1、1第 8 讲 函数与方程考纲解读 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够判断一元二次方程根的存在性与根的个数(重点、难点)2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存在预测 2020 年高考将以零点个数的判断或根据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或以解答题中一问的形式呈现.1函数的零点(1)定义：对于函数 y f(x)(x D)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 y f(x)(x D)的01 零点(2)三个等价关系(3)
2、存在性定理2二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象与零点的关系 b24 ac 0 0 0)的图象2与 x 轴的交点 201 102 无零点个数 203 104 01概念辨析(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( )(2)函数 y f(x)在区间( a， b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)f(b)0.( )(3)若 f(x)在区间 a， b上连续不断，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在( a， b)内没有零点( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值( )(5)若函数 f(x)在( a， b)上单调且 f(a)f(b)0， f(b)( b c)
3、(b a)0.由零点存在性定理得函数 f(x)的两个零点分别位于区间( a， b)和( b， c)内3函数 f(x) x23 x18 在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点答案 存在解析 令 f(x)0，得 x23 x180，解得 x6 或3.显然 61,8，31,8，所以 f(x) x23 x18 在区间1,8上存在零点，是 6.函数零点所在区间的判断方法及适合题型方法 解读 适合题型定理法 利用函数零点的存在性定理进行判断 能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负如举例说明 2图象法 画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断 容易画出函数的图象如举例说明 1
4、解方程法可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上当对应方程 f(x)0 易解时如举例说明 31在下列区间中，函数 f(x)e x4 x3 的零点所在的区间可能为( )A. B. C. D.(14， 0) (0， 14) (14， 12) (12， 34)答案 D解析 因为 f e 4 3e 40.12 (34) 34 所以 f f 0，故x0(1,0)故 n1.题型 函数零点个数的判定二1函数 f(x)Error!的零点个数是_答案 2解析 当 x0 时，令 x220，解得 x (正根舍去)，所以在(，0上有一2个零点；当 x0 时，易知 f(x)在(0，)上是增函数又因为 f(2)2
5、ln 20，所以 f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数 f(x)的零点个数为 2.2(2018日照模拟)已知 f(x)Error!则函数 y2 f2(x)3 f(x)1 的零点个数是_答案 5解析 令 2f2(x)3 f(x)10，解得 f(x)1 或 f(x) ，作出 f(x)的简图：126由图象可得当 f(x)1 或 f(x) 时，分别有 3 个和 2 个交点，则关于 x 的函数12y2 f2(x)3 f(x)1 的零点的个数为 5.条件探究 1 在举例说明 2 条件下，判断函数 y f2(x)3 f(x)零点的个数解 令 f2(x)3 f(x)0 得 f(x)0 或 f(x)3.由
6、函数 f(x)的图象可知 f(x)0 有 1 个实根， f(x)3 有 3 个实根，所以 y f2(x)3 f(x)有 4 个零点条件探究 2 把举例说明 2 中的“2 |x|”改为“2 |x| ”，其他条件不变，结果又如何？12解 令 2f2(x)3 f(x)10 得 f(x)1 或 f(x) ，作出函数 f(x)的简图如下：12由图象可知， f(x)1 有 3 个实根，f(x) 有 3 个实根，所以 y2 f2(x)3 f(x)1 有 6 个零点12判断函数零点个数的方法7(1)解方程法：所对应方程 f(x)0 有几个不同的实数解就有几个零点如举例说明 1.(2)零点存在性定理法：利用零点
7、存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题画出两个函数的图象，图象交点的个数，就是函数零点的个数如举例说明 2. 1(2019河南南阳月考)函数 f(x) cos x 在0，)内( )xA没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点答案 B解析 先研究 f(x)在区间0,1内的零点因为 f( x) sin x， 0，sin x0，12x x所以 f( x)0，故 f(x)在0,1上单调递增，且 f(0)10，所以f(x)在0,1内有唯一零点当 x1 时， f(x) cos x0，故函数 f(x)在0，)上有x且仅有一个零点，故选
8、B.2若 f(x)为偶函数，当 x0 时， f(x) x(1 x)，则当 x1 时，有交点，即函数 g(x) f(x) x m 有零点根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围9(2)分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决如举例说明2(1)(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解如举例说明 1、2(2) 1若函数 f(x)Error!有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_答案 (0,1解析 当 x0 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f
9、(x)有两个不同的零点，则当 x0 时，函数 f(x)2 x a 有一个零点，令 f(x)0 得 a2 x，因为 00.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x) b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_答案 (3，)解析 f(x)的大致图象如图所示，10若存在 bR，使得方程 f(x) b 有三个不同的根，只需 4m m20，所以 m3.思想方法 数形结合思想在函数零点问题中的应用函数 y f(x)的零点、方程 f(x)0 的实数根和函数 y f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标有密切的联系，解决相关问题时，通常要用到数形结合的方法典例 (2018吉林吉大附中四模)已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数，又是周期为 3 的周期函数，当 x 时， f(x)sin x，则函数 f(x)在区间0,6上的零点个(0，32)数是_答案 9解析 根据题意得当 x 时， f(x)sin x，令 f(x)0，则 sin x0.解得(0，32)x1.因为函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以 f(x3) f(x)，所以 f f .(32) (32)又因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，所以 f(0) f f 0.(32) (32)画出函数的图象，如图所示，由图象可知在0,6上的零点为 0,1，2,3,4，5,6，32 92所以共有 9 个零点11
