1、2.2 一元二次不等式及其解法,第二章 不等式,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,一元二次不等式的解集,知识梳理,ZHISHISHULI,x|xx2,x|x1 xx2,【概念方法微思考】,1.一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？,提示 ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.,2.一元二次不等式ax2bxc0(0)恒成立的条件是什么？,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中
2、打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R. ( ) (4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集.( ),1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,2.P80A组T4已知集合Ax|x2x60，则RA等于 A.x|23 D.x|x2
3、x|x3,1,2,3,4,5,6,解析 x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x2.在数轴上表示出集合A，如图所示.,由图可得RAx|2x3. 故选B.,3.P80A组T2ylog2(3x22x2)的定义域是_.,解析 由题意，得3x22x20，,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.不等式x23x40的解集为_.(用区间表示),解析 由x23x40可知，(x4)(x1)0， 得4x1.,1,2,3,4,5,6,(4,1),5.若关于x的不等式ax2bx20的解集是 ，则ab_.,1,2,3,4,5,6,14,6.不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取
4、值范围是 A.(，2 B.(2,2 C.(2,2) D.(，2),1,2,3,4,5,6,另a2时，原式化为40，不等式恒成立， 2a2.故选B.,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 一元二次不等式的求解,多维探究,命题点1 不含参的不等式 例1 已知集合Ax|x2x20，By|y2x，则AB等于 A.(1,2) B.(2,1) C.(0,1) D.(0,2),解析 由题意得Ax|x2x20， ABx|0x2(0,2).故选D.,命题点2 含参不等式 例2 解关于x的不等式ax2(a1)x10).,解 原不等式变为(ax1)(x1)0，,当a1时，解集为；,当a1时，不等式的解集
5、为；,对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：根据二次项系数为正、负及零进行分类.根据判别式判断根的个数.有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.,跟踪训练1 解不等式12x2axa2(aR).,解 原不等式可化为12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；,题型二 一元二次不等式恒成立问题,多维探究,命题点1 在R上的恒成立问题 例3 已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围.,解 当m0时，f(x)10恒成立.,综上，4m0，故m的取值范围是(4,0.,命题点2 在给定区间上的
6、恒成立问题 例4 已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围.,解 要使f(x)m5在x1,3上恒成立，,当m0时，g(x)在1,3上是增函数， 所以g(x)maxg(3)，即7m60，,当m0时，60恒成立； 当m0时，g(x)在1,3上是减函数， 所以g(x)maxg(1)，即m60， 所以m6，所以m0.,1.若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的取值范围？,解 若f(x)5m无解，即f(x)5m恒成立，,又x1,3，得m6，即m的取值范围为6，).,2.若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求
7、m的取值范围.,解 由题意知f(x)5m有解，,又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6).,命题点3 给定参数范围的恒成立问题 例5 若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围.,解 设g(m)mx2mx1(x2x)m1， 其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，,解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.,解 当xR时，x2ax3a0恒成立， 需a24(3a)0，即a24a120， 实数a的取值范围是6,2.,跟踪训练2 函数f(x)x2ax3. (1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,(2)当x
8、2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；,解 当x2,2时，设g(x)x2ax3a0， 分如下三种情况讨论(如图所示)： 如图，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时， 有a24(3a)0，即6a2. 如图，g(x)的图象与x轴有2个交点， 但当x2，)时，g(x)0，,如图，g(x)的图象与x轴有2个交点， 但当x(，2时，g(x)0.,综上，实数a的取值范围是7,2.,解 令h(a)xax23. 当a4,6时，h(a)0恒成立.,(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围.,实数x的取值范围是,3,课时作业,PART THREE,1.已知集合Ax|x0，Bx|(x1)
9、(x5)0，则AB等于 A.1,4) B.0,5) C.1,4 D.4，1) 4,5),基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得Bx|1x5， 故ABx|x0x|1x50,5).故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.若不等式ax2bx20的解集为x|10的解集为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不等式ax2bx20的解集为x|1x2， ax2bx20的两根为1,2，,解得a1，b1，则所求不等式可化为2x2x10，,3.若一元
10、二次不等式2kx2kx 0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 A.(3,0) B.3,0 C.3,0) D.(3,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解得3k0.,4.若存在实数x2,4，使x22x5m0成立，则m的取值范围为 A.(13，) B.(5，) C.(4，) D.(，13),解析 mx22x5， 设f(x)x22x5(x1)24，x2,4， 当x2时，f(x)min5， 存在x2,4使x22x5mf(x)min，m5.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.若不等式x2(a1)xa0
11、的解集是4,3的子集，则a的取值范围是 A.4,1 B.4,3 C.1,3 D.1,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 原不等式为(xa)(x1)0， 当a1时，不等式的解集为1，a， 此时只要a3即可，即1a3，综上可得4a3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.2,3) B.(2,3 C.(2,3) D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以(a，b(2,3，则a2,3)，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1
12、4,15,16,7.若不等式x22axa1有唯一解，则a的值为_.,解析 若不等式x22axa1有唯一解， 则x22axa1有两个相等的实根，,8.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价的取值范围是_.,解析 设售价定为每件x元，利润为y， 则y(x8)10010(x10)， 依题意有(x8)10010(x10)320， 即x228x1920，解得12x16， 所以每件售价应定为12元到16元之间.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
13、10,11,12,13,14,15,16,(12,16),9.若不等式x2ax40对一切x(0,1恒成立，则a的取值范围为_.,5，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则只要af(x)max即可. 由于函数f(x)在区间(0,1上单调递增， 所以f(x)maxf(1)5，故a5.,10.设aR，若x1,2时，均有(xa)(x22a)0，则a的取值范围是_.,(，2)(2，),解析 当a0时，x22a0，即当x1,2时，均有x2. 当a0，即当x1,2时，均有x22a2或a2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,
14、16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知f(x)3x2a(6a)x6. (1)解关于a的不等式f(1)0；,解 f(x)3x2a(6a)x6， f(1)3a(6a)6a26a30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值.,解 f(x)b的解集为(1,3)， 方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，,12.(2018浙江绍兴一中模拟)已知f(x)x22ax3a2. (1)设a1，解不等式f(x)0；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
15、0,11,12,13,14,15,16,解 当a1时，不等式f(x)0，即x22x30， 解得x3或x0的解集为(，1)(3，).,(2)若不等式f(x)x的解集中有且仅有一个整数，求a的取值范围；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 f(x)xx2(2a1)x3a2， 令g(x)x2(2a1)x3a2， 若a0，则f(x)x的解集为(0,1)，不满足条件； 若a0，由g(0)3a20知x0是不等式f(x)x的一个整数解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,若a1，因为|f(a)|4a2，|f(4a)|5
16、a2，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.若不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_.,8,4,解析 因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立， 所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立， 即a2ba(8)b20恒成立， 由一元二次不等式的性质可知， 2b24(8)b2b2(2432)0， 所以(8)(4)0，解得84.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.已知b，cR，若关于x的不等式0x2bxc4的解集为x1，x2x3，x4(x2x
17、3)，则(2x4x3)(2x1x2)的最小值是_.,解析 如图，据题意可知x1，x4是方程x2bxc4的两根，,x2，x3是方程x2bxc0的两根. 由根与系数的关系可得(2x4x3)(2x1x2)2(x4x1)(x3x2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2019杭州高级中学仿真测试)若关于x的不等式(x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，则2ab的最小值为_.,0,1
18、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 要使2ab取得最小值，尽量考虑a，b取负值的情况， 因此当a0，与b0矛盾； 当a0. 综上可知，2ab的最小值为0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018浙江省海盐高级中学期中)已知函数f(x)x2(a2)x2a，若集合AxN|f(x)0中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 集合AxN|f(x)0，亦即a28a40， 方程x2(a2)x2a0的根为,又f(0)2a，若f(0)2a0，,则集合AxN|f(x)0中至少有两个元素0,1，不符合题意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,故f(0)2a0，a2， 此时要使集合AxN|f(x)0中有且只有一个元素，,
