1、1第六章 不等式第 1 讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式考纲解读 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题预测 2020 年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值范围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等命题时常将不等式与函数的单调性相结合试题一般以客观题
2、的形式呈现，属中、低档题型.1两个实数比较大小的依据2不等式的基本性质3必记结论2(1)ab， ab0 b0,0 .acbd(4)0b0， m0，则 (b m0)； ；bab ma m aba mb m0)aba mb m4一元二次函数的三种形式(1)一般式： y ax2 bx c(a0)01 (2)顶点式： y a 2 (a0)02 (x b2a) 4ac b24a(3)两根式： y a(x x1)(x x2)(a0)03 5三个二次之间的关系31概念辨析(1)a bac2 bc2.( )(2)若不等式 ax2 bx c0 的解集是(， x1)( x2，)，则方程 ax2 bx c0的两个根
3、是 x1和 x2.( )(3)若方程 ax2 bx c0( a0)没有实数根，则不等式 ax2 bx c0 的解集为 R.( )(4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 aac B c(b a)0答案 A解析 因为 c0， c0，据此判断 A 成立，B，C，D 不一定成立(3)设 M2 a(a2)， N( a1)( a3)，则有( )A MN B M N C M0，故 MN.(4)已知函数 f(x) ax2 ax1，若对任意实数 x，恒有 f(x)0，则实数 a 的取值范围是_答案 4,0解析 当 a0 时， f(x)10 成立，当 a0 时，若对 xR， f(x)0，须有E
4、rror!解得4 a0.综上知，实数 a 的取值范围是4,0题型 不等式性质的应用一1若 a b0， c d0，则一定有( )A. B. C. D. ac bd ac bd ad bc ad bc答案 D解析 解法一：Error!Error! .故选 D. ad bc ad bc解法二：依题意取 a2， b1， c2， d1，代入验证得 A，B，C 均错误，只有 D 正确故选 D.2已知等比数列 an中， a10， q0，前 n 项和为 Sn，则 与 的大小关系为S3a3 S5a5_答案 0 且 q1 时， S3a3 S5a5 a1 1 q3a1q2 1 q a1 1 q5a1q4 1 q 0
5、； a b ；ln a2ln 1a1b 1a b1ab 1a 1bb2.其中正确的不等式是( )A B C D答案 C解析 因为 |a|，所以| a| bb， 1a1b 1a可推出 a b ，显然有 0，且 a7，则( )A7 7aa7aa7D7 7aa与 7aa7的大小不确定答案 C解析 显然 77aa0,7aa70，因为 7 a 7 a 7 a.77aa7aa7 (7a) (a7) (7a) (7a) (7a)当 a7 时，01，7a (7a)当 01,7 a0， 7 a1.7a (7a)综上知 77aa7aa7.3若 10 时，原不等式化为 (x1)0，(x2a)解得 x 或 x1.2a
6、当 a1，即 aa2，解得 x1.2a 2a综上所述，当 a0 时，不等式的解集为 x|x1；当 a0 时，不等式的解集为 x ；|x2a或 x 1当21.若 a0，解得 x1.(x1a) 1a若 a0，原不等式等价于 (x1)1 时， 1，解 (x1)1；当|x101 时，解集为 x .|10(0(0)的解集为( x1， x2)，且 x2 x115，则 a( )A. B. C. D.52 72 154 152答案 A解析 由条件知 x1， x2为方程 x22 ax8 a20 的两根，则 x1 x22 a， x1x28 a2.故( x2 x1)2( x1 x2)24 x1x2(2 a)24(8
7、 a2)36 a215 2，得 a ，故选 A.522不等式 1 的解集为_2x 1x 59答案 x|x43或 x5解析 将原不等式移项通分得 0，3x 4x 5等价于Error! 解得 x 或 x5.43原不等式的解集为 x .|x43或 x5题型 二次不等式中的任意性与存在性三角度 1 任意性与存在性1(1)若关于 x 的不等式 x2 ax a0 的解集为(，)，求实数 a 的取值范围；(2)若关于 x 的不等式 x2 ax a3 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围解 (1)设 f(x) x2 ax a，则关于 x 的不等式 x2 ax a0 的解集为(，)f(x)0 在( ，)上恒成
8、立 f(x)min0，即 f(x)min 0，解得4a a244 a0(或用 0 时， g(x)在1,3上是增函数，所以 g(x)max g(3)，即 7m60，(x12) 34又因为 m(x2 x1)60 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是_答案 (235， )解析 由 a280，知方程 x2 ax20 恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程 x2 ax20 必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是 f(5)0，解得 a ，故 a 的取值范围为 .235 ( 235， )2函数 f(x) x2 ax3.(1)当 xR 时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的
9、取值范围；(2)当 x2,2时， f(x) a 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)当 a4,6时， f(x)0 恒成立，求实数 x 的取值范围解 (1)当 xR 时， x2 ax3 a0 恒成立，需 a24(3 a)0，即 a24 a120，实数 a 的取值范围是6,2(2)当 x2,2时，设 g(x) x2 ax3 a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图 1，当 g(x)的图象恒在 x 轴上方且满足条件时，有 a24(3 a)0，即6 a2.如图 2， g(x)的图象与 x 轴有交点，但当 x2，)时， g(x)0，即Error! 即Error!可得Error! 解得 a .如图 3， g(x)的图象与 x 轴有交点，但当 x(，2时， g(x)0.即Error! 即Error!可得Error! 7 a6.综上，实数 a 的取值范围是7,2(3)令 h(a) xa x23.当 a4,6时， h(a)0 恒成立只需Error! 即Error!12解得 x3 或 x3 .6 6实数 x 的取值范围是(，3 3 ，)6 6
