3，点(1，1)处标 4，点(1,0)处标 5，点(1，1)处标 6，点(0,1)处标 7，依此类推，则标签为20192的格点的坐标为_答案 (1010,1009)解析 观察已知图形可知，点(1,0)处标 1，即 12，点(2,1)处标 9，即 32，点(3,2)处标 25，即 52，8由此推断，点( n1， n)处标(2 n1) 2.当 2n12019 时， n1009，故标签为 20192的格点的坐标为(1010,1009)
