1、1第五章 数列第 1 讲 数列的概念与简单表示法考纲解读 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，并知道数列是自变量为正整数的一类特殊函数2.掌握数列求通项的几种常用方法：利用 Sn与 an的关系求通项；利用递推关系求通项(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲一般不单独命题预测 2020 年高考可能与递推数列、等差、等比数列及前 n 项和综合考查，涉及题型有：由 Sn求 an；由递推关系求an；根据 an f(n)求最值题型一般为客观题，也可能作为解答题中的一问，试题难度一般不大，属中档题型.1数列的有关概念2数列的分类23数列 an的 an与 Sn的关系(
2、1)数列 an的前 n 项和： Sn a1 a2 an.特别提醒：若当 n2 时求出的 an也适合 n1 时的情形，则用一个式子表示 an，否则分段表示1概念辨析(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( )(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点( )(4)如果数列 an的前 n 项和为 Sn，则对 nN *，都有 an1 Sn1 Sn.( )答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)已知数列 an的通项公式为 an912 n，则在下列各数中，不是 an的项的是( )A21 B33 C152 D153
3、答案 C解析 代 n 值进行验证， n1 时，A 满足； n2 时，B 满足； n12 时，D 满足故选C.(2)设数列 an的前 n 项和 Sn n2，则 a8的值为( )A15 B16 C49 D643答案 A解析 a8 S8 S78 27 215.(3)在数列 an中， a11， an1 (n2)，则 a5等于( ) 1 nan 1A. B. C. D.32 53 85 23答案 D解析 a21 112， a31 1 ，1a1 1a2 12 12a41 123， a51 1 .1a3 1a4 13 23(4)数列 ， ， ， ，的一个通项公式 an_.112 123 134 145答案
4、(nN *) 1 nn n 1解析 观察数列可知，分母为以项数与项数加 1 的乘积形式的数列，分子是常数 1 的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式 an (nN *) 1 nn n 1题型 知数列前几项求通项公式一根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)1,0，0，0，0，；13 15 17(4) ，1， ， ，.32 710917解 (1)符号问题可通过(1) n或(1) n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1) n(6n5)(2)将数
5、列变形为 (10.1)， (10.01)， (10.001)，89 89 89 an .89(1 110n)(3)把数列改写成 ，分母依次为 1,2,3，而分子 1,0,1,0，1102130415061708周期性出现，因此数列的通项可表示为 an 或 an .1 1 n 12n |sinn2|n4(4)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子3255710917的通项公式为 bn2 n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列 n2，可得分母的通项公式为 cn n21，所以可得它的一个通项公式为 an .2n 1n2 1
6、由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；各项的符号特征和绝对值特征；对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)对于符号交替出现的情况，可用(1) k或(1) k1 ， kN *处理如举例说明(1) 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) ， ， ， ， ，；234156358631099(2) ， ， ， ， ，；1214 581316 29326164(3)
7、，2，8， ，；12 92 252(4)5,55,555,5555，.解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，相邻的偶数故所求数列的一个通项公式为 an .2n 2n 1 2n 1(2)数列可以改为 ， ， ， ， ，则分母为 2n，分子为 2n3，所以 12 14 581316 29326164数列的一个通项公式为 an(1) n .2n 32n(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即， ， ，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为 an .1
8、24292162252 n22(4)将原数列改写为 9， 99， 999，易知数列 9,99,999，的通项为59 59 59510n1，故所求的数列的一个通项公式为 an (10n1)59题型 由 an与 Sn的关系求通项公式二1已知 Sn3 n2 n1，则 an_.答案 Error!解析 因为当 n1 时， a1 S16；当 n2 时，an Sn Sn1 (3 n2 n1)3 n1 2( n1)123 n1 2，由于 a1不适合此式，所以 anError!2设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a11， an1 SnSn1 ，则 Sn_.答案 1n解析 由已知得 an1 Sn1 Sn S
9、nSn1 ，两边同时除以 SnSn1 得 1，1Sn 1Sn 1即 1.又 1，1Sn 1 1Sn 1S1 是首项为1，公差为1 的等差数列，1Sn 1( n1)(1) n，即 Sn .1Sn 1n条件探究 1 把举例说明 2 中的条件“ a11， an1 SnSn1 ”改为“ Sn2 an1” ，求 an.解 依题意得 Sn1 2 an1 1， Sn2 an1，两式相减得 Sn1 Sn2 an1 2 an，即 an1 2 an.又 S12 a11 a1，因此 a11，所以数列 an是以 a11 为首项，2 为公比的等比数列， an2 n1 .条件探究 2 把举例说明 2 中的条件“ a11，
10、 an1 SnSn1 ”改为“S24， an1 2 Sn1” 求 an.解 因为 an1 2 Sn1，所以 a22 S11，即 a22 a11.又因为 a1 a2 S24，所以 a11， a23.当 n2 时， an2 Sn1 1，得 an1 3 an(n2)，又 a23 a1，故数列 an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，因此 an3 n1 (nN *)61已知 Sn求 an的三个步骤(1)先利用 a1 S1求出 a1.(2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an Sn Sn1 (n2)便可求出当n2 时 an的表达式(3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n
11、2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写如举例说明 1.2 Sn与 an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化(1)利用 an Sn Sn1 (n2)转化为只含 Sn， Sn1 的关系式如举例说明 2.(2)利用 Sn Sn1 an(n2)转化为只含 an， an1 的关系式，再求解如举例说明 2 的条件探究 1,2. 1(2017全国卷改编)设数列 an满足 a13 a2(2 n1) an2 n，则an_.答案 (nN *)22n 1解析 因为 a13 a2(2 n1) an2 n，故当 n2 时
12、， a13 a2(2 n3) an1 2( n1)两式相减得(2 n1) an2，所以 an (n2)22n 1又由题设可得 a12，满足上式，从而 an的通项公式为 an (nN *)22n 12若数列 an的前 n 项和为 Sn首项 a10 且 2Sn a an(nN *)求数列 an的通项公2n式解 当 n1 时，2 S1 a a1，则 a11.21当 n2 时， an Sn Sn1 ，a2n an2 a2n 1 an 12即( an an1 )(an an1 1)0 an an1 或 an an1 1， an(1) n1 或 an n.题型 由递推关系求通项公式三角度 1 形如 an1
13、 an f(n)，求 an71已知数列 an中， a12， an1 anln ，求通项公式 an.(11n)解 an1 anln ，(11n) an an1 ln ln (n2)，(11n 1) nn 1 an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1ln ln ln ln 22nn 1 n 1n 2 322ln (nn 1n 1n 2322)2ln n(n2)又 a12 适合上式，故 an2ln n(nN *)角度 2 形如 an1 anf(n)，求 an2已知数列 an中， a11， an an1 (n2)，求通项公式 an.n 1n解 an an1 (n2)，n 1
14、n an1 an2 ， a2 a1.n 2n 1 12以上( n1)个式子相乘得an a1 .12 23 n 1n a1n 1n当 n1 时也满足此等式， an .1n角度 3 形如 an1 pan q，求 an3已知数列 an中， a11， an1 2 an3，求通项公式 an.解 递推公式 an1 2 an3 可以转化为 an1 t2( an t)，即 an1 2 an tt3.故递推公式为 an1 32( an3)，令 bn an3，则 b1 a134，且 2.bn 1bn an 1 3an 3所以 bn是以 b14 为首项，2 为公比的等比数列，则 bn42 n1 2 n1 ，所以 a
15、n2 n1 3.1叠加法求通项公式的四步骤82叠乘法求通项公式的四步骤3构造法求通项公式的三步骤1数列 an中， a11， an1 an2 n，则通项公式 an_.答案 Error! (nN *)解析 an1 an2 n， an2 an1 2 n2，故 an2 an2.即数列 an是奇数项与偶数项都是公差为 2 的等差数列当 n 为偶数时， a21，故 an a22 n1.(n2 1)当 n 为奇数时， an1 an2 n， an1 n(n1 为偶数)，故 an n.综上所述， anError!( nN *)2在数列 an中， a13，(3 n2) an1 (3 n1) an(n1)，则 an
16、_.9答案 63n 1解析 (3 n2) an1 (3 n1) an， an1 an， an 3n 13n 2 3 n 1 13 n 1 2 a1 3 .3 n 2 13 n 2 2 32 132 2 3 13 2 3n 43n 1 3n 73n 4 58 25 63n 13设 an是首项为 1 的正项数列，且(n1) a na an1 an0( n1,2,3，)，则它的通项公式 an_.2n 1 2n答案 1n解析 因为( n1) a na an1 an0，2n 1 2n所以( an1 an)(n1) an1 nan0.又因为 an0，所以 an1 an0，所以( n1) an1 nan0，
17、即 ， nN *.an 1an nn 1所以 ， ， ， ，a2a1 12 a3a2 23 a4a3 34 anan 1 n 1n以上各式相乘得 .ana1 12 23 34 n 1n 1n又 a11，所以 an .1n题型 数列的性质及应用四1已知 an ，那么数列 an是( )n 0.99n 0.99A递减数列 B递增数列C常数列 D摆动数列答案 A解析 an 1 ，n 0.99n 0.99 n 0.99 1.98n 0.99 1.98n 0.99因为函数 y1 在(0.99，)上是减函数，1.98x 0.99所以数列 an是递减数列2(2018大庆模拟)已知数列 an的通项公式 an(
18、n2) n，则数列 an的项取(67)最大值时， n_.答案 4 或 5解析 因为 an1 an( n3) n1 ( n2) n(67) (67)10 n n .(67)6 n 37 n 2 (67) 4 n7当 n0，即 an1 an；当 n4 时， an1 an0，即 an1 an；当 n4 时， an1 an0数列 an是单调递增数列； an1 an0 时， 1数列 an是单调递增数列； 1数列 an是单调递减数列； 1数列 an是单调递增数an 1an an 1an列； 1 数列 an是常数列an 1an2求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组Error!( n2)找到数列的
19、最大项；(2)利用不等式组Error!( n2)找到数列的最小项 1若数列 an满足 a12， a23， an (n3 且 nN *)，则 a2019( )an 1an 211A. B2 C. D.32 12 23答案 A解析 因为 a12， a23， an (n3 且 nN *)，an 1an 2所以 a3 ， a4 ， a5 ，a2a1 32 a3a2 323 12 a4a31232 13a6 ， a7 2 a1， a8 3 a2，a5a41312 23 a6a52313 a7a6 223所以 an的周期 T6，所以 a2019 a63363 a3 .322已知数列 an的通项为 an ，则数列 an的最大项的值为( )nn2 58A. B. C. 不存在1258 7107 461答案 C解析 an ，nn2 58 1n 58n函数 y x 在(0， )上单调递减，在( ，)上单调递增58x 58 58且 7 8.58当 n7 时， n 7 15 ，58n 587 27当 n8 时， n 8 15 15 ，58n 588 14 27所以 n 的最小值为 15 .58n 14所以 n8 时，数列 an的最大项的值为 .46112
