1、1第 9 讲 函数模型及其应用考纲解读 1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤(重点)2.了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较3.建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个冷考点预测 2020 年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或减少问题，以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主，考查考生建模能力和分析解决问题的能力.
2、1七类常见函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0)反比例函数模型 f(x) b(k， b 为常数且 k0)kx二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0)指数函数模型 f(x) bax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)对数函数模型 f(x) blogax c(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1)幂函数模型 f(x) axn b(a， b 为常数， a0)“对勾”函数模型 f(x) x (a0)ax2指数、对数、幂函数模型的性质23解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和
3、结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1概念辨析(1)在(0，)上，随着 x 的增大， y ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y x ( 0)的增长速度( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题( )(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律( )3答案 (1) (2) (3)2小题热身(1)(2019湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：x 2.01
4、 3 4.01 5.1 6.12y 3 8.01 15 23.8 36.04则最能体现这组数据关系的函数模型是( )A y2 x1 1 B y x21C y2log 2x D y x3答案 B解析 根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是 y x21.(2)高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 v f(h)的大致图象是( )答案 B解析 当 h H 时，体积为 V，故排除 A，C；由 H0 过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选 B.(3)据统计，每年到鄱阳湖国
5、家湿地公园越冬的白鹤数量 y(只)与时间 x(年)近似地满足关系 y alog3(x2)，观察发现 2012 年(作为第 1 年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000 只，估计到 2018 年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A4000 只 B5000 只 C6000 只 D7000 只答案 C解析 当 x1 时，由 3000 alog3(12)，得 a3000，所以到 2018 年冬，即第 7 年，y3000log 3(72)6000，故选 C.(4)有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，
6、则围成的矩形场地的最大面积为_ m 2.(围墙厚度不计)4答案 2500解析 设围成的矩形的长为 x m，则宽为 m，200 x4则 S x ( x2200 x)200 x4 14当 x100 时， Smax2500 m 2.题型 用函数图象刻画变化过程一1如图，不规则图形 ABCD 中： AB 和 CD 是线段， AD 和 BC 是圆弧，直线 l AB 于 E，当 l 从左至右移动(与线段 AB 有公共点)时，把四边形 ABCD 分成两部分，设 AE x，左侧部分面积为 y，则 y 关于 x 的大致图象为( )答案 D解析 由题意得，当 x 增大时，左侧部分的面积 y，开始时增大的速度快，后
7、来均匀增大，最后缓慢增大，只有 D 选项符合题意2如图，矩形 ABCD 的周长为 8，设 AB x(1 x3)，线段 MN 的两端点在矩形的边上5滑动，且 MN1，当 N 沿 A D C B A 在矩形的边上滑动一周时，线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G，记 G 围成的区域的面积为 y，则函数 y f(x)的图象大致为( )答案 D解析 由题意可知点 P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为 的扇形12因为矩形 ABCD 的周长为 8， AB x，则 AD 4 x，8 2x2所以 y x(4 x) 4( x2) 24 (1 x3)， 4显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当
8、 x2 时， y4 (3,4)，故选 D. 46判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 1(2019安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离( y)与行走时间( x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 C解析 根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大
9、爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有 C 正确2一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点到 6 点不进水不出水，则一定正确的是( )A B C D答案 A7解析 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的 ，所以 0 点到 3 点不出水，3 点到 412点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是
10、.题型 已知函数模型的实际问题二(2018珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数 p 与听课时间 t 之间的关系满足如图所示的曲线当 t(0,14时，曲线是二次函数图象的一部分，当 t14,40时，曲线是函数 ylog a(t5)83( a0，且 a1)图象的一部分根据专家研究，当注意力指数 p 大于等于 80 时听课效果最佳(1)试求 p f(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由解 (1)当 t(0,14时，设 p f(t) c(t12) 282( c0，解得 x2.3， x 为整数，3
11、x6， xZ.当 x6 时， y503( x6) x1153 x268 x115.令3 x268 x1150，有 3x268 x115185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多角度 4 构造 y x (a0)型函数ax4某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元，为了缓解供水压力，决定安装一个11可使用 4 年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为 0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位
12、：万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x) (x0， k 为常数)记 y 为该企业安装这种净水设备的费k50x 250用与该企业 4 年共将消耗的水费之和(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并化简；(2)当 x 为多少平方米时， y 取得最小值，最小值是多少万元？解 (1) C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元， C(0) 4， k1000，k250 y0.2 x 40.2 x (x0)100050x 250 80x 5(2)y0.2( x5) 12 17，当 0.2(x5) ，80x 5 0.2 x 5
13、80x 5 80x 5即 x15 时， ymin7，故当 x 为 15 平方米时， y 取得最小值 7 万元1解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性2建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解
14、(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解 1(2019福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，要使存留的污垢不34超过 1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 20.3010)( )A3 B4 C5 D612答案 B解析 设至少要洗 x 次，则 x ， x 3.322，因此至少需要洗 4 次
15、，(134) 1100 1lg 2故选 B.2某人准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为 S 平方米，其中a b12，若要使 S 最大，则 y_.答案 45解析 由题可得， xy1800， b2 a，则 y a b33 a3， S( x2) a( x3) b(3 x8) a(3 x8)y 3318083 x y.83解法一： S18083 x 83 1800x1808 (x0)，(3x4800x )180823x4800x18082401568.当且仅当 3x ，即 x40 时取等号， S 取得最大值4800x此时 y 45.1800x所以当 x40， y45 时， S 取得最大值解法二：设 S f(x)1808 (x0)，(3x4800x )f( x) 3 ，4800x2 3 40 x 40 xx2令 f( x)0 得 x40，当 00，当 x40 时， f( x)0；当 1020，则 l(x)15 x，显然 l(x)15 x 单调递减，故 l(x)5.12 12结合可知，当日产量为 10 吨时，每日的利润可达到最大，最大利润为 6.5 万元
