1、1山东省恒台第一中学 2019 届高三数学上学期诊断性考试试卷 文（含解析）第 I 卷一、选择题(每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合题意,计算集合 A,计算交集,即可.【详解】解得 ,所以 ,故选 A.【点睛】本道题考查了交集运算方法,属于较容易题.2.幂函数 的图像过点 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，设幂函数 ，根据幂函数的图像过点 ，求得幂函数的解析式，代f(x)=x(R) (2,22)入即可求解。【详解】由题意，设幂函数 ，f(x)=x(R)又由幂函数的图像过点 ，代入得 ，解得 ，即
2、，(2,22) 22=2 =12 f(x)=x12所以 ，故选 B。f(8)=812=24【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，及其解析式的应用，其中解答中根据幂函数的定义，设出幂函数的解析式，代入点的坐标求解函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。23.若 的最大值为( )a,bR+,a+b=1， 则 (a+1)(b+1)A. B. 2 C. D. 432 94【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式，即可求解 的最大值，得到答案。(a+1)(b+1)【详解】由题意，实数 ，a,bR+,a+b=1则 ，当且仅当 ，即 等号成立，(a+1)(b+1)(a+1+b+12 )
3、2=94 a+1=b+1 a=b=12即 的最大值为 ，故选 C。(a+1)(b+1)94【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最大值问题，其中解答熟练应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。4.设平面 ，直线 命题“ ”是命题“ ”的（ ） a,b,a b/a b/A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和两直线的位置关系，利用充要条件的判定方法，即可判定得到答案。【详解】由题意，平面 ，直线 ，若命题“ ”则可能 或 ，所以充分性 a,b,a b/a b/ b不成立
4、，又由当“ ”时，此时直线与直线 可能相交、平行或异面，所以必要性不成立，b/ b所以命题“ ”是命题“ ”的既不充分也不必要条件，故选 D。b/a b/【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中解答中熟记线面平行的判定与性质，以及两直线的位置关系的判定，合理应用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题5.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）3A. 0.7 小时 B. 0.8 小时 C. 0.9 小时 D. 1
5、.0 小时【答案】C【解析】【分析】根据样本的条形图可知，将所有人的学习时间进行求和，进而求解平均每人的课外阅读时间，得到答案。【详解】由题意，根据给定的样本条形图可知，这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为小时，故选 C。50+200.5+101+101.5+5250 =0.9【点睛】本题主要考查了样本的条形图的应用，其中解答中熟记条形图的平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。6.设 x， y 满足约束条件 的最小值是（ ）x+y1x0y0， 则 z=x+2y1A. B. 0 C. 1 D. 21【答案】B【解析】【分析】结合不等式组，绘制可行
6、域，平移目标函数，计算最值，即可。【详解】结合不等式，还原可行域，如图：4将 转化成 ，该目标函数从虚线位置平移，当移到 A 点的时候，z 取到z=x+2y1 y=12x+z+12最小值，而 A 的坐标为 ，代入目标函数，计算出 z=0.(1,0)【点睛】本道题考查了线性规划问题，关键绘制出可行域，将目标函数转化为一般函数，平移，计算最值，即可，难度中等。7.已知 是非零向量， 的夹角为（ ）a,b (a2b)a,(b2a)b， 则 a与 bA. B. C. D. 6 3 23 56【答案】B【解析】试题分析：由 ，则 ，所(a2b)a,(b2a)b (a2b)a=a22ab=0,(b2a)b
7、=b22ab=0以 ，所以 ，所以 ，故选 Bab=12a2=12b2 cos= ab|a|b|=12 =3考点：向量的运算及向量的夹角8.“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若122第一个单音的频率为 f， 则第八个单音的频率为A. B. 32f322fC. D. 1225f 1227f5【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为
8、每一个单音与前一个单音频率比为 ，122所以 ，an=122an1(n2,nN+)又 ，则a1=f a8=a1q7=f(122)7=1227f故选 D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若 （ ）或 （ ） ， 数列 是等比数an+1an=q q0,nN* anan1=q q0,n2,nN* an列；（2）等比中项公式法，若数列 中， 且 （ ） ，则数列 是an an0 a2n1=anan2 n3,nN* an等比数列.9.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 图像，则下列判断错误的是（ f(x)=s
9、in(2x+3) 2 g(x)）A. 函数 在区间 上单调递增 B. 图像关于直线 对称g(x) 12,2 g(x) x=712C. 函数 在区间 上单调递减 D. 图像关于点 对称g(x) 6,3 g(x) (3,0)【答案】C【解析】【分析】由三角函数的图象变换，得到 的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐一判定，即g(x)可得到答案。【详解】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 ，f(x)=sin(2x+3) 2 g(x)=sin(2x23)对于 A 中，由 ，则 ，则函数 在区间 上单调递增是正确的；对于12x2 22x233 g(x) 12,26B 中，令 ，则 ，所以
10、函数 图像关于直线 对称是正确x=712 g(712)=sin(271223)=sin2=1 g(x) x=712的；对于 C 中， ，则则 ，则函数 在区间 上先减后增，所以不6x3 2x230 g(x) 6,3正确；对于 D 中，令 ，则 ，所以 图像关于点 对称示正确的，x=3 g(3)=sin(2323)=0 g(x) (3,0)故选 C。【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确利用三角函数的图象变换求解函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。10.如图
11、，是一个圆柱被一个平面截去一部分后得到几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 92+22+1B. 92+22+2C. 112+22+1D. 112+22+2【答案】A【解析】【分析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个圆柱截去四分之一得到的一个空间几何体，其中圆柱的底面圆的半径为 1，母线长为 2，且 ，即可求解。AB=A1B1= 2【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个圆柱截去四分之一得到的一7个空间几何体，如图所示，其中圆柱的底面圆的半径为 1，母线长为 2，且 ，AB=A1B1= 2所以该几何体的表面积为，故选 A。S=34212+ 22+23412+2
12、12 222=92+22+1【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图，以及几何体的表面积的计算问题，其中根据给定的几何体的三视图还原得到几何体的形状，进而求解几何体的表面积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题。11.函数 时， .若函数 在区间f(x)满 足 f(x)+1=1f(x+1)， 当 x0,1 f(x)=x g(x)=f(x)mxm内有两个零点，则 m 的取值范围是（ ）(1,1A. B. (0,12 (1,12C. D. 12,+) (,12【答案】A【解析】当 时，x-1,0) x+10,1) f(x)= 1f(x+1)-1= 1x+1-1从而作出
13、函数 与函数 在 上的图象如下：y=m(x+1) f(x) -1， 1由图象可知， A(-1,0),B(1,1)8故直线 的斜率AB kAB=12结合图象可知，实数 的取值范围是 m (0,12故答案选 A点睛：先求出 的解析式，然后转化为两个函数图像的交点问题，这样要求的 范围就可f(x) m以转化为斜率问题，化归转化，将函数问题利用图像转化为斜率问题。12.已知 O 为坐标原点，直线 若直线 l 与圆 C 交于l:y=kx+ 3， 圆 C： x2+(y23)2=4A，B 两点，则OAB 面积的最大值为（ ）A. 4 B. C. 2 D. 23 3【答案】C【解析】【分析】由直线，可知 ，即
14、点 D 为 OC 的中点，得出 ,设 ，得出D(0, 3) SOAB=SABC ACB=，再由圆的性质，即可求解。SABC=12|CA|CB|sin=2sin【详解】由圆的方程 可知圆心坐标 ，半径为 2，x2+(y23)2=4 C(0,23)又由直线 ，可知 ，即点 D 为 OC 的中点，y=kx+ 3 D(0, 3)所以 ,设 ，又由 ，SOAB=SABC ACB= CA=CB=r=2所以 ，SABC=12|CA|CB|sin=1222sin=2sin又由当 ，此时直线 ，使得的最小角为 ，即k=0 y= 33 3,)当 时，此时 的最大值为 2，故选 C。=2 SABC=2sin【点睛】
15、本题主要考查了直线与圆的位置关系的9应用问题，其中解答中根据圆的性质，得出 ，再由三角形的面积公式和正弦函SOAB=SABC数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。第卷(非选择题)二填空题。13.若 _.cos(6)=13， 则 sin(3+)=【答案】13【解析】【分析】利用诱导公式 ,即可.sin=cos(2)【详解】 sin(3+)=sin(2(3+)=cos(3+)=13【点睛】本道题考查了诱导公式,关键抓住 ,属于容易题.sin=cos(2)14.函数 处的切线方程为 _.f(x)=x2lnx在 点 (1,0)【答案】 xy1=0【解析】【分析】由
16、题意，函数 的导数为 ，得到 ，再由直线的点斜式方程，即可求解切线的f(x) f(x) k=f(1)=1方程。【详解】由题意，函数 的导数为 ，所以 ，f(x)=x2lnx f(x)=2xlnx+x f(1)=1即函数 在点 处的切线的斜率为 ，f(x)=x2lnx (1,0) k=1由直线的点斜式方程可知，切线的方程为 ，即 。y=x1 xy1=0【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的方程，其中解答中根据导数四则运算的法则，正确求解函数的导数，得出曲线在某点处的切线的斜率，再利用点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。15.在直三棱柱 为 AC
17、 的中点直线 与直ABCA1B1C1中 ， ABC=90,AB=BC=BB1=2,D A1D线 所成角的正弦值为_.B1C10【答案】12【解析】【分析】结合题意，构造空间坐标系，利用空间向量数量积公式，计算夹角，即可。【详解】构造空间直角坐标系，设 BC 为 x 轴，AB 为 y 轴， 为 z 轴，则BB1 A1(0,2,2), , ，所以D(1,1,0) B1(0,0,2) C(2,0,0) A1D=(1,1,0)(0,2,2)=(1,1,2)，结合空间向量数量积公式得到B1C=(2,0,0)(0,0,2)=(2,0,2)，得到 ，所以A1DB1C=|A1D|B1C|cos cos=32
18、sin=12【点睛】本道题考查了空间向量数量积运算公式，关键建立空间坐标系，即可，属于中档题。16.已知椭圆 ，F 1，F 2为其焦点，平面内一点 P 满足 PF2F 1F2，且C:x2a2+y2b2=1(ab0)，线段 PF1，PF 2分别交椭圆于点 A，B，若 ，则 =_|PF2|=|F1F2| |PA|=|AF1|BF2|PF2|【答案】24【解析】【分析】由题意，可得 为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和椭圆的定义，求得PF2F1，且 ，联立方程组，求得 ，进而可求得结果。a= 2c a= 2b |BF2|=12a11【详解】如图所示，由椭圆的方程 可知， ，x2a2+y2b2
19、=1 |F1F2|=2c又由 ，且 ，所以 为等腰直角三角形，|PF2|=|F1F2|=2c PF2F1F2 PF2F1又由 ，所以点 为线段 的中点，则 ，且 ，|PA|=|AF1| A PF1 AF1=AF2 AF2AF1在等腰直角 中，因为 ，可得 ，PF2F1 |PF2|=|F1F2|=2c |AF1|=|AF2|= 2c又由椭圆的定义可知 ，即 ，即 ，|AF1|+|AF2|=2a 2a=22c a= 2c又由 ，所以 ，b2=a2c2 a= 2b又因为 ，所以直线 的方程为 ，PF2F1F2 PF2 x=c联立方程组 ，解得 ，即 ，x=cx2a2+y2b2=1 y=b2a=12a
20、 |BF2|=12a所以 。|BF2|PF2|=12a2c=12a2a=24【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题设条件，得出 为等腰直角三角形，利用等腰直PF2F1角三角形的性质和椭圆的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。三解答题。17.在数列 中，前 n 项和为an Sn， 且 a1=1,Sn=nan-12n(n-1)(1)求数列 的通项公式；an(2)求数列 的前 项和2an+2an n Tn【答案】 （1） （2） an=n Tn=n2+n+2n+12【解析】12【分析】（1）根据数列的递推关系式，相减得 ，进
21、而利用等差数列的定义和通项公式，anan1=1即可求解；（2）由（1）得 ，利用分组求和，即可求解数列的前 n 项和。2an+2an=2n+2n【详解】 （1） ，Sn=nan-12n(n-1) Sn-1=(n-1)an-1-12(n-1)(n-2)相减得： ，an=nan-(n-1)an-1-(n-1) (n2) an-an-1=1是首项为 1，公差为 1 的等差数列， an an=n（2） ，设其前 项和为2an+2an=2n+2n n Tn则 Tn=2+21+2n+2n=(2+4+2n)+(21+2n)=n2+n+2n+1-2【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和通项公式的求解，以及分组
22、求和法的应用，其中解答中正确利用等差数列的定义和递推公式化简，求得数列 的通项公式是解答本题的an关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。18.ABC 中，角 A,BC 所对边分别为 .a,b,c， 且 a(2cosAcosB-1)= 2bsin2A(1)求角 C；(2)若ABC 的面积为 ，求43,a=2【答案】 （1） (2) C=23 c=221【解析】【分析】（1）由正弦定理，化简得 ，求得 ，进而可求得sinA(2cosAcosB1)=2sinBsin2A cos(A+B)=12角 C 的大小；（2）由三角形的面积公式，化简得 ，在由余弦定理，即可求解边的长。b=8【详解】 （1
23、） ，a(2cosAcosB-1)=2bsin2A sinA(2cosAcosB-1)=2sinBsin2A， ，sinA0 2cosAcosB-1=2sinBsinA cos(A+B)=12。0b0) F1,F2 P(3,22)上，且 P 到 的距离之和为 4.F1,F2(1)求椭圆 C 的方程。(2)若过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点，以 AB 为直径的圆过 O，求直线 l 的方(3,0)程【答案】 （1） （2）x24+y22=1 y=22323(x3)【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，求得 ，在代入点 ，求得 ，即可求得椭圆的方程；a=2 ( 3,22) b2=2（
24、2）设直线的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 ，再y=k(x3) x1+x2,x1x2由 ，利用向量数量积的运算，列出方程求得 的值，即可得到直线的方程。OAOB k【详解】 （1） 到 的距离之和为P F1,F2 4，2a=4 a=2椭圆 经过点 C:x24+y2b2=1 ( 3,- 22)34+12b2=1b2=2椭圆 的方程为Cx24+y22=1（2）设 ， ，A(x1,y1) B(x2,y2)由已知得，斜率存在，设 ，l:y=k(x-3)x24+y22=1y=k(x-3) ， 得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-4=0 0 k20,exf(x)【答案】(1)见解析
25、；(2)-1【解析】【分析】（1）由题意，求得函数的导数 ，分类讨论，得出函数的单调性，进而可求f(x)=kcosx+2得函数的极值点的个数；18（2）设 ，先征得当 时是成立的，再对 时，总存在g(x)=exksinx2x1 k=1 k1，作出证明，进而得到实数 的最大值。x00,exf(x) k【详解】 （1） f(x)=kcosx+2当 时，-2k2， ，|cosx|1 |kcosx|2 f(x)=kcosx+20单调递增，在 上无极值点f(x) (0,2)当 时k2在 上单调递减， ，f(x)=kcosx+2 (0,) f(0)=k+20 f()=-k+20存在 使得 ，则 为 的极小
26、值点； x2(,2) f(x2)=0 x2 f(x)在 上存在两个极值点f(x) (0,2)当 时k0存在 使得 ，则 为 的极小值点； x3(0,) f(x3)=0 x3 f(x)在 上单调递减， ，f(x)=kcosx+2 (,2) f()=-k+20 f(2)=k+22 f(x) (0,2)个极值点。（2）设 （ ）g(x)=ex-ksinx-2x-1 x0先证明 时成立，证明过程如下：k=-1，g(x)=ex+sinx-2x-1，g(x)=ex+cosx-219，g(x)=ex-sinx， ，x0 ex1,sinx1 g(x)=ex-sinx0在 上单调递增，g(x)=ex+cosx-
27、2 (0,+) g(x)g(0)=1+1-2=0在 上单调递增，g(x)=ex+sinx-2x-1 (0,+) g(x)g(0)=1-1=0即对任意的 ， 恒成立x0 exf(x)下证对 ，总存在 ， ，k-1 x00 exf(x)，g(x)=ex-ksinx-2x-1，g(x)=ex-kcosx-2，g(x)=ex+ksinx当 时， ，x(0,2) 00（i）当 时，k0 g(x)=ex+ksinx0（ii）当 时， ，-1ksinx-1 g(x)=ex+ksinx1-1=0综（i） （ii）可知，当 时，在 上单调递增，使得时在 上单调递减时即存在 ， 综上所述， 的最大值为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调20区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用。
