1、13.1.1 数学归纳法原理1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.自学导引1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 n 取初始值 n0时命题成立；(2)假设当 n k 时命题成立，证明 n k1 时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.基础自测1.设 f(n) (nN )，那么 f(n1) f(n)等于( )1n 1 1n 2 1n 3 12nA. B
2、.12n 1 12n 2C. D. 12n 1 12n 2 12n 1 12n 2解析 f(n) 1n 1 1n 2 1n 3 12nf(n1) 1n 2 1n 3 12n 12n 1 12n 2 f(n1) f(n) ，选 D.12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 2答案 D2.用数学归纳法证明：( n1)( n2)( n n)2 n13(2n1)时，从“ k 到 k1”左边需增乘的代数式是( )A.2k1 B.2k 1k 1C.2(2k1) D.2k 2k 1解析 n k 时，( k1)( k2)( k k)2 k13(2n1).2n k1 时，( k2)( k k)(k1
3、 k)(k1 k1).增乘的代数式是 2(2 k1)，选 C.（ 2k 1） （ 2k 2）k 1答案 C3.数列 an中，已知 a11，当 n2 时， an an1 2 n1，依次计算 a2， a3， a4后，猜想an的表达式是_.解析 a11， a2 a134， a3459， a49716，猜想 an n2.答案 an n2知识点 1 利用数学归纳法证明等式【例 1】 通过计算下面的式子，猜想出135(1) n(2n1)的结果，并加以证明.13_；135_；1357_；13579_.解 上面四个式子的结果分别是 2，3，4，5，由此猜想：135(1) n(2n1)(1) nn下面用数学归纳
4、法证明：(1)当 n1 时，式子左右两边都等于1，即这时等式成立.(2)假设当 n k(k1)时等式成立，即135(1) k(2k1)(1) kk当 n k1 时，135(1) k(2k1)(1) k1 (2k1)(1) kk(1) k1 (2k1)(1) k1 ( k2 k1)(1) k1 (k1).即 n k1 时，命题成立.由(1)(2)知，命题对于 nN *都成立.反思感悟：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清3等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关.由 n k 到n k1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.1.用
5、数学归纳法证明：1 .12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n证明 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，命题成立.12 12 12(2)假设当 n k (k1)时命题成立，即1 12 13 14 12k 1 12k ，1k 1 1k 2 12k那么当 n k1 时，左边1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 .1k 2 1k 3 12k 1 12k 2上式表明当 n k1 时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立.【例 2】 证明 1 (其中 nN *)成立的过程如下，请判断
6、证12 122 123 12n 1 12n 12n明是否正确？为什么？证明：(1)当 n1 时，左边 ，右边1 .12 12 12当 n1 时，等式成立.(2)假设当 n k (k1)时，等式成立，即 1 ，12 122 123 12k 1 12k 12k那么当 n k1 时，左边 12 122 123 12k 1 12k 12k 1 1 右边.121 (12)k 1 1 12 12k 1这就是说，当 n k1 时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何 nN *都成立.解 不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当 n k14时，式子 的和，而没有利用“
7、归纳假设”.12 122 123 12k 1 12k 12k 1正确的证明如下：(1)当 n1 时，左边 ，右边1 ，等式成立.12 12 12(2)假设当 n k (kN *， k2)时，等式成立，就是 1 ，12 122 123 12k 1 12k 12k那么当 n k1 时，左边 12 122 123 12k 1 12k 12k 11 1 1 右边.12k 12k 1 2 12k 1 12k 1这就是说，当 n k1 时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意 nN *都成立.反思感悟：在推证“ n k1”命题也成立时，必须把“归纳假设” n k 时的命题，作为必备条件使用上，否
8、则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找 n k 与n k1 的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明： (n2).(114)(1 19)(1 116) (1 1n2) n 12n证明 (1)当 n2 时，左边1 ，122 34右边 ，等式成立.2 122 34(2)假设当 n k (kN *， k2)时，等式成立，即 (114)(1 19) (1 1k2) k 12k则当 n k1 时，(114)(1 19)(1 116) (1 1k2)1 1（ k 1） 2 ，k 12k1 1（ k 1） 2 k 12k k2 2k（ k 1） 2 k 22（ k 1）即 n
9、 k1 时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数 n(n2)，原等式成立.知识点 2 用数学归纳法证明不等式5【例 3】 用数学归纳法证明：1 2 的自然数 n 都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与 k 取什么值无关D.以上答案都不对解析 由题意 n2 时成立可推得 n4，6，8都成立，因此所有正偶数都成立，故选 B.答案 B3.某个与正整数 n 有关的命题，如果当 n k (kN *且 k1)时该命题成立，则一定可推得当 n k1 时该命题也成立，现已知 n5 时该命题不成立，那么应有( )A.当 n4 时该命题成立 B.当 n6 时该命题成立C.当 n4 时该命
10、题不成立 D.当 n6 时该命题不成立答案 C4.在数列 an中， a1 ，且 Sn n(2n1) an.通过求 a2， a3， a4猜想 an的表达式是13_.解析 a22(221) a2， a2 ，13 115 a33(231) a3， a3 ，13 115 1358 a44(241) a4， a4 ，13 115 135 163猜想 an .1（ 2n） 2 1答案 an1（ 2n） 2 15.观察下列等式11，358，791127，1315171964，请猜想第 n 个等式是_.答案 ( n2 n1)( n2 n3) n2 n(2 n1) n36.求证： (n2， nN *).1n 1
11、 1n 2 13n56证明 (1)当 n2 时，左边 ，不等式成立.13 14 15 1656(2)假设 n k (k2， kN *)时命题成立，即 ，1k 1 1k 2 13k56则当 n k1 时， 1（ k 1） 1 1（ k 1） 2 13k 13k 1 13k 2 13（ k 1） 1k 1 1k 2 13k( 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1) 56 ( 13k 1 13k 2 13k 3 1k 1) ，56 (3 13k 3 1k 1) 56所以当 n k1 时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2， nN *均成立.综合提高7.用数学归纳法证明：“1
12、 a a2 an1 (a1)”在验证 n1 时，左端计1 an 21 a算所得的项为( )A.1 B.1 a9C.1 a a2 D.1 a a2 a3解析 当 n1 时， an1 a2，左边应为 1 a a2，故选 C.答案 C8.已知 f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的 k，若 f(k) k2成立，则f(k1)( k1) 2成立，下列命题成立的是( )A.若 f(3)9 成立，则对于任意的 k1，均有 f(k) k2成立B.若 f(4)16 成立，则对于任意的 k4，均有 f(k)k2成立C.若 f(7)49 成立，则对于任意的 k7，均有 f(k)k2成立D.若 f(4)
13、16 成立，则对于任意的 k4，均有 f(k) k2成立答案 D9.用数学归纳法证明“ n35 n 能被 6 整除”的过程中，当 n k1 时，对式子( k1)35( k1)应变形为_.答案 ( k35 k)3 k(k1)610.用数学归纳法证明：设 f(m)1 ，则 n f(1) f(2) f(n1)12 13 1n nf(n)(nN 且 n2)，第一步要证的等式是_.答案 2 f(1)2 f(2)11.求证： .112 134 1（ 2n 1） 2n 1n 1 1n 2 1n n证明 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ，等式成立.112 12 12(2)假设当 n k 时，等式成立，即 1
14、12 134 1（ 2k 1） 2k .1k 1 1k 2 12k则当 n k1 时， 112 134 1（ 2k 1） 2k 1（ 2k 1） （ 2k 2） 1k 1 1k 2 12k 1（ 2k 1） （ 2k 2） 1k 2 1k 3 12k ( 12k 1 12k 2) 1k 110 1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2 ，1（ k 1） 1 1（ k 1） 2 1（ k 1） k 1（ k 1） （ k 1）即当 n k1 时，等式成立.根据(1)(2)可知，对一切 nN *，等式成立.12.用数学归纳法证明：当 nN *时，(123 n) n2.(112 13 1n
15、)证明 (1)当 n1 时，左边1，右边1 21，左边右边，不等式成立.(2)假设 n k (k1， kN *)时不等式成立，即(123 k) k2，(112 13 1k)则当 n k1 时，左边(12 k)( k1)(1 12 13 1k) 1k 1(123 k) (123 k) ( k1)(112 13 1k) 1k 11(112 13 1k) k2 ( k1) 1k（ k 1）2 1k 1 (1 12 13 1k) k2 1( k1) ，k2 (1 12 13 1k)当 k2 时，1 1 ，12 13 1k 12 32左边 k2 1( k1)k2 32 k22 k1 ( k1) 2.32这就是说，当 n k1 时，不等式成立.由(1)(2)知，当 nN *时，不等式成立.
