1、1第四章 平面向量第 1 讲 平面向量的概念及线性运算考纲解读 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义(重点)3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查预测 2020 年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1向量的有关概念22向量的线性运算33共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数 ，使得 b a.01 1概念辨析(1)在 ABC
2、 中， D 是 BC 的中点， E 是 AD 的中点，则 ( )( )AE 14AC AB (2)若 a b， b c，则 a c.( )(3)向量 与向量 是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上( )AB CD (4)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)下列命题正确的是( )A若| a| b|，则 a b B若| a|b|，则 abC若 a b，则 a b D若| a|0，则 a0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若 a b，则 a
3、与 b 方向相同，故 a b；D 错误，若| a|0，则 a0.4(2)如图 ，设 P， Q 两点把线段 AB 三等分，则下列向量表达式错误的是( )A. B. AP 13AB AQ 23AB C. D. BP 23AB AQ BP 答案 D解析 由题意得， ，故 D 错误AQ BP (3)设 a， b 是不共线的两个向量，已知 a2 b， 4 a4 b， a2 b，则( )BA BC CD A A， B， D 三点共线 B A， C， D 三点共线C A， B， C 三点共线 D B， C， D 三点共线答案 B解析 因为 a2 b，所以 a2 b，所以 ( a2 b)(4 a4 b)BA
4、AB AC AB BC 3 a6 b3( a2 b)3 .CD 所以 ，所以 A， C， D 三点共线AC CD (4)已知 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 a， b，则OA OB _， _(用 a， b 表示)DC BC 答案 b a a b解析 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ， a，DC AB OC OA 所以 b a，DC AB OB OA a b.BC OC OB 题型 平面向量的基本概念一1设 a0为单位向量，下列命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a| a|a0；若 a 与 a0平行，则 a| a|a0；若 a 与 a0平行且| a|1，则 a
5、 a0，假命题的个数是( )5A0 B1 C2 D3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量， a 与| a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a| a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.2下列叙述错误的是_(填序号)若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 a b 与 a， b 之一的方向相同；| a| b| a b|a 与 b 方向相同；向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 b a； 0；AB BA 若 a b，则 a b.答案 解析 对于，当 a b0 时
6、，其方向任意，它与 a， b 的方向都不相同对于，当 a， b 之一为零向量时结论不成立对于，当 a0 且 b0 时， 有无数个值；当 a0 但 b0 时， 不存在对于，由于两个向量之和仍是一个向量，所以 0.AB BA 对于，当 0 时，无论 a 与 b 的大小与方向如何，都有 a b，此时不一定有a b.故均错误有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量 a 与 的关系： 是与 a 同方向的单位向量， 是与 a
7、 反方向的单a|a| a|a| a|a|位向量(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件 1给出下列说法：若 A， B， C， D 是不共线的四个点，则 是四边形 ABCD 为平AB DC 6行四边形的充要条件；若 a， b 都是单位向量，则 a b；向量 与 相等；若AB BA a b， b c，则 a c.其中正确说法的序号是( )A B C D答案 A解析 正确；错误，因为 a， b 的方向不一定相同；错误， .AB BA 2给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量
8、不能比较大小，但它们的模能比较大小；若 a0( 为实数)，则 必为零；已知 ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中正确命题的序号为_答案 解析 错误，例如 ABC 中， 与 有公共终点，但不是共线向量；正确；错AB CB 误，若 a0( 为实数)，则 0 或 a0；错误，当 0 时， a b0，但 a 与 b 不一定共线题型 向量的线性运算二1下列四个结论： 0；AB BC CA 0；AB MB BO OM 0；AB AC BD CD 0.NQ QP MN MP 其中一定正确的结论个数是( )A1 B2 C3 D4答案 C解析 正确；错误， 0；正确， ( )(AB MB BO OM
9、 AB BO OM MB AB AB AC BD CD AB AC ) 0，正确， ( )( ) 0.BD DC CB BC NQ QP MN MP NQ QP MN MP NP PN 2(2017全国卷)设非零向量 a， b 满足| a b| a b|，则( )A ab B |a| b|7C ab D |a|b|答案 A解析 解法一：| a b| a b|，| a b|2| a b|2. a2 b22 ab a2 b22 ab. ab0. a b.故选 A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则在 ABCD 中，设 a， b，AB AD 由| a b| a b|知| | |，AC DB 从而四
10、边形 ABCD 为矩形，即 AB AD，故 a b.故选 A.3(2018全国卷)在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 ( )EB A. B. 34AB 14AC 14AB 34AC C. D. 34AB 14AC 14AB 34AC 答案 A解析 根据向量的运算法则，可得 ( )EB AB AE AB 12AD AB 14AB AC ，故选 A.34AB 14AC 条件探究 1 把举例说明 3 的条件改为“点 D 在 BC 边上且 CD2 DB，点 E 在 AD 边上，且 AD3 AE”，试用 ， 表示 .AB AC CE 解 由平面向量的三角形法则及向量
11、共线的性质可得 CE AE AC 13AD AC 13(AB 13BC ) AC 13AB 13 AC AB AC .29AB 89AC 条件探究 2 把举例说明 3 的条件改为“ D 为 AB 的中点，点 E 满足 2 0” ，试CE BE 用 ， 表示 .AB CD AE 8解 因为 D 为 AB 的中点，所以 ，CD CA AD CA 12AB 所以 .AC 12AB CD 又因为 2 0，CE BE 所以 2( )( )0，AE AC AE AB 所以 3 2 ，AE AC AB 所以 AE 23AC 13AB 23(12AB CD ) 13AB .23AB 23CD 1平面向量的线性
12、运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2向量线性运算的两个常用结论(1)在 ABC 中， D 是 BC 的中点，则 ( )，如举例说明 3.AD 12AC AB (2)O 为 ABC 的重心的充要条件是 0. OA OB OC 1已知 O， A， B， C 为同一平面内的四个点，若 2 0，则向量 等于( )AC CB OC A. B 23OA 13OB 13OA 23OB C2 D 2OA OB OA OB 答案 C解析 因为 ， ，所以
13、2 2( )( ) 2AC OC OA CB OB OC AC CB OC OA OB OC OC 0，所以 2 ，故选 C.OA OB OC OA OB 92如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C， D 是半圆弧的两个三等分点， a， b，则 ( )AB AC AD A a b12B. a b12C a b12D. a b12答案 D解析 连接 CD， OC，由题意得 CDA BAD CAD，所以 CD AB， CD AC，易证 AOC 为等边三角形，所以 AC AB，所以 ，所以12 CD 12AB b a a b.AD AC CD AC 12AB 12 12题型 共线向量定理的应
14、用三角度 1 证明向量共线或三点共线1已知平面内一点 P 及 ABC，若 ，则点 P 与 ABC 的位置关系是( )PA PB PC AB A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在 ABC 外部答案 C解析 因为 ，所以 2 ，所以 A， P， C 三点共线，且 PPA PB PC AB PB PA PC PA 是线段 AC 的三等分点(靠近 A)角度 2 由向量共线求参数的值2(2018贵州适应性测试)已知向量 e1与 e2不共线，且向量 e1 me2， ne1 e2，若 A， B， C 三点共线，则实数 m， n 满足的条件是( )AB
15、 AC A mn1 B mn1C m n1 D m n1答案 A10解析 因为 A， B， C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数 ，使得 ，所AB AC 以有 e1 me2 n e1 e2，由此可得Error!所以 mn1.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用如举例说明 2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线(3)若 a 与 b 不共线且 a b，则 0.(4)直线的向量式参数方程， A， P
16、， B 三点共线 (1 t) t (O 为平面内任一OP OA OB 点， tR)(5) ( ， 为实数)，若 A， B， C 三点共线，则 1. OA OB OC 1在四边形 ABCD 中， a2 b， 4 a b， 5 a3 b，则四边形 ABCD 的形AB BC CD 状是( )A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对答案 C解析 ( a2 b)(4 a b)(5 a3 b)8 a2 b2(4 a b)AD AB BC CD 2 ，所以 AD BC，且 AD BC，所以四边形 ABCD 是梯形BC 2设 e1， e2是两个不共线的向量，已知 2 e18 e2， e13 e2， 2 e1 e2.AB CB CD (1)求证： A， B， D 三点共线；(2)若 3 e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值BF 解 (1)证明：由已知得 (2 e1 e2)( e13 e2) e14 e2，BD CD CB 2 e18 e2， 2 .AB AB BD 又 与 有公共点 B，AB BD 11 A， B， D 三点共线(2)由(1)可知 e14 e2，BD 3 e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，BF ( R)，BF BD 即 3e1 ke2 e14 e2，Error! 解得 k12.
