1、1单元检测(三) 函数(考试用时:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)1.如图,点 A 的坐标( -1,2),点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为( )A.(1,2) B.(-1,-2)C.(1,-2) D.(2,-1)答案 A解析 点 A 的坐标( -1,2),点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为:(1,2) .2.如图所示的函数图象反映的过程是:小徐从家去菜地浇水,又去玉米地除草,然后回家,其中 x 表示时间, y 表示小徐离他家的距离 .读图可知菜地离小徐家的距离为( )A.1.1 千米 B.2 千米C.15 千米 D.37 千米
2、答案 A解析 由图象可以看出菜地离小徐家 1.1 千米 .3.若点 A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数 y=- 的图象上,则 y1、 y2、 y3的大小关系是( )3xA.y10 的解集是( )A.x0 D.x2答案 A7.(2018 湖南娄底)将直线 y=2x-3 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位后,所得的直线的表达式为( )A.y=2x-4 B.y=2x+4C.y=2x+2 D.y=2x-2答案 A解析 y=2(x-2)-3+3=2x-4.化简,得 y=2x-4.8.(2018 湖南永州)在同一平面直角坐标系中,反比例函数 y= (b0)与二次函数 y
3、=ax2+bx(a0)的bx图象大致是( )3答案 D解析 A.抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上,则 a0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a、 b 异号,即 b0,对称轴位于 y 轴的左侧,则 a、 b 同号,即 b0.所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误;bxC.抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a0.所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误;bxD.抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a0.所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限,故本选项正确 .bx9.如图, ABC 的三个顶点分别为 A(1,2),B(4,2),C(4
4、,4).若反比例函数 y= 在第一象限内的图象与kx ABC 有交点,则 k 的取值范围是( )A.1 k4 B.2 k8C.2 k16 D.8 k16答案 C解析 ABC 是直角三角形, 当反比例函数 y= 经过点 A 时 k 最小,经过点 C 时 k 最大,kxk 最小 =12=2,k 最大 =44=16, 2 k16 .10.(2018 贵州安顺)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,分析下列四个结论:abc0; 3a+c0; (a+c)20,再根据对称轴在 y 轴左侧,得到与 a 同号,则可得 b0,故 错误; 由抛物线与 x 轴有两个交点,可得 b2-4ac0,故 正
5、确; 当 x=-2 时, y0 所以( a+b+c)(a-b+c)”“解析 一次函数 y=-2x+1 中 k=-2y2.12.点 P(3,-4)到 x 轴的距离是 . 答案 4解析 根据点在坐标系中坐标的几何意义可知, P(3,-4)到 x 轴的距离是 |-4|=4.13.如图所示,一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴相交于点(2,0),与 y 轴相交于点(0,4),结合图象可知,关于 x 的方程 ax+b=0 的解是 . 答案 x=2解析 一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴相交于点(2,0), 关于 x 的方程 ax+b=0 的解是 x=2.14.飞机着陆后滑行的距离 y(单位:m
6、)关于滑行时间 t(单位:s)的函数解析式是 y=60t- t2.在飞机着32陆滑行中,最后 4 s 滑行的距离是 m. 答案 2165解析 根据对称性可知,开始 4 秒和最后 4 秒的滑行的距离相等, t=4 时, y=604- 42=240-24=216m.3215.(2018 山东淄博)已知抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),将这条抛物线向右平移 m(m0)个单位,平移后的抛物线于 x 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧),若 B,C 是线段 AD 的三等分点,则 m 的值为 . 答案 2解析 如图, B ,C 是线段 AD
7、的三等分点,AC=BC=BD ,由题意得: AC=BD=m,当 y=0 时, x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,A (-3,0),B(1,0),AB= 3+1=4,AC=BC= 2,m= 2.16.如图,反比例函数 y= 的图象经过矩形 OABC 的边 AB 的中点 D,则矩形 OABC 的面积为 .2x答案 4解析 设 D(x,y), 反比例函数 y= 的图象经过点 D,xy= 2,2xD 为 AB 的中点,B (x,2y),OA=x ,OC=2y,S 矩形 OABC=OAOC=x2y=2xy=22=4.17.(2018 贵州遵义)如图抛物线 y=x2+2x
8、-3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 P 是抛物线对称轴上任意一点,若点 D、 E、 F 分别是 BC、 BP、 PC 的中点,连接 DE,DF,则 DE+DF 的最小值为 .6答案322解析 连接 AC,交对称轴于点 P,则此时 PC+PB 最小, 点 D、 E、 F 分别是 BC、 BP、 PC 的中点,DE= PC,DF= PB,12 12 抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C, 0=x2+2x-3解得 x1=-3,x2=1,x=0 时, y=3,故 CO=3,则 AO=3,可得 AC=PB+PC=3 ,2故 DE+DF
9、的最小值为: .32218.(2018 江苏淮安)如图,在平面直角坐标系中,直线 l 为正比例函数 y=x 的图象,点 A1的坐标为(1,0),过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D1,以 A1D1为边作正方形 A1B1C1D1;过点 C1作直线 l 的垂线,垂足为 A2,交 x 轴于点 B2,以 A2B2为边作正方形 A2B2C2D2;过点 C2作 x 轴的垂线,垂足为 A3,交直线 l 于点 D3,以 A3D3为边作正方形 A3B3C3D3,按此规律操作下所得到的正方形 AnBnCnDn的面积是 .答案 n-192解析 直线 l 为正比例函数 y=x 的图象, D1OA1=45,D
10、 1A1=OA1=1, 正方形 A1B1C1D1的面积 =1= 1-1,927由勾股定理得, OD1= ,D1A2= ,222A 2B2=A2O= ,322 正方形 A2B2C2D2的面积 = = 2-1,92 92同理, A3D3=OA3= ,92 正方形 A3B3C3D3的面积 = = 3-1,814 92由规律可知,正方形 AnBnCnDn的面积 = n-1,故答案为 n-1.92 92三、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分)19.(8 分)(2018 湖北黄冈)如图,反比例函数 y= (x0)过点 A(3,4),直线 AC 与 x 轴交于点 C(6,0),kx过点 C 作 x 轴
11、的垂线 BC 交反比例函数图象于点 B.(1)求 k 的值与 B 点的坐标;(2)在平面内有点 D,使得以 A,B,C,D 四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有 D点的坐标 .解 (1)代入 A(3,4)到解析式 y= 得 k=12,则反比例函数的解析式为 y= ,kx 12x将 C(6,0)的横坐标代入到反比例函数 y= 中,得 y=2,12xB 点的坐标为: B(6,2);(2)如图,符合条件的所有 D 点的坐标为: D1(3,2)或 D2(3,6)或 D3(9,-2).答案为: D1(3,2)或 D2(3,6)或 D3(9,-2).820.(8 分)某广告公司设计一幅周长
12、为 16 米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米 2 000 元 .设矩形一边长为 x,面积为 S 平方米 .(1)求 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;(2)设计费能达到 24 000 元吗?为什么?(3)当 x 是多少米时,设计费最多?最多是多少元?解 (1) 矩形的一边为 x 米,周长为 16 米, 另一边长为(8 -x)米,S=x (8-x)=-x2+8x,其中 0x8;(2)能, 设计费能达到 24000 元, 当设计费为 24000 元时,面积为 24000200=12(平方米),即 -x2+8x=12,解得: x=2 或 x=6, 设计费能达到 24000
13、 元 .(3)S=-x 2+8x=-(x-4)2+16, 当 x=4 时, S 最大值 =16, 当 x=4 米时,矩形的最大面积为 16 平方米,设计费最多,最多是 32000 元 .21.(10 分)(2018 江苏南通)一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地 .设先发车辆行驶的时间为 x h,两车之间的距离为 y km,图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系,根据图象解决以下问题:(1)慢车的速度为 km/h,快车的速度为 km/h; (2)解释图中点 C 的实际意义并求出点 C 的坐标;(3)求当 x 为多少时,两车之间的距离为 500 km.解 (1)答案为 80
14、,120;设慢车的速度为 akm/h,快车的速度为 bkm/h,根据题意,得 3.6(a+b)=720,5.4a=3.6b, 解得 a=80,b=120;(2)图中点 C 的实际意义是:快车到达乙地; 快车走完全程所需时间为 720120=6(h), 点 C 的横坐标为 6,纵坐标为(80 +120)(6-3.6)=480,即点 C(6,480);(3)由题意,可知两车行驶的过程中有 2 次两车之间的距离为 500km.即相遇前:(80 +120)x=720-500,解得 x=1.1,相遇后: 点 C(6,480), 慢车行驶 20km 两车之间的距离为 500km,9 慢车行驶 20km 需
15、要的时间是 =0.25(h),x= 6+0.25=6.25(h),2080故 x=1.1h 或 6.25h,两车之间的距离为 500km.22.(10 分)(2018 山东威海)为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策:提供 10 万元的无息创业贷款 .小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收 5 名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款 .已知该产品的成本为每件 4 元,员工每人每月的工资为 4 千元,该网店还需每月支付其他费用 1 万元 .该产品每月销售量 y(万件)与销售单价 x(元)万件之间的函数关系如图所示 .(1)求该网店每月利润 w(
16、万元)与销售单价 x(元)之间的函数表达式;(2)小王自网店开业起,最快在第几个月可还清 10 万元的无息贷款?解 (1)设直线 AB 的解析式 y=kx+b,代入 A(4,4),B(6,2)得 4k+b=4,6k+b=2,解得 直线 AB 的解析式 y=-x+8,k= -1,b=8, 同理代入 B(6,2),C(8,1)可得直线 BC 的解析式: y=- x+5,12 工资及其他费用为:0 .45+1=3 万元, 当 4 x6 时, w1=(x-4)(-x+8)-3=-x2+12x-35,当 6 x8 时, w2=(x-4) - x+5 -3=- x2+7x-23;12 12(2)当 4 x
17、6 时, w1=-x2+12x-35=-(x-6)2+1, 当 x=6 时, w1取最大值是 1,当 6 x8 时, w2=- x2+7x-23=- (x-7)2+ ,12 12 32当 x=7 时, w2取最大值是 1.5, =6 ,101.5=203 23即最快在第 7 个月可还清 10 万元的无息贷款 .23.(10 分)(2018 贵州黔西南)某种蔬菜的销售单价 y1与销售月份 x 之间的关系如图 1 所示,成本y2与销售月份 x 之间的关系如图 2 所示(图 1 的图象是线段,图 2 的图象是抛物线)10(1)已知 6 月份这种蔬菜的成本最低,此时出售每千克的收益是多少元?(收益 =
18、售价 -成本)(2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?简单说明理由 .(3)已知市场部销售该种蔬菜 4、5 两个月的总收益为 22 万元,且 5 月份的销售量比 4 月份的销售量多 2 万千克,求 4、5 两个月的销售量分别是多少万千克?解 (1)当 x=6 时, y1=3,y2=1,y 1-y2=3-1=2, 6 月份出售这种蔬菜每千克的收益是 2 元 .(2)设 y1=mx+n,y2=a(x-6)2+1.将(3,5),(6,3)代入 y1=mx+n,解得 y 1=- x+7;3m+n=5,6m+n=3, m= -23,n=7, 23将(3,4)代入 y2=a(x-6)2+1,4=a(3
19、-6)2+1,解得 a= ,13y 2= (x-6)2+1= x2-4x+13.13 13y 1-y2=- x+7- x2-4x+13 =- x2+ x-6=- (x-5)2+ .23 13 13 103 13 73- 0, 当 x=5 时, y1-y2取最大值,最大值为 ,13 73即 5 月份出售这种蔬菜,每千克的收益最大 .(3)当 t=4 时, y1-y2=- x2+ x-6=2.13 103设 4 月份的销售量为 t 万千克,则 5 月份的销售量为( t+2)万千克,根据题意得 2t+ (t+2)=22,解得 t=4,73t+ 2=6.答:4 月份的销售量为 4 万千克,5 月份的销
20、售量为 6 万千克 .24.(12 分)(2018 湖南湘潭)如图,点 P 为抛物线 y= x2上一动点 .1411(图一) (图二)(1)若抛物线 y= x2是由抛物线 y= (x+2)2-1 通过图象平移得到的,请写出平移的过程;14 14(2)若直线 l 经过 y 轴上一点 N,且平行于 x 轴,点 N 的坐标为(0, -1),过点 P 作 PM l 于 M. 问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立?若存在,求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由 . 问题解决:如图二,若点 Q 的坐标为(1,5),求 QP+PF 的最小值 .解 (1) 抛物线 y=
21、(x+2)2-1 的顶点为( -2,-1), 抛物线 y= (x+2)2-1 的图象向上平移 1 个单位,再14 14向右 2 个单位得到抛物线 y= x2的图象 .14(2) 存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立 .如图一,过点 P 作 PB y 轴于点 B.(图一)设点 P 坐标为 a, a2 ,PM=PF= a2+114 14PB=a , Rt PBF 中 BF= PF2-PB2= a2-1.(14a2+1) 2-a2=14OF= 1. 点 F 坐标为(0,1) . 由 ,PM=PF,QP+PF 的最小值为 QP+PM 的最小值,当 Q、 P、 M 三点共线时, QP+QM 有最小值为点 Q 纵坐标 5.QP+PF 的最小值为 5.12
