1、1圆本章总结提升问题 1 弧、弦与圆心角的关系在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？2图 2T1例 1 如图 2T1，在 O 中， ， AOB40，则 ADC 的度数是( )AB AC A40 B30C20 D15【归纳总结】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等，这体现了转化思想问题 2 与圆周角定理有关的综合运用同 弧 所 对 的 圆 周 角 和 它 所 对 的 圆 心 角 有 什 么 关 系 ？例 2 已知等边三角形 ABC 内接于 O， P 是劣弧 上的一点(端点除外)，延长 B
2、P 至点 D，使BC BD AP，连接 CD.(1)若 AP 过圆心 O，如图 2T2，且 O 的直径为 10 cm，求 PD 的长；(2)若 AP 不过圆心 O，如图， CP3 cm，求 PD 的长图 2T2【归纳总结】圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了依据；在圆中，如果有直径，那么直径所对的圆周角是直角；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半问题 3 利用垂径定理进行计算垂径定理的内容是什么？应用垂径定理时常常结合哪些定理解决问题？例 3 在半径为 5 cm 的 O 中，如果弦 CD8 cm，直径 AB CD，垂足为 E，那么 AE 的长为_例 4 2018历城区一模某居民小区的一
3、处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径如图 2T3，若这个输水管道有水部分的水面宽AB16 cm，水最深的地方的高度为 4 cm，求这个圆形截面的半径3图 2T3【归纳总结】垂径定理是解决线段相等、角相等、垂直关系等问题的重要依据，应结合图形深刻理解、熟练掌握，并灵活运用应用时注意：定理中的“直径”是指过圆心的弦，但在实际应用中可以不是直径，可以是半径、过圆心的直线或线段等；在利用垂径定理思考问题时，常常把问题转化到由半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中去解决问题 4 切线及切线长圆 的 切 线 有 什 么 性 质 ？ 如 何 判 断 一 条
4、直 线 是 圆 的 切 线 ？例 5 2017河南如图 2T4，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的 O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CF AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD.(1)求证： BD BF；(2)若 AB10， CD4，求 BC 的长图 2T4例 6 如图 2T5，以 ABC 的边 BC 上的一点 O 为圆心的圆经过 A， B 两点，且与边 BC 交4于点 E， D 为 的下半圆弧的中点，连接 AD 交 BC 于点 F，且 AC FC.BE (1)求证： AC 是 O 的切线；(2)若 BF8， DF2 ，求 O 的半径 r.10图 2T5【归纳总结
5、】证明直线与圆相切时，若已知直线与圆有公共点，则连接公共点和圆心，证明直线垂直于该半径，基本思路是“作半径，证垂直” ；若已知直线与圆没有给出公共点，则过圆心作该直线的垂线，证明垂线段等于半径利用圆的切线的性质时，通常连接圆心和切点得到垂直切线长定理体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据问题 5 弧长与扇形的面积怎 样 由 圆 的 周 长 和 面 积 公 式 得 到 弧 长 公 式 和 扇 形 面 积 公 式 ？图 2T6例 7 如图 2T6 所示，四边形 ABCD 是菱形， A60， AB2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60，则图中阴影部分的
6、面积是( )A. B. 23 32 23 3C D32 3例 8 图 2T7 是一个纸杯，它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形 OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径为 6 cm，下底面圆的直径为 4 cm，母线长 EF8 cm.求扇形 OAB 的圆心角及这个纸杯的表面积(结果用含 的式子表示)5图 2T7【归纳总结】在解决一些曲面的问题时，应先变曲面为平面，这样可以方便地求得一些图形的面积或某些线段的长在平面上求面积时，常利用对称、全等以及平行线等知识进行等面积的图形转换，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差6教师详解详析【整合提升】例 1解析
7、 C 如图，连接 CO.在O 中， ，AB AC AOCAOB.AOB40，AOC40，ADC AOC20.故选 C.12例 2 解：(1)ABC 为等边三角形，ACBC，BAC60.AP 过圆心 O，AP 平分BAC，AP 为O 的直径，CAP30，ACP90，CBDCAP30，CP AP 105( cm)12 12在CAP 和CBD 中， AC BC， CAP CBD，AP BD， )CAPCBD，CPCD.CPDBPCCABBPC180，CPDCAB60，PCD 为等边三角形，PDCP5 cm.(2)与(1)一样可证明得到CAPCBD，CPDCAB60，则 CPCD，PCD 为等边三角形
8、，PDCP3 cm.例 3 答案 2 cm 或 8 cm解析 如图 ，由垂径定理不难求得 CE CD4 cm，连接 OC，则 OC5 cm，由勾股12定理易求 OE3 cm，所以 AE2 cm.同理，在图中，AE8 cm.故应填 2 cm 或 8 cm.7例 4 解：过点 O 作 OCAB 于点 D，交O 于点 C，连接 OB.OCAB，BD AB 168( cm)12 12由题意可知，CD4 cm，设半径为 x cm，则 OD(x4) cm.在 RtBOD 中，由勾股定理，得 OD2BD 2OB 2，即(x4) 28 2x 2，解得 x10.答：这个圆形截面的半径为 10 cm.例 5 解：
9、(1)证明：AB 是O 的直径，BDA90，即 BDAC.BF 切O 于点 B，ABBF.CFAB，CFBF，FCBABC.ABAC，ACBABC，ACBFCB.又BDAC，BFCF，BDBF.(2)AB10，ABAC，AC10.CD4，AD1046.在 RtADB 中，由勾股定理，得 BD 8，102 62在 RtBDC 中，由勾股定理，得 BC 4 .82 42 5例 6 解：(1)证明：如图，连接 OA，OD，OAOD，OADODA.D 为 的下半圆弧的中点，BE ODBE，ODAOFD90.ACFC，FACAFC.又OFDAFC，OADFAC90，即OAC90.又OA 是O 的半径，A
10、C 是O 的切线(2)BF8，DF2 ，10OF8r.8在 RtOFD 中，r2(8r) 2(2 )2，10解得 r2(舍去)或 r6.O 的半径 r 为 6.例 7 解析 B 如图，连接 BD.四边形 ABCD 是菱形，A60，ADC120，1260，ABD 是等边三角形AB2，ABD 的高为 .3扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60，4560.又3560，34，ABM DBN( ASA)，四边形 MBND 的面积等于ABD 的面积，S 阴影 S 扇形 BEFS ABD 2 .60 22360 12 3 23 3例 8 解：由题意可知：l 6 cm，l 4 cm.设AOBn，OAr cm，则AB CD OC(r8) cm.由公式 6 ， 4 ，可得方程组n r180 n （ r 8）180解得6180 nr，4180 nr 8n， ) n 45，r 24.)所以扇形 OAB 的圆心角是 45.因为 r24，r816，所以 S 扇形 OCD 4 1632 ，S 扇形12OAB 6 2472 ，12所以 S 纸杯侧 S 扇形 OABS 扇形 OCD72 32 40 ，S 纸杯底 224 ，所以 S 纸杯表 40 4 44 (cm2)即这个纸杯的表面积是 44 cm2.
