1、1考点强化练 19 矩形、菱形、正方形基础达标一、选择题1.(2018 江苏淮安)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 的长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长是( )A.20 B.24 C.40 D.48答案 A解析 由菱形对角线性质知, AO= AC=3,BO= BD=4,且 AO BO,12 12则 AB= =5,AO2+BO2故这个菱形的周长 L=4AB=20.故选 A.2.(2017 四川广安)下列说法: 四边相等的四边形一定是菱形 顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 对角线相等的四边形一定是矩形 经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
2、其中正确的有( )个 .A.4 B.3C.2 D.1答案 C3.(2017 四川眉山)如图, EF 过 ABCD 对角线的交点 O,交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,若 ABCD 的周长为18,OE=1.5,则四边形 EFCD 的周长为( )A.14 B.13C.12 D.10答案 C24.(2018 贵州遵义)如图,点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过点 P 作 EF BC,分别交 AB,CD 于E、 F,连接 PB,PD.若 AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为( )A.10 B.12 C.16 D.18答案 C解析 作 PM AD 于点 M,交 BC 于点 N
3、.则四边形 AEPM,四边形 DFPM,四边形 CFPN,四边形 BEPN 都是矩形,S ADC=S ABC,S AMP=S AEP,S PBE=S PBN,S PFD=S PDM,S PFC=S PCN,S DFP=S PBE= 28=8,12S 阴影 =8+8=16,故选 C.5.(2017 山东枣庄)如图, O 是坐标原点,菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为( -3,4),顶点 C 在 x 轴的负半轴上,函数 y= (x0)的图象经过顶点 B,则 k 的值为( )kxA.-12 B.-27C.-32 D.-36答案 C6.(2018 江苏无锡)如图,已知点 E 是矩形 ABCD 的对角
4、线 AC 上的一动点,正方形 EFGH 的顶点 G,H 都在边 AD 上,若 AB=3,BC=4,则 tan AFE 的值( )A.等于373B.等于33C.等于34D.随点 E 位置的变化而变化答案 A解析 EF AD, AFE= FAG, AEH ACD, .EHAH=CDAD=34设 EH=3x,AH=4x,HG=GF= 3x, tan AFE=tan FAG= .GFAG= 3x3x+4x=37故选 A.二、填空题7.(2018 湖南株洲)如图,矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交点 O,AC=10,P,Q 分别为 AO,AD 的中点,则 PQ 的长度为 . 答案 2.5解析
5、 四边形 ABCD 是矩形,AC=BD= 10,BO=DO= BD,12OD= BD=5,12 点 P,Q 分别是 AO,AD 的中点,PQ 是 AOD 的中位线,PQ= DO=2.5.128.(2018 广东广州)如图,若菱形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为(3,0),( -2,0),点 D 在 y 轴上,则点C 的坐标是 . 4答案 (-5,4)解析 菱形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为(3,0),( -2,0),点 D 在 y 轴上,AB= 5,AD= 5, 由勾股定理知:OD= =4,AD2-OA2= 52-32 点 C 的坐标是( -5,4).9.(2018 湖北武汉
6、)以正方形 ABCD 的边 AD 为边作等边三角形 ADE,则 BEC 的度数是 . 答案 30或 150解析 如图 1,图 1 四边形 ABCD 为正方形, ADE 为等边三角形,AB=BC=CD=AD=AE=DE , BAD= ABC= BCD= ADC=90, AED= ADE= DAE=60, BAE= CDE=150,又 AB=AE,DC=DE, AEB= CED=15,则 BEC= AED- AEB- CED=30.如图 2,图 2 ADE 是等边三角形,AD=DE , 四边形 ABCD 是正方形,AD=DC ,DE=DC , CED= ECD, CDE= ADC- ADE=90-
7、60=30, CED= ECD= (180-30)=75,同理 BEA= ABE=75,12 BEC=360-752-60=150.5三、解答题10.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O.过点 C 作 BD 的平行线,过点 D 作 AC 的平行线,两直线相交于点 E.(1)求证:四边形 OCED 是矩形;(2)若 CE=1,DE=2,则 ABCD 的面积是多少?(1)证明 四边形 ABCD 是菱形,AC BD, COD=90.CE OD,DE OC, 四边形 OCED 是平行四边形,又 COD=90, 平行四边形 OCED 是矩形 .(2)解 由(1)知,平行四边形
8、OCED 是矩形,则 CE=OD=1,DE=OC=2. 四边形 ABCD 是菱形,AC= 2OC=4,BD=2OD=2, 菱形 ABCD 的面积为ACBD= 42=4.导学号 1381405812 12能力提升一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( ) 对顶角相等; 两直线平行,同旁内角相等; 对角线互相垂直的四边形为菱形; 对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形 .A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 对顶角相等,故 正确; 两直线平行,同旁内角互补,故 错误; 对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故 错误; 对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故 正确,故选 B.2.(20
9、18 山东枣庄)如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是边 BC 的中点, AE BD,垂足为 F,则 tan BDE 的值是( )6A. B. C. D.24 14 13 23答案 A解析 四边形 ABCD 是矩形,AD=BC ,AD BC, 点 E 是边 BC 的中点,BE= BC= AD,12 12 BEF DAF, ,EFAF=BEAD=12EF= AF,12EF= AE,13 点 E 是边 BC 的中点, 由矩形的对称性得: AE=DE,EF= DE,设 EF=x,则 DE=3x,13DF= =2 x,DE2-EF2 2 tan BDE= .故选 A.EFDF= x22x= 243.如
10、图,在 Rt ABC 中, C=90,AC=BC=6cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 方向以每秒 cm 的速度向终2点 B 运动;同时,动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1 cm 的速度向终点 C 运动,将 PQC 沿 BC 翻折,点P 的对应点为点 P.设 Q 点运动的时间为 t s,若四边形 QPCP为菱形,则 t 的值为( )A. B.22C.2 D.32答案 B7解析 连接 PP,交 BC 于 N 点,过 P 作 PM AC,垂足为 M.若运动 ts 时四边形 QPCP为菱形,则PQ=PC,PN BC,四边形 PMCN 为矩形, BQ=t,AP= t,PM=NC=t,
11、2QC= 2t,BC=BQ+QC=t+ 2t=3t=6cm,t= 2,故选 B.4.(2018 河南)如图 1,点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发,沿 A D B 以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 B,图2 是点 F 运动时, FBC 的面积 y(cm2)随时间 x(s)变化的关系图象,则 a 的值为( )图 1图 2A. B.25C. D.252 5答案 C解析 过点 D 作 DE BC 于点 E由题图 2 可知,点 F 由点 A 到点 D 用时为 as, FBC 的面积为 acm2.AD=a. DEAD=a.12DE= 2.当点 F 从 D 到 B 时,用 s,5BD= .5R
12、t DBE 中,BE= =1,BD2-DE2= ( 5)2-22ABCD 是菱形,8EC=a- 1,DC=a.Rt DEC 中,a2=22+(a-1)2,解得 a= .52故选 C.5.(2017 广东)如图,已知正方形 ABCD,点 E 是 BC 边的中点, DE 与 AC 相交于点 F,连接 BF,下列结论:S ABF=S ADF;S CDF=4S CEF;S ADF=2S CEF;S ADF=2S CDF,其中正确的是( )A. B.C. D.答案 C二、填空题6.(2018 山东潍坊)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,点 A 与原点重合,点 B 在 y 轴的正半轴上,点 D 在 x
13、轴的负半轴上,将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30至正方形 ABCD的位置, BC与 CD 相交于点 M,则点 M 的坐标为 . 答案 (-1,33)9解析 如图,连接 AM, 将边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形 ABCD,AD=AB= 1, BAB=30, BAD=60,在 Rt ADM 和 Rt ABM 中, AD=AB,AM=AM, Rt ADMRt ABM(HL), DAM= BAM= BAD=30,12DM=AD tan DAM=1 ,33= 33 点 M 的坐标为( -1, ).33三、解答题7.如图所示,在 ABC 中,点 O 是 A
14、C 边上的一个动点,过 O 作直线 MN BC,设 MN 交 ACB 的平分线于点E,交 ACB 的外角平分线于点 F.(1)求证: OE=OF;(2)当点 O 运动到何处时,四边形 AECF 是矩形?并证明你的结论 .(1)证明 MN BC, OEC= BCE.又 OCE= BCE, OEC= OCE,OE=OC.同理可证 OF=OC,OE=OF.(2)解 当点 O 运动到 AC 中点时,四边形 AECF 是矩形 .证明: CE ,CF 分别是 ACB 的内,外角平分线 . OCE+ OCF= ( ACB+ ACD)= 180=90,即 ECF=90,12 12又 OE=OF , 当 O 点
15、运动到 AC 中点时, OA=OC,四边形 AECF 是矩形 .导学号 138140598.10(2018 贵州遵义)如图,正方形 ABCD 的对角线交于点 O,点 E,F 分别在 AB,BC 上( AEBE),且 EOF=90,OE,DA 的延长线交于点 M,OF,AB 的延长线交于点 N,连接 MN.(1)求证: OM=ON;(2)若正方形 ABCD 的边长为 4,E 为 OM 的中点,求 MN 的长 .(1)证明 四边形 ABCD 是正方形,OA=OB , DAO=45, OBA=45, OAM= OBN=135, EOF=90, AOB=90, AOM= BON, OAM OBN(ASA),OM=ON.(2)解 如图,过点 O 作 OH AD 于点 H, 正方形的边长为 4,OH=HA= 2,E 为 OM 的中点,HM= 4,则 OM= =2 ,由(1)知 OM=ON,22+42 5MN= OM=2 .2 1011
