1、12.1 不等关系与不等式最新考纲 考情考向分析了解不等关系，掌握不等式的基本性质.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合属低档题.1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! ( a， bR)(2)作商法Error! (aR， b0) 22不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 abbb， bcac 可加性 aba cb c Error!acbc可乘性Error!acb d 同向同正可乘性 Error!acbd 可乘方性 ab0anbn(nN， n1)a， b 同为正数可开方性 ab0 nanb(nN， n2)
2、a， b 同为正数概念方法微思考1若 ab，且 a 与 b 都不为 0，则 与 的大小关系确定吗？1a 1b提示 不确定若 ab， ab0，则 0b，则 ，即正数大于负数1a1b2两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如 21，13.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数 a， b 之间，有且只有 ab， a b， a1，则 ab.( )ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘同一个数，不等号方向不变( )(4)ab0， cd0 .( )adbc(5)ab0， ab 0”是“ a2 b20”的( )a bA充分不必要条件B必要不充
3、分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 0 aba2b2，a b a b但由 a2 b20 0.a b3P74T3设 bb d D a db c答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知 C 正确题组三 易错自纠4若 ab0， c0 B. D. ac，又 cd0， ，即 .bdcdaccd bcad5设 a， bR，则“ a2 且 b1”是“ a b3 且 ab2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a2 且 b1，则由不等式的同向可加性可得 a b213，由不等式的同向同正可乘性可得 ab212.即“ a2 且 b1”是“
4、a b3 且 ab2”的充分条件；反之，若“ a b3且 ab2”，则“ a2 且 b1”不一定成立，如 a6， b .所以“ a2 且 b1”是“ a b3 且12ab2”的充分不必要条件故选 A.6若 q D p q答案 B解析 (作差法) p q a bb2a a2b ( b2 a2)b2 a2a a2 b2b (1a 1b) ，b2 a2b aab b a2b aab因为 a0.若 a b，则 p q0，故 p q；若 a b，则 p qb0，比较 aabb与 abba的大小解 a b，aabbabba aa bba b (ab)又 ab0，故 1， a b0，ab a b1，即 1，
5、(ab) aabbabba又 abba0， aabbabba， aabb与 abba的大小关系为： aabbabba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；结论(2)作商法：作商；变形；判断商与 1 的大小关系；结论5(3)函数的单调性法跟踪训练 1(1)已知 pR， M(2 p1)( p3)， N( p6)( p3)10，则 M， N 的大小关系为_答案 MN解析 因为 M N(2 p1)( p3)( p6)( p3)10 p22 p5( p1) 240，所以MN.(2)若 a0，且 a7，则( )A7 7aa7aa7D7 7aa与 7aa7的大小关系不确定答案 C解析
6、7 7 aaa7 7 a，77aa7aa7 (7a)则当 a7 时，01，7 7aa7aa7；(7a)当 01,7 a0，7a则 7 a1，7 7aa7aa7.(7a)综上，7 7aa7aa7.题型二 不等式的性质例 2(1)若 a， b， cR，则下列说法正确的是( )A若 ab，则 a cb c B若 ab，则 b，则 a2b2 D若 ab，则 ac2bc2答案 A解析 当 a0b 时，B 不正确，当 0ab 时，C 不正确，当 c0 时，D 不正确，由不等式的性质知 A 正确，故选 A.(2)已知四个条件： b0a；0 ab； a0b； ab0，能推出 b， ab0 ac B c(b a
7、)0答案 A解析 由 c0.由 bc，得 abac 一定成立(2)若 |b|； a0，1a1b所以 a bb0，给出下列四个不等式： a2b2；2 a2b1 ； ；a b a b a3 b32a2b.其中一定成立的不等式为( )A BC D答案 A解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，成立；由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2 x在 R 上是增函数， f(a)f(b1)，即 2a2b1 ，成立； ab0， ，a b( )2( )2a b a b2 2 b2 ( )0，ab b a b ，成立；a b a b若 a3， b2，则 a3 b335,2 a2b36，7a3 b3b2，2
8、a2b1 ， 均成立，而 a3 b32a2b 不成立，故选 A.a b a b命题点 2 求代数式的取值范围例 4 已知1 B a2bn|b|a|b| 1|a| 1答案 C解析 (特值法)取 a2， b1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确；C 项， 0，0b， cd，则 acbdB若 acbc，则 abC若 b， cd，则 a cb d答案 C解析 A 项，取 a2， b1， c1， d2，可知 A 错误；B 项，当 cbca0，所以 ab2 B1 b a(12) (12)C. beaba ab答案 D解析 由题意知， b a1， 2，(12) (12) ba ab beb0， b a0
9、， bea aeb， aebbea，故选 D.3若 ab0，则下列不等式中一定成立的是( )A a b B. 1b 1a bab 1a 1C a b D. 1b 1a 2a ba 2bab答案 A解析 取 a2， b1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x) x 是(0，)上的增函数，但函1x数 g(x) x 在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当 ab0 时， f(a)1xf(b)必定成立，即 a b a b ，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.1a 1b 1b 1a4已知 xyz， x y z0，则下列不等式成立的是( )A xyyz B xzyzC xyxz D x|y
10、|z|y|答案 C解析 xyz 且 x y z0，3 xx y z0,3 z0， zz， xyxz.5(2015浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为 x， y， z，且 x y z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为 a， b， c，且 a b c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ax by cz B az by cxC ay bz cx D ay bx cz答案 B解析 令 x1， y2， z3， a1， b2， c3.10A 项： ax by cz14914；B 项
11、： az by cx34310；C 项： ay bz cx26311；D 项： ay bx cz22913.故选 B.6若 ， 满足 0，则 与 的大小关系是_ab2 ba2 1a 1b答案 ab2 ba2 1a 1b解析 ab2 ba2 (1a 1b) a bb2 b aa2( a b) .(1b2 1a2) a ba b2a2b2 a b0，( a b)20， 0.a ba b2a2b2 .ab2 ba2 1a 1b8已知有三个条件： ac2bc2； ； a2b2，其中能成为 ab 的充分条件的是acbc_答案 解析 由 ac2bc2可知 c20，即 ab，故“ ac2bc2”是“ ab”
12、的充分条件；当 cb 的充分条件119(2019杭州模拟)已知 a， b， c， d 均为实数，有下列命题：若 ab0， bc ad0，则 0；ca db若 ab0， 0，则 bc ad0；ca db若 bc ad0， 0，则 ab0.ca db其中正确的命题是_(填序号)答案 解析 ab0， bc ad0， 0，正确；ca db bc adab ab0，又 0，即 0，ca db bc adab bc ad0，正确； bc ad0，又 0，即 0，ca db bc adab ab0，正确故都正确10设 ， T1cos(1 )， T2cos(1 )，则 T1与 T2的大小关系为(0，12)_答
13、案 T10，求证： ；a bb c dd(2)已知 cab0，求证： .ac a bc b证明 (1) bc ad， bd0， ，cd ab 1 1，cd ab .a bb c dd(2) cab0， c a0， c b0,00， .ac a bc b12已知 1n2，所以 mn4；结合定义及 pq2，可得Error! 或Error!即 qblna B alnbbea，故选 B.16(2018浙江衢州二中模拟)已知非负实数 a， b， c 满足 a b c1，求( c a)(c b)的取值范围解 因为 a， b， c 为非负实数，且 a b c1，则 a b1 c,0 c1，故|( c a)(c b)| c a|c b| c21，即1( c a)(c b)1；又( c a)(c b) c2(1 c)c ab2 2 .(c14) 18 18综上， ( c a)(c b)1.1814
