1、1小专题 11 与圆的基本性质有关的计算类型 1 求角度1(哈尔滨中考)如图，O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，A42，APD77，则B的大小是(B)A43 B35C34 D442(兴安盟中考)如图，在O 中，OABC，AOB48，D 为O 上一点，则ADC 的度数是(A)A24 B42C48 D123(广东中考)如图，四边形 ABCD 内接于O，DADC，CBE50，则DAC 的大小为(C)A130 B1002C65 D504如图，AB 为O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，ACD60，ADC50，则CEB 的度数为 1005如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，BA，D
2、C 的延长线交于点E，AB2CE，E25，则BOD756(山西中考)如图，四边形 ABCD 内接于O，AB 为O 的直径，点 C 为 BD 的中点若A40，则B70_7(南京中考)如图，四边形 ABCD 是菱形，O 经过点 A，C，D，与 BC 相交于点 E，连接AC，AE.若D78，则EAC27类型 2 求长度8如图，O 的半径是 3，点 P 是弦 AB 延长线上的一点，连接 OP.若 OP4，APO30，则弦 AB 的长是 2 539如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连接 AO 并延长交O 于点 E，连接 EC.若AB8，CD2，则 EC 的长为 2 _1310如图，将半径为 2
3、cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为 2 3cm.11(十堰中考)如图，ABC 内接于O，ACB90，ACB 的平分线交O 于点 D.若AC6，BD5 ，则 BC 的长为 824小专题 12 教材 P90 习题 T14 的变式与应用【例】 (人教版九年级上册教材第 90 页第 14 题)如图，A，P，B，C 是O 上的四个点，APCCPB60.判断ABC 的形状，并证明你的结论解：ABC 为等边三角形证明：APCABC，CPBBAC，又APCCPB60，ABCBAC60.ACB60.ABC 为等边三角形【问题延伸 1】 求证：PAPBPC.证明：在 PC 上截取
4、PDAP，连接 AD，如图所示APC60，APD 是等边三角形ADAPPD，ADP60，ADC120.APBAPCBPC120，ADCAPB.在APB 和ADC 中， ABP ACD， APB ADC，AP AD， )APBADC(AAS)BPCD.又PDAP，PAPBPC.5证明线段的和、差、倍、分问题的常见做法是“截长补短”法，具体做法是：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明【问题延伸 2】 若 BC2 ，点 P 是 上一动点(异于点 A，B)，求 PAPB 的最大值3 AB 解：由上题知 PAPBPC，要使 P
5、APB 最大，则 PC 为直径，作直径 BG，连接CG.GBAC60，BCG90.BC2 ，BG4.即 PAPB 的最大值为 4.3直径是圆中最长的一条弦，在求最值的问题中经常用到这一结论1如图，四边形 APBC 是圆内接四边形，延长 BP 至 E，若EPACPA，判断ABC 的形状，并证明你的结论解：ABC 是等腰三角形，理由：四边形 APBC 是圆内接四边形，EPAACB.EPACPA，CPAABC，ACBABC.ABAC.ABC 是等腰三角形2如图，O 是ABC 的外接圆，D 是 的中点，DEBC 交 AC 的延长线于点 E.若ACB AE10，ACB60，求 BC 的长6解：D 是 的
6、中点， .ACB DA DB DADB.ACB60，ACB 与ADB 是同弧所对的圆周角，ADB60.ADB 是等边三角形DABDBA60.DCBDAB60.DEBC，EACB60.DCBE.ECDDBA60，ECD 是等边三角形EDCD. ，CD CD EADDBC.在EAD 和CBD 中， E DCB， EAD CBD，ED CD， )EADCBD(AAS)BCEA10.3如图，A，P，B，C 是圆上的四个点，APCCPB60，连接 AB，BC，AC.(1)求证：ABC 是等边三角形；(2)若PAC90，AB2 ，求 PB 的长37解：(1)证明：ABCAPC，BACBPC，APCCPB6
7、0，ABCBAC60，ABC 是等边三角形(2)PAC90，PC 是O 的直径，PBC90.CPB60，BCP30.在 RtPBC 中，设 PBx，则 PC2x.BCAB2 .3由勾股定理，得 PB2BC 2PC 2，即 x2(2 )2(2x) 2，3解得 x2，PB2.4(广州中考改编)如图，点 A，B，C，D 在同一个圆上，且 C 点为一动点(点 C 不在 上，BAD 且不与点 B，D 重合)，ACBABD45.(1)求证：BD 是该圆的直径；(2)连接 CD，求证： ACBCCD.2证明：(1) ，AB AB ACBADB45.ABD45，BAD90.BD 是该圆的直径8(2)在 CD
8、的延长线上截取 DEBC，连接 EA，ABDADB，ABAD.ADEADC180，ABCADC180，ABCADE.在ABC 和ADE 中，AB AD， ABC ADE，BC DE， )ABCADE(SAS)BACDAE.BACCADDAECAD.BADCAE90. ，ACDABD45.AD AD CAE 是等腰直角三角形 ACCE.2 ACDECDBCCD.25(山西中考)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前 287公元前 212 年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子阿拉伯 AlBiruni(97310
9、50 年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在 1964年根据 AlBiruni 译本出版了俄文版阿基米德全集 ，第一题就是阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理：如图 1，AB 和 BC 是O 的两条弦(即折线 ABC 是圆的一条折弦)，BCAB，M 是 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CDABBD.ABC 9图 1 图 2下面是运用“截长法”证明 CDABBD 的部分证明过程证明：如图 2，在 CB 上截取 CGAB，连接 MA，MB，MC 和 MG.M 是 的中点ABC MAMC.任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图 3，已知等边ABC 内接于O，AB2，D 为O 上一点，ABD45，AEBD 与点 E，则BDC 的长是 22 2图 3解：证明：在MBA 和MGC 中，AB CG， A C，AM CM， )MBAMGC(SAS)MBMG.又MDBC，BDGD.CDGCGDABBD.
