1、1第 1 章 计数原理习题课课时目标 1.进一步熟悉二项式定理，会求二项展开式某些项或系数.2.会利用二项式系数的特征、性质解题1二项展开式的通项 Tr1 _.2二项展开式中的二项式系数和系数通项 Tr1 中，C 叫第 r1 项的二项式系数，而rn系数是指展开式中某个字母的系数3对一些二项展开式系数和的问题，可采用_法一、选择题1设二项式( )n的展开式中第 5 项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是3x1x( )A第 9 项 B第 8 项C第 9 项和第 10 项 D第 8 项和第 9 项2若对任意实数 x，有 x3 a0 a1(x2) a2(x2) 2 a3(x2) 3，则 a2等于(
2、 )A3 B6 C9 D123190C 90 2C 90 3C 90 10C 除以 88 的余数是( )10 210 310 10A1 B1 C87 D874化简( x1) 44( x1) 36( x1) 24( x1)1 的结果是( )A x4 B( x1) 4C( x2) 4 D(1 x)45. 如图所示，在杨辉三角中，斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前 n 项和为 Sn，则 S16等于( )A144 B1462C164 D461二、填空题6已知(3 x1) 7 a7x7 a6x6 a1x a0，则展开式的二项式系数的和为_， a
3、0 a1 a2 a7_.7( x1)( x1) 2( x1) 3( x1) 4( x1) 5的展开式中 x2的系数为_8今天是星期一，如果今天算第一天，那么第 810天是星期_三、解答题9设(3 x x )n的二项展开式中各项系数之和为 t，其二项式系数之和为 h.若13 12h t272，求其二项展开式中 x2项的系数10已知(32 x)8 a0 a1x a8x8，求：(1)a0， a1， a2， a8这 9 个系数中绝对值最大的系数；(2)a0， a1， a2， a8这 9 个系数中最大的系数3能力提升11求(1 x )10的展开式中的常数项1x212已知 f(x)(12 x)m(14 x
4、)n(m， nN *)的展开式中含 x 项的系数为 36，求展开式中含 x2项的系数的最小值1二项展开式的通项是解决项、项的系数、项的二项式系数的根本2赋值法与待定系数法是解题的两种常用方法3一些最值问题可利用函数思想来解4习题课答案知识梳理1C an rbrrn3赋值作业设计1A 因展开式的第 5 项为 T5C x 4，所以有 40，解得 n16.所以4nn 43 n 43展开式中系数最大的项是第 9 项2B 由题意，把等式右边展开得Error!，解得Error!3B 190C 90 2C 90 3C 90 10C10 210 310 10(190) 10(881) 10，(881) 108
5、8 10C 889C 888C 881，10 210 910所以(881) 10除以 88 的余数是 1.4A ( x1) 44( x1) 36( x1) 24( x1)1C (x1) 4C (x1)04 1431C (x1) 212C (x1)1 3C 14( x11) 4 x4.24 34 45C 由图知，数列中的首项是 C ，第 2 项是 C ，第 3 项是 C ，第 4 项是 C ，2 12 23 13第 15 项是 C ，第 16 项是 C .29 19 S16C C C C C C (C C C )(C C C )12 2 13 23 19 29 12 13 19 2 23 29(
6、C C C C C )(C C C )C C 1164.2 12 13 19 2 3 23 29 210 3106128 16 384解析 (3 x1) 7展开式中二项式系数的和为 27128；令 x1，则47 a0 a1 a2 a716 384.720解析 各个组成项的 x2的系数分别为 C ，C ，C ，C ，则展开式中 x2的系数为 20.02 13 24 358一解析 8 10(71) 10C 710C 79C 7C 7 M1( MZ)，故 810除以 701 10 910 10余 1，所以第 810天是星期一9解 由题意， h2 n，令 x1，得 t4 n，又 h t272，所以 4
7、n2 n272，解得 2n16，所以 n4.5所以 Tr1 C (3x )4 r(x )rC 34 rx ，则 2，得 r4，所以二项展r413 12 r4 4 r3 r2 4 r3 r2开式中 x2项的系数为 1.10解 设 rN，且 r8，则有 arC 38 r(2) r.r8显然，| ar|C 38 r2r，由Error!得Error!r8解得Error! 所以 r3.即 9 个系数中，绝对值最大的系数为| a3|C 3523108 864.38(2)由(1)中不等式组及其解集可知| a0|a4|a8|.又从通项公式 arC 38 r(2) r可以看出， a0， a2， a4， a6，
8、a8均大于r80； a1， a3， a5， a7均小于 0，因而只需比较 a2， a4的大小因为 a2C 36(2) 281 648，28a4C 34(2) 490 720.48所以，9 个系数中，最大的系数为 a490 720.11解 (1 x )101( x )10，通项为 Tr1 C (x )r 1x2 1x2 r10 1x2(r0,1,2，10)，而( x )r展开的通项公式为 Tk1 C xr k( )kC xr3 k (k0,1,2， r)，1x2 kr 1x2 kr当 r3 k0 时， Tr1 是常数项由 r3 k,0 r10,0 k r，且 r， kN *，得 r0,3,6,9
9、， k0,1,2,3，所以由系数为 C C 可得常数项为 C C C C C C C 4 351.r10 kr 01 31013 610 26 9103912解 (12 x)m(14 x)n展开式中含 x 的项为 C 2xC 4x(2C 4C )x，1m 1n 1m 1n所以 2C 4C 36，1m 1n即 m2 n18.(12 x)m(14 x)n展开式中含 x2的项的系数为 tC 22C 422 m22 m8 n28 n.2m 2n因为 m2 n18，所以 m182 n，所以 t2(182 n)22(182 n)8 n28 n16 n2148 n61216( n2 n )，所以当 n 时， t 取最小值，但374 1534 378nN *，所以 n5 时， t 最小即含 x2项的系数最小，最小值为 272，此时 n5， m8.
