1、1第一章 计数原理(B)(时间120 分钟 满分150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1从集合1,2,3，10中，选出由 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中任何两个数的和不等于 11，则这样的子集共有( )A10 个 B16 个 C20 个 D32 个2某科技小组有 6 名同学，现从中选出 3 人去参观展览，至少有 1 名女生入选的不同选法有 16 种，则小组中的女生人数为( )A2 B3 C4 D53某小组有 8 名学生，从中选出 2 名男生，1 名女生，分别参加数理化单科竞赛，每人参加一种，共有 90 种不同的参赛方法，则男女生的人数应是( )A男
2、生 6 名，女生 2 名B男生 5 名，女生 3 名C男生 3 名，女生 5 名D男生 2 名，女生 6 名4. 如图，用四种不同颜色给图中的 A， B， C， D， E， F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A288 种 B264 种C240 种 D168 种5掷 4 枚编了号的硬币，至少有 2 枚正面朝上的情况有( )AC C C 种24 34 4BA A A 种24 34 4C. 24种12D不同于 A，B，C 的结论6( x )5(xR)展开式中 x3的系数为 10，则实数 a 等于( )axA1 B. C1 D2127在
3、( )100的展开式中，有理项的个数是( )2 35A15 个 B33 个 C17 个 D16 个8若 C xC x2C xn能被 7 整除，则 x， n 的值可能为( )1n 2n nA x4， n3 B x4， n4C x5， n4 D x6， n69设 f(x)(2 x1) 55(2 x1) 410(2 x1) 310(2 x1) 25(2 x1)1，则 f(x)等于( )A(2 x2) 5 B2 x5C(2 x1) 5 D32 x510若 a1,2,3,5， b1,2,3,5，则方程 y x 表示的不同直线条数为( )baA11 B12 C13 D14211在(1 x)5(1 x)6(
4、1 x)7(1 x)8的展开式中，含 x3的项的系数是( )A74 B121 C74 D12112设 an(n2,3,4，)是(3 )n的展开式中 x 的一次项的系数，则 x32a2 33a3的值是( )318a18A16 B17 C18 D19二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13停车场划出一排 12 个停车位置，今有 8 辆车需要停放，要求空车位连在一起，则不同的停车方法有_种14甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_1577 777 被 19 除所得的余数是_16若( x3 )
5、n的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含 x 的项为1x2_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)教育局派 5 名调研员到 3 所学校去调研学生作业负担问题，每校至少 1 人，有多少种不同的派遣方法？18(12 分)已知 AOB 的边 OA 上有 5 个点，边 OB 上有 6 个点，用这些点和 O 点为顶点，能构成多少个不同的三角形？19(12 分)已知(12 x3 x2)7 a0 a1x a2x2 a13x13 a14x14.(1)求 a0 a1 a2 a14；(2)求 a1 a3 a5 a13.320(12 分)(1)7 个相同的球任意地放入 4 个相同的盒子
6、中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？(2)7 个相同的球任意地放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？(3)7 个不同的球任意地放入 4 个相同的盒子中，每个盒子至少有一个小球的不同放法一共有多少种？(4)7 个不同的球任意地放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少有 1 个小球的不同放法一共有多少种？21(12 分)某地现有耕地 10 000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占有量比现在提高 10%.如果人口年增长率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩？(精确到 1 亩)22(12 分)规定 C ，其中 xR， m
7、是正整数，且 C 1，这是mxxx 1x m 1m！ 0x组合数 C (n、 m 是正整数，且 m n)的一种推广mn(1)求 C 的值；3 15(2)设 x0，当 x 为何值时， 取得最小值？C3xC1x2(3)组合数的两个性质：C C .C C C .mn n mn mn m 1n mn 1是否都能推广到 C (xR， m 是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出mx证明；若不能，则说明理由4第一章 计数原理(B)答案1D 两个数的和等于 11 的情况有(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以满足条件的子集有 C C C C C 32(个)12 12 1
8、2 12 122A 设有女生 x 人，则男生有(6 x)人，则有 C C 16，即(6 x)(5 x)36 36 x(4 x)24，将各选项代入检验即可得 x2.故选 A.3C4B 分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点 A， D， E 有 A 种方法，再涂点34B， C， F 有 2 种方法，故有 A 248(种)方法；34第二类，涂四种颜色，先涂点 A， D， E 有 A 种方法，再涂点 B， C， F 有 3C 种方法，34 13故共有 A 3C 216(种)方法34 13由分类加法计数原理，共有 48216264(种)不同的涂法5A 至少有 2 枚正面朝上有三种情况：两枚正面朝上 C ，三
9、枚正面朝上 C ，四枚24 34正面朝上 C ，所以共有 C C C (种)4 24 34 46D 由二项式定理，得 Tr1 C x5 r( )r5axrC x52 rar，52 r3， r1，r5C a10， a2.157C8C 由 C xC x2C xn(1 x)n1，分别将选项 A、B、C、D 代入检验知，1n 2n n仅有 C 适合9D f(x)C (2x1) 5(1) 0C (2x1) 4(1) 1C (2x1) 3(1)05 15 252C (2x1) 2(1) 3C (2x1) 1(1) 4C (2x1) 0(1) 5(2 x1)1 5(2 x)35 45 5532 x5.10C
10、11D 含 x3项的系数是 C (1) 3C (1) 3C (1) 3C (1) 3121，故选 D.35 36 37 3812B anC 3n2 n(n1)3 n2 ，2n12则 18( )，3nan 18nn 1 1n 1 1n所以原式18(1 )18(1 )17.12 12 13 117 118 11813362 880解析 8 辆车共有 A 种停法，将所有空位看作一个整体，插入 8 辆车形成的 9 个空中8的一个即可，共有 A 9362 880(种)方法814336解析 当每个台阶上各站 1 人时有 A C 种站法，当两个人站在同一台阶上时有 C C C337 2317种站法，因此不同
11、的站法有 A C C C C 210126336(种)16 337 2317165151316210解析 由题意知，展开式各项的系数即为各项的二项式系数第六项系数最大，即第六项为中间项，故 n10.通项为 Tr1 C (x3)10 r( )rC x305 r.r101x2 r10令 305 r0，得 r6.常数项为 T7C 210.61017解 5 人去 3 所学校每校至少去 1 人的派遣方法有两类：(1)某一学校去 1 人，另外两校分别去 2 人，有 C C C 30(种)；25 23 1(2)某一学校去 3 人，另外两校分别去 1 人，有 C C C 20(种)35 12 1故共有 302
12、050(种)派遣方法18解 以 O 为三角形顶点，其余两顶点分别在 OA 和 OB 上取，能构成C C 30(个)三角形； O 不为顶点，又可分为两类：即在 OA 上取两点， OB 上取一点；或15 16在 OA 上取一点， OB 上取两点，则能构成 C C C C 106515135(个)三角25 16 15 26形故能构成不同的三角形共有 30135165(个)19解 (1)令 x1，则 a0 a1 a2 a142 7128.(2)令 x1，则 a0 a1 a2 a3 a13 a146 7.得 2(a1 a3 a13)2 76 7279 808. a1 a3 a5 a13139 904.2
13、0解 (1)可以把 7 个球分成四份，有 1、1、3、2 或 1、1、1、4 或 1、2、2、2 三种不同的放法，即不同放法共有 3 种(2)当把 7 个球分成 1、1、3、2 四份时，有 C C 12(种)不同放法；14 13当把 7 个球分成 1、1、1、4 四份时，有 C 4(种)不同放法；14当把 7 个球分成 1、2、2、2 四份时，有 C 4(种)不同放法；14故不同放法共有 C C C C 20(种)14 13 14 14(3)当把 7 个不同球分成 1、1、3、2 四份时，有 210(种)不同放法；C17C16C35A2当把 7 个不同球分成 1、1、1、4 四份时，有 35(
14、种)不同放法；C17C16C15A3当把 7 个不同球分成 1、2、2、2 四份时，有 105(种)不同放法C27C25C23A3故有不同放法 21035105350(种)(4)由(3)可知不同放法共有 350A 350248 400(种)421解 设耕地平均每年减少 x 亩，现有人口为 p 人，粮食单产为 m 吨/亩，依题意 (110%)，m1 22%104 10xp1 1%10 m104p化简： x10 31 1.11 0.01101.2210 31 (1C 0.01C 0.012)1.11.22 10 21010 31 1.104 54.1， x4(亩)1.11.22答 耕地平均每年至多
15、只能减少 4 亩22解 (1)C 680.3 15 15 16 173！(2) (x 3)C3xC1x2 xx 1x 26x2 16 2x6 x0， x 2 ，当且仅当 x 时，等号成立2x 2 2当 x 时， 取得最小值2C3xC1x2(3)性质不能推广，例如当 x 时， 12C有定义，但 21无意义；2性质能推广，它的推广形式是 C C C ， xR， m 是正整数mx m 1x mx 1事实上，当 m1 时，有 C C x1C .1x 0x 1x 1当 m2，C C mx m 1xxx 1x m 1m！ xx 1x m 2m 1！ 1xx 1x m 2m 1！ x m 1m C .xx 1x m 2x 1m！ mx 1
