1、1单元检测(七) 图形与变换(考试用时:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)1.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是( )答案 A解析 在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转 180后,能与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形 .2.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )A.24+2 B.16+4C.16+8 D.16+12答案 D解析 该几何体的表面积为 2 2 2+44+ 22 4=12 +16.12 123.如图,已知 ABC DEF,ABDE= 1 2,则下列等式一定成立的是( )A.BCDF=12B. A的度
2、数 D的度数 =12C. ABC的面积 DEF的面积 =12D. ABC的周长 DEF的周长 =12答案 D2解析 ABC DEF, ,A 不一定成立; =1,B 不成立; ,C 不成立;BCEF=12 A的度数 D的度数 ABC的面积 DEF的面积 =14,D 成立 . ABC的周长 DEF的周长 =124.一个几何体的主视图和俯视图如图所示,若这个几何体最多由 a 个小正方体组成,最少由 b 个小正方体组成,则 a+b 等于( )A.10 B.11 C.12 D.13答案 C解析 结合主视图和俯视图可知,左边后排最多有 3 个,左边前排最多有 3 个,右边只有一层,且只有1 个,所以图中的
3、小正方体最多 7 块,结合主视图和俯视图可知,左边后排最少有 1 个,左边前排最多有 3 个,右边只有一层,且只有 1 个,所以图中的小正方体最少 5 块, a+b=12.5.(2018 湖南永州)如图,在 ABC 中,点 D 是边 AB 上的一点, ADC= ACB,AD=2,BD=6,则边 AC 的长为( )A.2 B.4 C.6 D.8答案 B解析 A= A, ADC= ACB, ADC ACB, ,ACAB=ADACAC 2=ADAB=28=16,AC 0,AC= 4.6.(2018 湖南邵阳)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点 A(2,4),过点 A 作 AB x 轴于点 B.将
4、AOB以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ,得到 COD,则 CD 的长度是( )12A.2 B.1 C.4 D.2 5答案 A3解析 点 A(2,4),过点 A 作 AB x 轴于点 B.将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ,得12到 COD,C (1,2),则 CD 的长度是 2.7.(2018 山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,点 A,C 在 x 轴上,点 C 的坐标为( -1,0),AC=2.将 RtABC 先绕点 C 顺时针旋转 90,再向右平移 3 个单位长度,则变换后点 A 的对应点坐标是( )A.(2,2) B.(1,2)C.(-1,2) D.(2,-
5、1)答案 A解析 点 C 的坐标为( -1,0),AC=2, 点 A 的坐标为( -3,0),如图所示,将 Rt ABC 先绕点 C 顺时针旋转 90,则点 A的坐标为( -1,2),再向右平移 3 个单位长度,则变换后点 A的对应点坐标为(2,2),8.(2018 新疆)如图,点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点,点 M,N 分别是 AB,BC 边上的中点,则 MP+PN 的最小值是 ( )A. B.1 C. D.212 2答案 B解析 如图,作点 M 关于 AC 的对称点 M,连接 MN 交 AC 于 P,此时 MP+NP 有最小值,最小值为 MN 的长 .
6、菱形 ABCD 关于 AC 对称, M 是 AB 边上的中点,4M 是 AD 的中点,又 N 是 BC 边上的中点,AM BN,AM=BN, 四边形 ABNM是平行四边形,MN=AB= 1,MP+NP=MN= 1,即 MP+NP 的最小值为 1.9.(2018 贵州遵义)如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点, OAB=30,若点 A 在反比例函数y= (x0)的图象上,则经过点 B 的反比例函数解析式为( )6xA.y=- B.y=-6x 4xC.y=- D.y=2x 2x答案 C解析 过点 B 作 BC x 轴于点 C,过点 A 作 AD x 轴于点 D, BOA=90, BOC+ AOD=
7、90, AOD+ OAD=90, BOC= OAD,又 BCO= ADO=90, BCO ODA, =tan30= , ,BOAO 33 S BCOS AOD=13S AOD= ADDO= xy=3,12 12S BCO= BCCO= S AOD=1,12 13 经过点 B 的反比例函数图象在第二象限,故反比例函数解析式为 y=- .2x510.(2018 浙江杭州)如图直角梯形 ABCD 中, AD BC,AB BC,AD=2,BC=3,将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转90至 ED,连接 AE,CE,则 ADE 的面积是 ( )A.1 B.2C.3 D.不能确定答案 A解析 如图所示,作
8、 EF AD 交 AD 延长线于 F,作 DG BC,CD 以 D 为中心逆时针旋转 90至 ED, EDF+ CDF=90,DE=CD,又 CDF+ CDG=90, CDG= EDF,在 DCG 与 DEF 中, CDG= EDF, EFD= CGD=90,DE=CD, DCG DEF(AAS),EF=CG ,AD= 2,BC=3,CG=BC-AD= 3-2=1,EF= 1, ADE 的面积: ADEF= 21=1.12 12二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分)11.如图,一块含有 30角的直角三角板 ABC,在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 ABC的位置,
9、若 BC=12 cm,则顶点 A 从开始到结束所经过的路径长为 cm. 答案 166解析 BAC=30, ABC=90,且 BC=12, ACA= BAC+ ABC=120,AC=2BC=24cm,由题意知点 A 所经过的路径是以点 C 为圆心、 CA 为半径的圆中圆心角为 120所对弧长, 其路径长为 =16(cm) .120 2418012.(2018 广西北海)如图,矩形纸片 ABCD,AB=4,BC=3,点 P 在 BC 边上,将 CDP 沿 DP 折叠,点 C 落在点 E 处, PE,DE 分别交 AB 于点 O,F,且 OP=OF,则 cos ADF 的值为 . 答案1517解析
10、由题意得 Rt DCPRt DEP,所以 DC=DE=4,CP=EP,在 Rt OEF 和 Rt OBP 中, EOF= BOP, B= E,OP=OF,Rt OEFRt OBP(AAS),所以 OE=OB,EF=BP,设 EF 为 x,则 BP=x,DF=DE-EF=4-x,又因为 BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,所以, AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x在 Rt DAF 中, AF2+AD2=DF2,也就是(1 +x)2+32=(4-x)2,解得 x= ,所以 EF= ,DF=4-35 35 35=175所以在 Rt DAF 中,cos ADF=
11、.ADDF=151713.(2018 山东淄博)在如图所示的平行四边形 ABCD 中, AB=2,AD=3,将 ACD 沿对角线 AC 折叠,点 D落在 ABC 所在平面内的点 E 处,且 AE 过 BC 的中点 O,则 ADE 的周长等于 . 答案 10解析 四边形 ABCD 是平行四边形,AD BC,CD=AB=2.由折叠, DAC= EAC7 DAC= ACB, ACB= EAC,OA=OCAE 过 BC 的中点 O,AO= BC,12 BAC=90 ACE=90由折叠得 ACD=90,E ,C,D 共线,则 DE=4, ADE 的周长为 3+3+2+2=10.14.如图,直线 a,b
12、垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A,AB a 于点B,AD b 于点 D.若 OB=3,OD=2,则阴影部分的面积之和为 . 答案 6解析 直线 a,b 垂直相交于点 O,曲线 C 关于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A,AB a 于点B,AD b 于点 D,OB=3,OD=2,AB= 2, 阴影部分的面积之和为 32=6.15.(2018 北京)如图,在矩形 ABCD 中, E 是边 AB 的中点,连接 DE 交对角线 AC 于点 F,若 AB=4,AD=3,则CF 的长为 . 答案103解析 四边形 ABCD 是矩形, AB=CD= 4,
13、AB CD, ADC=90,在 Rt ADC 中, ADC=90,AC= =5,AD2+CD2E 是 AB 中点, AE= AB= CD,12 12AB CD, ,AFCF=AECD=12CF= AC= .23 10316.8(2018 湖北黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为 14 cm,底面周长为 32 cm,在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计) . 答案 20解析 沿过 A 的圆柱的高剪开,得出矩形 EFGH,过 B 作 BQ EF 于 Q,作
14、A 关于 EH 的对称点 A,连接AB 交 EH 于 P,连接 AP,则 AP+PB 就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,AE=AE ,AP=AP,AP+PB=AP+PB=AB ,BQ= 32cm=16cm,AQ=14cm-5cm+3cm=12cm,12在 Rt AQB 中,由勾股定理得 AB= =20cm.162+12217.(2018 江苏南通)如图,在 ABC 中, C=90,AC=3,BC=4,点 O 是 BC 中点,将 ABC 绕点 O 旋转得 ABC,则在旋转过程中点 A,C两点间的最大距离是 . 答案 2+ 13解析 连接 OA,AC,如图, 点 O 是 BC 中点,OC= BC=2,1
15、2在 Rt AOC 中, OA= ,22+32= 139 ABC 绕点 O 旋转得 ABC,OC=OC= 2,AC OA+OC(当且仅当点 A,O,C共线时,取等号), AC 的最大值为 2+ ,13即在旋转过程中点 A、 C两点间的最大距离是 2+ .1318.(2018 山东潍坊)如图,点 A1的坐标为(2,0),过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l:y= x 于点 B1,以原3点 O 为圆心, OB1的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2;再过点 A2作 x 轴的垂线交直线 l 于点 B2,以原点 O 为圆心,以 OB2的长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A3;按此作法进行下去,则 的
16、长是 .A2019B2018答案220193解析 直线 y= x,点 A1坐标为(2,0),过点 A1作 x 轴的垂线交直线于点 B1可知 B1点的坐标为(2,23),3以原点 O 为圆心, OB1长为半径画弧交 x 轴正半轴于点 A2,OA2=OB1,OA2= =4,点 A2的坐标为(4,0),22+(2 3)2这种方法可求得 B2的坐标为(4,4 ),故点 A3的坐标为(8,0), B3(8,8 ),3 3以此类推便可求出点 A2019的坐标为(2 2019,0),则 的长是 .A2019B201860 22019180 =220193三、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分)19.(
17、8 分)如图,在平面直角坐标系中, ABC 的三个顶点分别为 A(-1,-2),B(-2,-4),C(-4,-1).(1)把 ABC 向上平移 3 个单位后得到 A1B1C1,请画出 A1B1C1并写出点 B1的坐标;(2)已知点 A 与点 A2(2,1)关于直线 l 成轴对称,请画出直线 l 及 ABC 关于直线 l 对称的 A2B2C2,并直接写出直线 l 的函数解析式 .10解 (1)如图, A1B1C1即为所求, B1(-2,-1);(2)如图, A2B2C2即为所求,直线 l 的函数解析式为 y=-x.20.(8 分)如图,在 ABCD 中过点 A 作 AE DC,垂足为 E,连接
18、BE,F 为 BE 上一点,且 AFE= D.(1)求证: ABF BEC;(2)若 AD=5,AB=8,sin D= ,求 AF 的长 .45(1)证明 四边形 ABCD 是平行四边形,AB CD,AD BC,AD=BC, D+ C=180, ABF= BEC, AFB+ AFE=180, C= AFB, ABF BEC;(2)解 AE DC,AB DC, AED= BAE=90,在 Rt ADE 中, AE=ADsinD=5 =4,45在 Rt ABE 中,根据勾股定理得 BE= =4 ,AE2+AB2= 42+82 5BC=AD= 5,由(1)得 ABF BEC, ,即 ,解得 AF=2
19、 .AFBC=ABBE AF5= 845 521.(10 分)如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,点 E 在 AD 边上运动,且不与点 A 和点 D 重合,连接 CE,过点 C 作 CF CE 交 AB 的延长线于点 F,EF 交 BC 于点 G.(1)求证: CDE CBF;(2)当 DE= 时,求 CG 的长;1211(3)连接 AG,在点 E 运动过程中,四边形 CEAG 能否为平行四边形?若能,求出此时 DE 的长;若不能,说明理由 .(1)证明 如图,在正方形 ABCD 中, DC=BC, D= ABC= DCB=90, CBF=180- ABC=90,1 +2 = DC
20、B=90,CF CE, ECF=90, 3 +2 = ECF=90, 1 =3,在 CDE 和 CBF 中, D= CBF,DC=BC, 1= 3, CDE CBF(ASA);(2)解 在正方形 ABCD 中, AD BC, GBF EAF, ,由(1)知, CDE CBF,BGAE=BFAFBF=DE= , 正方形的边长为 1,12AF=AB+BF= ,AE=AD-DE= ,32 12 ,BG12=1232BG= ,CG=BC-BG= ;16 56(3)解 不能;理由:若四边形 CEAG 是平行四边形,则必须满足 AE CG,AE=CG,AD-AE=BC-CG ,DE=BG ,由(1)知,
21、CDE ECF,DE=BF ,CE=CF, GBF 和 ECF 是等腰直角三角形, GFB=45, CFE=45, CFA= GFB+ CFE=90,此时点 F 与点 B 重合,点 D 与点 E 重合,与题目条件不符, 点 E 在运动过程中,四边形 CEAG 不能是平行四边形 .22.(10 分)(2018 四川内江)如图,以 Rt ABC 的直角边 AB 为直径作 O 交斜边 AC 于点 D,过圆心 O作 OE AC,交 BC 于点 E,连接 DE.12(1)判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由;(2)求证:2 DE2=CDOE;(3)若 tan C= ,DE= ,求 AD 的长 .43
22、 52(1)解 DE 是 O 的切线,理由:如图,连接 OD,BD,AB 是 O 的直径, ADB= BDC=90,OE AC,OA=OB,BE=CE ,DE=BE=CE , DBE= BDE,OB=OD , OBD= ODB, ODE= OBE=90, 点 D 在 O 上,DE 是 O 的切线;(2)证明 BCD= ABC=90, C= C, BCD ACB, ,BCAC=CDBCBC 2=CDAC,由(1)知 DE=BE=CE= BC,12 4DE2=CDAC,由(1)知, OE 是 ABC 的中位线,AC= 2OE, 4DE2=CD2OE, 2DE2=CDOE;(3)解 DE= ,BC=
23、 5,52在 Rt BCD 中,tan C= ,43=BDCD13设 CD=3x,BD=4x,根据勾股定理得,(3 x)2+(4x)2=25,x=- 1(舍去)或 x=1,BD= 4,CD=3,由(2)知, BC2=CDAC,AC= ,BC2CD=253AD=AC-CD= -3= .253 16323.(10 分)(2018 四川达州)矩形 AOBC 中, OB=4,OA=3.分别以 OB,OA 所在直线为 x 轴, y 轴,建立如图1 所示的平面直角坐标系 .F 是 BC 边上一个动点(不与 B,C 重合),过点 F 的反比例函数 y= (k0)的kx图象与边 AC 交于点 E.(1)当点
24、F 运动到边 BC 的中点时,求点 E 的坐标;(2)连接 EF,求 EFC 的正切值;(3)如图 2,将 CEF 沿 EF 折叠,点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处,求此时反比例函数的解析式 .解 (1)OA= 3,OB=4,B (4,0),C(4,3),F 是 BC 的中点,F 4, ,32F 在反比例函数 y= 图象上,kxk= 4 =6,32 反比例函数的解析式为 y= ,6xE 点的纵坐标为 3,E (2,3);(2)F 点的横坐标为 4,F 4, ,k4CF=BC-BF= 3- ,k4=12-k414E 的纵坐标为 3,E ,3 ,k3CE=AC-AE= 4- ,k3=12-
25、k3在 Rt CEF 中,tan EFC= ;CECF=43(3)如图,由(2)知, CF= ,CE= ,12-k4 12-k3 ,CECF=43过点 E 作 EH OB 于点 H,EH=OA= 3, EHG= GBF=90, EGH+ HEG=90,由折叠知, EG=CE,FG=CF, EGF= C=90, EGH+ BGF=90, HEG= BGF, EHG= GBF=90, EHG GBF, ,EHBG=EGFG=CECF ,3BG=43BG= ,94在 Rt FBG 中, FG2-BF2=BG2, 2- 2= ,12-k4 k4 8116k= ,218 反比例函数解析式为 y= .21
26、8x24.(12 分)(2018 山东东营)如图,抛物线 y=a(x-1)(x-3)(a0)与 x 轴交于 A,B 两点,抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方,且使 OCA OBC.15(1)求线段 OC 的长度;(2)设直线 BC 与 y 轴交于点 M,点 C 是 BM 的中点时,求直线 BM 和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P,使得四边形 ABPC 面积最大?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 .解 (1)由题可知当 y=0 时, a(x-1)(x-3)=0,解得 x1=1,x2=3则 A(1,0),B(3,0)于是 OA=1
27、,OB=3 OCA OBC,OCOB=OAOCOC 2=OAOB=3 即 OC= ;3(2) 点 C 是 BM 的中点,OC=BC ,从而点 C 的横坐标为 .32又 OC= ,点 C 在 x 轴下方,3C ,-32 32设直线 BM 的解析式为 y=kx+b, 其过点 B(3,0),C ,- ,32 32则有 3k+b=0,32k+b= - 32.b=- ,k= ,333y= x- .33 3又点 C ,- 在抛物线上,代入抛物线解析式,解得 a= .32 32 233 抛物线解析式为 y= x2- x+2 ;233 833 316(3)点 P 存在 .设点 P 坐标为 x, x2- x+2 ,过点 P 作 PQ x 轴交直线 BM 于点 Q,233 833 3则 Q x, x- ,PQ=- x2+3 x-3 ,33 3 233 3 3当 BCP 面积最大时,四边形 ABPC 的面积最大,S BCP= PQ(3-x)+ PQ x- = PQ 3-x+x- = PQ12 12 32 12 32 34=- x2+ x- ,32 934 934当 x=- 时, S BCP有最大值,四边形 ABPC 的面积最大,b2a=94此时点 P 的坐标为 ,- .94 58 3
