1、1专题 15 直线与圆（2）【自主热身，归纳总结】1、 圆心在直线 y4 x上，且与直线 x y10 相切于点 P(3，2)的圆的标准方程为_【答案】： ( x1) 2( y4) 28 解法 1 设圆心为( a，4 a)，则有 r ，解得 a1， r2 ，则|a 4a 1|2 a 3 2 4a 2 2 2圆的方程为( x1) 2( y4) 28.解法 2 过点 P(3，2)且垂直于直线 x y10 的直线方程为 x y50，联立方程组Error!解得Error!则圆心坐标为(1，4)，半径为 r 2 ，故圆的方程为( x1) 2( y4) 1 3 2 4 2 2 228.2、 在平面直角坐标系
2、 xOy中，若直线 ax y20 与圆心为 C的圆( x1) 2( y a)216 相交于 A， B两点，且 ABC为直角三角形，则实数 a的值是_【答案】： 1 【解析】：因为 ABC为直角三角形，所以 BC AC r4，所以圆心 C到直线 AB的距离为 2 ，从而有22 ，解得 a1.|a a 2|a2 1 23、 已知直线 l： x y20 与圆 C： x2 y24 交于 A， B两点，则弦 AB的长度为_. 3【答案】：. 2 3【解析】：圆心 C(0,0)到直线 l的距离 d 1，由垂径定理得|0 30 2|1 3AB2 2 2 ，故弦 AB的长度为 2 .R2 d2 4 1 3 3
3、4、已知过点 (5)， 的直线 l被圆 截得的弦长为 4，则直线 l的方程为 .【答案】： 20x或【解析】： 化成标准式为： .因为截得弦长为 4小于直径故该直线必有两条且圆心到直线的距离为 .当斜率不存在时，:2lx，显然符合要求。当斜率存在时， ， ，截得 43k，故直线 l为 .5、在平面直角坐标系 xOy中，若动圆 C上的点都在不等式组 ，表示的平面区域内，则x 3，x 3y 3 0x 3y 3 0)2面积最大的圆 C的标准方程为_【答案】： (x1) 2y 24 【解析】：首先由线性约束条件作出可行域，面积最大的圆 C即为可行域三角形的内切圆(如图)，由对称性可知，圆 C的圆心在
4、x轴上，设半径为 r，则圆心 C(3r，0)，且它与直线 x y30 相切，所以3r，解得 r2，所以面积最大的圆 C的标准方程为(x1) 2y 24.|3 r 3|1 36、在平面直角坐标系 xOy中，若圆(x2) 2(y2) 21 上存在点 M，使得点 M关于 x轴的对称点 N在直线 kxy30 上，则实数 k的最小值为_7、已知经过点 P 的两个圆 C1， C2都与直线 l1： y x， l2： y2 x相切，则这两圆的圆心距(1，32) 12C1C2_.【答案】 459【解析】：易求直线 C1C2的方程为 y x，设 C1(x1， x1)， C2(x2， x2)，由题意得 C1(x1，
5、 x1)到直线 2x y0 的距离等于 C1P，即 ，整理得|2x1 x1|5 x1 1 2 x1 32 29x 25 x1 0，同理可得 9x 25 x2 0，所以 x1， x2是方程 9x225 x 0 的两个实数根，从21654 2 654 654而 x1 x2 ， x1x2 ，所以圆心距 C1C2 |x1 x2| 259 6536 2 2 x1 x2 2 4x1x2 2 .(259)2 46536 45938、在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C： x2( y3) 22，点 A是 x轴上的一个动点， AP， AQ分别切圆 C于 P， Q两点，则线段 PQ长的取值范围是_【答案】 21
6、43 ， 22)【解析】：设 PCA ，所以 PQ2 sin .又 cos ， AC3，)，所以 cos ，所22AC (0， 23以 cos2 ，sin 2 1cos 2 ，所以 sin ，所以 PQ .(0，29 79， 1) 73， 1) 2143 ， 22)与切线有关的问题，一般都不需要求出切点，而是利用直线与圆相切时所得到的直角三角形转解 后 反 思化为点与圆心的距离问题求解 9、在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (02)A， ，点 (1)B， ， P为圆 2xy上一动点，则PBA的最大值是 【答案】 、2 【解析】1：设 (,)Pxy，则 2y，令123xty，即 ，则动直线 与
7、圆 2xy必须有公共点，所以 ，解得 71t，所以 ，即 0,2PBA， 的最大值是 2.（有了上面的解法，也可设 ，直接通过动直线 与圆2xy有公共点来解决）【解析】2：设 (,)Pxy，则 2y，令 ，则 ，即 ，因为2xy，所以 ，则动直线 与圆 2xy必须有公共点，所4以 ，解得 04，即 0,2PBA， 的最大值是 2.【解析】3：因为 P为圆 2xy上一动点，故设 （ R） ，则令，整理为，由 ，解得 04，从而 0,2PBA， 的最大值是 2.10、在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为( x1) 2( y1) 29，直线 l： y kx3 与圆 C相交于A， B两点， M为
8、弦 AB上一动点，以 M为圆心，2 为半径的圆与圆 C总有公共点，则实数 k的取值范围为 【答案】 3,4思路分析：根据两个圆的位置关系的判断方法，本题即要求 则可，根据图形的对称性， 当点 位于 AB的中点时存在公共点，则在其它位置时，一定存在公共点，由点到直线的距离不难得到答案。【解析】：由题意得 1MC对于任意的点 恒成立，由图形的对称性可知，只需点 M位于 AB的中点时存在则可。由点 ,到直线 l的距离得 ，解得 34k。 11、已知点 A(0,1)， B(1,0)， C(t,0)，点 D是直线 AC上的动点，若 AD2 BD恒成立，则最小正整数 t的值为_【答案】 4 解法 1 设点
9、 D(x， y)，因为 AD2 BD， A(0,1)， B(1，0)，所以 2 ，整理x2 y 1 2 x 1 2 y2得 2 2 ，它表示以 为圆心，以 为半径的圆及其外部，又因为直线 AC为(x43) (y 13) 89 (43， 13) 223 y1，即 x ty t0，且点 D是直线 AC上的动点，所以直线 AC与圆相离，即 ，即xt |43 13t t|1 t2 223t24 t10，解得 t2 (t2 舍)，所以最小正整数 t的值为 4.3 3解法 2 设点 D(x， y)，因为 A(0,1)， C(t,0)，点 D在直线 AC上，所以有且只有一个实数 ，使 ，所以( x， y1)
10、 (t，1)，从而 x t ， y1 ，即点 D(t ，1 )，AD AC 又因为 AD2 BD恒成立，所以 2 在 R上恒成立， t 2 1 1 2 t 1 2 1 25即 3(t21) 28( t1) 80 在 R上恒成立，令 f( )3( t21) 28( t1) 8，所以 0 恒成立，即 t24 t10，解得 t2 (t2 舍)，所以最小整数 t的值为 4.3 3综上所述，满足条件的最小正整数 t的值为 4.12、在平面直角坐标系 xOy中，设直线 y x2 与圆 x2 y2 r2(r0)交于 A， B两点， O为坐标原点，若圆上一点 C满足 ，则实数 r_.OC 54OA 34OB
11、解法 2 由 ，得 r2 r22 8 .由 ，得 2 r2 r2 |OA OB 2 | 2 OA OB OC 54OA 34OB OC 2516 9r216 158OA OB .由可知 r210，即 r .10解法 3 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x， y)，由 得Error!则OC 54OA 34OB x2 y2 2 2 x y x1x2 x y y1y2.由题意 得 r2 r2 r2(54x1 34x2) (54y1 34y2) 251621 251621 158 9162 9162 158 2516 916(x1x2 y1y2)，联立直线 y x2 与圆 x2 y
12、2 r2(r0)的方程，得 2x24 x4 r20.由韦达定理得158x1x2 ， x1 x22， y1y2 x1x22 x12 x24 ，代入上式可解得 r .4 r22 4 r22 10解法 4 由 得 ，设 OC与 AB交于点 M，则 A， M， B三点共线由 AMO与 BMOOC 54OA 34OB 12OC 58OA 38OB 互补结合余弦定理可求得 AB r，过点 O作 AB的垂线交 AB于点 D，根据圆心 O到直线 y x2 的距45离为 OD ，得 2( )2 r2，解得 r210，所以 r . 22 2 (25r) 2 10【问题探究，变式训练】例 1、在平面直角坐标系 xO
13、y中，圆 O： x2 y21，圆 M：( x a3) 2( y2 a)21( a为实数)若圆 O与圆 M上分别存在点 P， Q，使得 OQP30 ，则 a的取值范围为 【答案】 ，0 65【思路分析】本题中在两个圆上分别存在点 P， Q，使得 OQP30 是本题的关键.首先对于圆 O，可以根6据 OQP30 得出点 Q的轨迹，再将点 Q的存在性问题转化为点 Q的轨迹与圆 M有公共点，从而求出参数 a的取值范围.过 Q点作圆 O的切线，设切点为 P，在圆 O上要存在点 P满 足 ，即 ，又 ，即 2Q.设 ,xy，所以 24y又点 Q在圆 M上，即圆 M与 24xy有公共点，所以有 ，解得 6,
14、05a.【解后反思】一般地对于圆上存在一点的问题，都可以利用其所给几何条件求出点的轨迹，进一步转化为点的轨迹与圆的位置关系问题，其中常见的动点轨迹有直线、线段、圆、圆面等.【变式 1】 、.已知圆 O： x2 y21，圆 M：( x a)2( y a4) 21.若圆 M上存在点 P，过点 P作圆 O的两条切线，切点为 A， B，使得 APB60，则实数 a的取值范围为_【答案】. 222， 2 22【解析】：由题意得圆心 M(a， a4)在直线 x y40 上运动，所以动圆 M是圆心在直线 x y40 上，半径为 1的圆；又因为圆 M上存在点 P，使经过点 P作圆 O的两条切线，切点为 A，
15、B，使 APB60，所以 OP2，即点 P也在 x2 y24 上，于是 21 21，即 1 3，a2 a 4 2 a2 a 4 2解之得实数 a的取值范围是 .222， 2 22解题反思 一方面，要注意点 P在动圆 M上，另一方面，点 P也在 x2 y24 上，从而将所求解的问题转化成研究圆与圆的位置关系问题，此类试题出现频率高，希望考生重视【变式 2】 、已知点 A(0,2)为圆 M： x2 y22 ax2 ay0( a0)外一点，圆 M上存在点 T，使得 MAT45，则实数 a的取值范围是_【答案】： 1,1) 3【解析】：圆 M的方程可化为( x a)2( y a)2 2a2.圆心为 M
16、(a， a)，半径为 a.当 A， M， T三点共线2时， MAT0最小，当 AT与圆 M相切时， MAT最大圆 M上存在点 T，使得 MAT45，只需要当 MAT最大时，满足 45 MAT0， b为常数)因为 tan OPA ，tan OPB ，a rb a rb所以 tan APBtan( OPB OPA) ， a rb a rb1 a rba rb 2rbb2 a2 r2又因为以 AB为直径的圆与圆 x2( y2) 21 相外切，所以圆心距等于半径之和，即 r1，即a2 4a2( r1) 24，所以 tan APB (r为变量， b为常数)，2rbb2 a2 r2 2rbb2 2r 3
17、2bb2 3r 2因为 APB的大小恒为定值，所以 b230，故 OP .3【关联 2】 、在平面直角坐标系 xOy中，圆 C的方程为( x1) 2 y24， P为圆 C上一点若存在一个定圆M，过点 P作圆 M的两条切线 PA， PB，切点分别为 A， B，当 P在圆 C上运动时，使得 APB恒为 60 ，则圆 M的方程为 【答案】( x1) 2 y21 【解析】：根据对称性可知 ,0设圆 M的半径为 r因为 ，所以 ，故，即 1r，所以圆 M的方程为 例 2、在平面直角坐标系 xOy中，若直线 yk(x3 )上存在一点 P，圆 x2(y1) 21 上存在一点 Q，38满足 3 ，则实数 k的
18、最小值为_OP OQ 【变式 1】 、 在平面直角坐标系 xOy中，已知 A，B 为圆 C：(x4) 2(ya) 216 上的两个动点，且AB2 .若直线 l：y2x 上存在唯一的一个点 P，使得 ，则实数 a的值为_11 PA PB OC 【答案】 2 或18 由“圆 C的弦 AB长度为定值 AB2 ”知，弦 AB的中点 M的轨迹是以点 C为圆心的圆，由“思 路 分 析 11 ”得 2 ，可求得动点 P的轨迹也在圆上，此时直线 l上存在唯一的一个点 P符合要求，PA PB OC PM OC 故直线 l和动点 P的轨迹(圆)相切解法 1 设 AB的中点为 M(x0，y 0)，P(x，y)，则由
19、 AB2 得，CM ，即点 M的轨迹为11 16 11 5(x04) 2(y 0a) 25.又因为 ，所以 ，即(x 0x，y 0y) ，从而PA PB OC PM 12OC ( 2， a2)则动点 P的轨迹方程为(x2) 2 5 ，又因为直线 l上存在唯一的一个点 P，所以直x0 x 2，y0 y a2， ) (y a2)2 线 l和动点 P的轨迹(圆)相切，则 ，解得，a2 或 a18.| 4 a2|22 （ 1） 2 5解法 2 以上同解法 1，则动点 P的轨迹方程为(x2) 2 5，整理得 5x2(42a)(2xa2)2 x 10，(#)a24又因为直线 l上存在唯一的一个点 P，所以
20、(#)式有且只有 1个实数根，所以 (42a)220 0，整理得 a216a360，解得，a2 或 a18.(a24 1)解法 3 由题意，圆心 C到直线 AB的距离 d ，则 AB中点 M的轨迹方程为(x4) 2(ya)16 11 5925.由 得 2 ，所以 .如图，连结 CM并延长交 l于点 N，则 CN2CM2 .故问题PA PB OC PM OC PM OC 5转化为直线 l上存在唯一的一个点 N，使得 CN2 ，所以点 C到直线 l的距离为 25|2（ 4） a|22 （ 1） 2，解得，a2 或 a18.5本题的难点在于要从繁乱的关系中找出动点 P的信息由“直线 AB与圆 C相交
21、”想弦中点 M，解 后 反 思由“CMAB”想到动点 M的轨迹是圆，由“ ”知，动点 P的轨迹也在圆上，进而得到直线 l和PA PB OC 动点 P的轨迹(圆)相切【变式 2】 、已知 A， B是圆 C1： x2 y21 上的动点， AB ， P是圆 C2：( x3) 2( y4) 21 上的动点，3则| |的取值范围为_PA PB 【答案】 7,13【解析】 因为 A， B是圆 C1： x2 y21 上的动点， AB ，所以线段 AB的中点 H在圆 O： x2 y2 上，314且| |2| |.因为点 P是圆 C2：( x3) 2( y4) 21 上的动点，所以 5 | |5 ，即 |PA
22、PB PH 32 PH 32 72| ，所以 72| |13，从而| |的取值范围是7,13PH 132 PH PA PB 解后反思 本题难点在于动点多， “化动为静”和“化多为少”是解决此类问题常用的方法一方面， A， B虽是动点，但是 AB 是定值，从而线段 AB的中点 H在定圆 O上，实现了化多为少的目的；另一方面，3所求解的问题通过转化就成了研究圆 O和圆 C2上的两动点的问题 【变式 3】 、在平面直角坐标系 xOy中，过点 M(1,0)的直线 l与圆 x2 y25 交于 A， B两点，其中点 A在第一象限，且 2 ，则直线 l的方程为_BM MA 【答案】 y x1 解法 1 易知
23、 l斜率必存在，设 l： y k(x1)由 2 可设 BM2 t， MA t，如图，过原点 O作BM MA 10OH l于点 H，则 BH .设 OH d，在 Rt OBH中， d2 2 r25，在 Rt OMH中， d2 2 OM21，3t2 (3t2) (t2)解得 d2 .所以 d2 ，解得 k1 或 k1，因为点 A在第一象限， 2 ，由图知 k1，所12 k2k2 1 12 BM MA 以 l： y x1.解法 2 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 (1 x2， y2)， ( x11， y1)因为 2 ，所以有Error!BM MA BM MA 当直线 AB的斜率不
24、存在时， ，不符合题意当直线 AB的斜率存在时，设 AB： y k(x1)，联立BM MA Error!可得 (1 k2)y22 ky4 k20，即Error!解得Error!所以 y1y2 ，即 k21，又 8k2 1 k2 2 4k21 k2点 A在第一象限，所以 k1，即直线 AB的方程为 y x1.解法 3 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 (1 x2， y2)， ( x11， y1)因为 2 ，所以有Error!BM MA BM MA 即Error!又Error! 代入可得Error!解得 x12，代入可得 y11，又点 A在第一象限，故 A(2,1)，由点 A和点
25、 M的坐标可得直线 AB的方程为 y x1.【关联 1】 、已知圆 C：( x2) 2 y24，线段 EF在直线 l： y x1 上运动，点 P为线段 EF上任意一点，若圆 C上存在两点 A， B，使得 0，则线段 EF长度的最大值是_PA PB 【答案】 14思路分析 本题条件叙述似乎稍显冗乱，学生不易读懂题意，容易陷入恐慌首先需要注意判断直线 l和圆 C是相离的位置关系，那么直线 l上的动点 P总在圆 C外，可以证明与圆相关的一个几何性质：对于圆C外的点 P，当 PA， PB都与圆 C相切时， APB最大这是解决本题的关键所在过点 C作 CH l于 H，因为 C到 l的距离 CH 2 r，所以直线 l与圆 C相离，故点 P在圆 C32 322外因为 | | |cos APB0，所以 cos APB0，所以 APBr2对任意的 m0,1成立，即 r2 .325故圆 C的半径 r的取值范围为 .(16分) 103， 4105 )14
