1、考试要求 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).,第3节 导数与函数的极值、最值,知 识 梳 理,1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)0， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_； 如果在x0附近的左侧f(x)_ 0，右侧f(x)_0，那么f(x0)是极小值.,极大值,(2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程_的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根的左
2、右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得_.,f(x)0,极大值,极小值,2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,f(a)，f(b),常用结论与易错提醒 1.若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在a，b内一定有最值. 2.若函
3、数f(x)在a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能. 5.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.,基 础 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( )(2)函数的极大值不一定比极小值大.( )(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是
4、极小值.( )解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不一定唯一；(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导数符号异号.答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修22P32A4改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析 由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案 A,3.函数f(x)x33x1有( )A.极小值1，极大值1 B.极小值2，极大值3C.极小值2，极大值2 D.极小值1，极大值3解析 因为f(x)x33x1，故有y3x23，令y3x230，解得x1，于是，
5、当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)的极小值为f(1)1，f(x)的极大值为f(1)3. 答案 D,4.函数f(x)ln xax在x1处有极值，则常数a_.,答案 1,答案 (9，5),6.已知yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx1，且f(x)ln x1，则函数f(x)_，函数f(x)的最小值为_.,解 (1)f(x)的定义域为(0，)，,令f(x)0得x2或1(舍).,随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,f(x)有极小值f(2)4ln 2，无极大值.,当a0时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,当a0时，随着x的变化，f(
6、x)与f(x)的变化情况如下表：,规律方法 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值这类问题的一般解题步骤为： 确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值. (2)由函数极值求参数的值或范围. 讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f(x)0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验导数为0的点两侧导数是否异号.,【训练1
7、】 (2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.解 (1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e. 由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.,(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.,当x(2，)时，f(x)0.,所以f(x)在x2处取得极小值.,所以f(x)0.,所以2不是f(x)的极小值点.,得xe3.,所以当x(0，e3)
8、时，f(x)0，f(x)单调递增.,又f(1)0，当x(0，e3)时，f(e3)f(x)0，,规律方法 (1)求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；将函数f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)含参数的函数的最值一般先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.,所以f(1)1a.,解得a1.,当00，ln x0，所以f(x)0，故f(x)
9、单调递增； 当x1时，1x20，ln x0，所以f(x)0，故f(x)单调递减. 所以f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减.,故h(b)在区间(1，)上单调递增.,考点三 函数极值与最值的综合问题 【例3】 已知函数f(x)exax，a0. (1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值； (2)若对任意实数x，恒有f(x)0，求f(a)的取值范围. 解 (1)函数f(x)的定义域是(，)，f(x)exa. 令f(x)0，得xln a， 易知当x(ln a，)时，f(x)0，当x(，ln a)时，f(x)0， 所以函数f(x)在xln a处取极小值，g(a)f(
10、x)极小值f(ln a)eln aaln aaaln a. g(a)1(1ln a)ln a，,当00，g(a)在(0，1)上单调递增； 当a1时，g(a)0)恒成立.,当01时，h(x)0， 故h(x)的最小值为h(1)e，所以ae， 故实数a的取值范围是(0，e. f(a)eaa2，a(0，e，f(a)ea2a， 易知ea2a0对a(0，e恒成立， 故f(a)在(0，e上单调递增，所以f(0)1f(a)f(e)eee2， 即f(a)的取值范围是(1，eee2.,规律方法 1.(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论. 2.本题分离参数，构造函数，把问题转化为求函数的最值问题，优化了解题过程.,解 (1)由f(x)xln x(x0)，得f(x)1ln x，,由g(x)0x1，由g(x)00x1. 所以g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，所以g(x)ming(1)4， 因此m4，所以m的最大值是4.,
