1、13.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.自学导引1.贝努利不等式：设 x1，且 x0， n 为大于 1 的自然数，则(1 x)n1 nx.2.设 为有理数， x1，如果 01，则(1 x) 1 x ，当且仅当 x0 时等号成立.基础自测1.若不等式 n2成立的条件是( )A.nN B.n4C.n4 D.n1 或 n4解析 n4，2 44 21
2、6， n1 时，21，n5，2 532，5 225，当 n4 时，2 nn2成立，故选 D.答案 D23.已知 a， b， cR， a b c0， abc0， T ，则 T 与 0 的关系是_.1a 1b 1c解析 a b c0，( a b c)2 a2 b2 c22 ab2 bc2 ac0，即 2ab2 bc2 ac( a2 b2 c2)0，上述不等式两边同时除以 2abc，得 T 0，若 a1 an，则 a1 a2 an，此时原不等式中等号成立.设 ana1 (n2).(1)n2 时，由基本不等式 ，a1 a22 a1a2所以命题对 n2 成立.(2)设 n k 时，不等式成立，即 .a1
3、 a2 akk ka1a2ak记 Ak ，所以有：( Ak)k a1a2ak.a1 a2 akk当 n k1 时，因为 ak1 a1， ak1 a2， ak1 a3， ak1 ak，所以 ak1 Akkak 1 （ a1 a2 ak）k 0，（ ak 1 a1） （ ak 1 a2） （ ak 1 ak）k则有 ak1 Ak.根据二项式定理及归纳假设得：(a1 a2 ak 1k 1 )k 1 (kAk ak 1k 1 )k 1 (Akak 1 Akk 1 )k 1 ( Ak)k1 ( k1)( Ak)k (ak 1 Akk 1 ) (ak 1 Akk 1 )k 1 (Ak)k1 ( Ak)k(
4、ak1 Ak)( Ak)k1 ( Ak)kak1 ( Ak)k1( Ak)kak1 a1a2akak1 .4即 .a1 a2 ak 1k 1 k 1a1a2ak 1由(1)(2)知，对任意的 nN *命题都成立.反思感悟：用数学归纳法证明不等式的第二步，设 n k 时命题成立，证 n k1 时命题也成立时，往往要通过放缩法来实现 n k1 时命题所需要的形式.2.证明：如果 n(n 为正整数)个正数 a1， a2， an的乘积 a1a2an1，那么它们的和a1 a2 an n.证明 (1)当 n1 时， a11，命题成立.(2)假设当 n k 时，命题成立.即若 k 个正数的乘积 a1a2ak
5、1，则 a1 a2 ak k.当 n k1 时，已知 k1 个正数 a1， a2， ak， ak1 满足条件 a1a2ak1 1.若这 k1 个正数 a1， a2， ak， ak1 都相等，则它们都是 1，其和为 k1，命题得证.若这 k1 个正数 a1， a2， ak， ak1 不全相等，则其中必有大于 1 的数也有小于 1 的数(否则与 a1a2ak1 1 矛盾).不妨设 a11， a21， a20 a1 a2 ak ak1 k10，即 a1 a2 ak ak1 k1，当 n k1 时命题成立由(1)(2)可知，对一切正整数 n，如果 n 个正数 a1， a2， an的乘积 a1a2an1
6、，那么它们的和 a1 a2 an n 成立.知识点 3 用数学归纳法证明柯西不等式5【例 3】 证明：| a1b1 a2b2 anbn| . 证明 (1)当 n2 时，因为| a1b1 a2b2|2( a a )(b b )21 2 21 2( a1b1 a2b2)2( a a )(b b )21 2 21 2 a b 2 a1b1a2b2 a b ( a b a b a b a b )2121 22 2121 22 212 221( a b 2 a1b1a2b2 a b )212 221( a1b2 a2b1)20.所以| a1b1 a2b2|2( a a )(b b ).21 2 21 2
7、即| a1b1 a2b2| .也即 n2 时，柯西不等式成立.(2)设 n k (k2)时，|a1b1 a2b2 akbk| .则当 n k1 时，由三角不等式及归纳假设，得：| a1b1 a2b2 ak1 bk1 | a1b1 a2b2 akbk| ak1 bk1 | | ak1 bk1 | .由(1)(2)知柯西不等式得证.反思感悟：用数学归纳法证明不等式，难点不在于数学归纳法的原理，而在于如何变形.放缩以便于用上假设，再经过变形运算使命题得证.3.已知 a， b 为正数，求证：当 n 为正整数时， .an bn2 (a b2 )n 证明 (1)当 n1 时， ，命题成立.a b2 a b
8、2(2)设 n k (k1)时，命题成立，6即 ，ak bk2 (a b2 )k 当 n k1 时， (a b2 )k 1 (a b2 )k (a b2 ) ，要证 ，ak bk2 a b2 (a b2 )k 1 ak 1 bk 12只须证 即可，ak bk2 a b2 ak 1 bk 12由 ak 1 bk 12 （ ak bk） （ a b）42ak 1 2bk 1 （ ak 1 bka akb bk 1）4 ak 1 bk 1 bka akb4 ak（ a b） bk（ b a）4 0.（ a b） （ ak bk）4 .ak bk2 a b2 ak 1 bk 12即 n k1 时，命题
9、成立.由(1)，(2)可知，对任意的 nN *命题都成立.知识点 4 用数学归纳法证明贝努利不等式【例 4】 设 x1，且 x0， n 为大于 1 的自然数，则(1 x)n1 nx.证明 (1)当 n2 时，由 x0，知(1 x)212 x x212 x，因此 n2 时命题成立.(2)假设 n k(k2 为正整数)时命题成立，即(1 x)k1 kx，则当 n k1 时，(1 x)k1 (1 x)k(1 x)(1 kx)(1 x)1 x kx kx21( k1) x.即 n k1 时，命题也成立.由(1)，(2)及数学归纳法知原命题成立.反思感悟：(1)在证明过程中适当放缩或采用多种方法去尝试.
10、(2)要注意记忆这种形式.74.设 x1， x0，证明： 1 ，对一切不小于 2 的正整数 n 都成立.(1x1 x)n nx1 x证明 x1，(1)当 x0 时，0|x|，|x1 x| x01，x1 x x1 x因此，当 x1， x0 时， 1，且 0，x1 x x1 x由贝努利不等式得： (1x1 x)n 1 ( x1 x)n 1 n 1 .(x1 x) nx1 x课堂小结数学归纳法能证明与正整数 n 有关的不等式，但并不是所有与正整数 n 有关的不等式都能用数学归纳法证明.证明不等式的难点在于对命题的变形.在推证 n k1 命题成立时，往往利用放缩法通过增加一些项(或舍去一些项)或利用二
11、项式定理后舍去一些项达到满足n k1 时所需要的形式.有时也会利用比较法证明 n k1 时命题成立.随堂演练1.若 an (nN *)，求证： k（ k 1）2 （ k 1） （ k 2） ( k1) ，k（ k 1）2 （ k 1） （ k 2）2又 ak1 ak （ k 1） （ k 2）.(113)(1 15)(1 17) (1 12n 1) 2n 12证明 (1)当 n2 时，左边 ，43 169 6436右边 ，52 54 4536所以左边右边，故命题对 n2 成立.(2)设命题对 n k (k2)成立，也就是： .(113)(1 15)(1 17) (1 12k 1) 2k 12当
12、 n k1 时，(113)(1 15)(1 17) (1 12k 1)(1 12k 1) 2k 12 2k 22k 1 2k 222k 1 .2k 32k 122k 1 2k 32 2（ k 1） 12当 n k1 时，命题也成立.由(1)、(2)知命题对任何不小于 2 的正整数 n 都成立.基础达标1.利用数学归纳法证明不等式“ n2 成立时，起始值 n0至少应取( )12 14 12n 1127649A.7 B.8C.9 D.10解析 1 ，12 14 18 116 164 12764n16， n7，故 n08.答案 B3.已知 xR ，不等式 x 2， x 3，可推广为 x n1，则 a
13、 的值为( )1x 4x2 axnA.2n B.n2C.22(n1) D.nn答案 D4.用数学归纳法证明：1 1)，第一步要证明的不等式是12 13 12n 1_.答案 n2 时，左边1 1 (n1， nN *).1n 1n 1 1n 2 1n2证明 (1)当 n2 时， 1，12 13 14 6 4 312 1312即 n2 时命题成立. (2)设 n k (k2)时，命题成立，即 1，1k 1k 1 1k 2 1k2当 n k1 时，左边 1k 1 1k2 ( 1k2 1 1（ k 1） 2)1(2 k1) 1 .1（ k 1） 2 1k k2 k 1k（ k 1） 2 k2，令 f(k
14、) k2 k1，对称轴为 k ，12(2，)为 t 的增区间， f(k)f(2)，即 k2 k12 2211，10 0， n k1 时，命题也成立.k2 k 1k（ k 1） 2由(1)(2)知，当 n1 时， nN *命题都成立.综合提高7.用数学归纳法证明不等式 (n2)的过程中，由 n k 递推到1n 1 1n 2 12n12n k1 时不等式左边( )A.增加了12（ k 1）B.增加了 12k 1 12k 2C.增加了 但减少了12k 1 12k 2 1k 1D.以上各种情况均不对解析 由 n k 到 n k1，左边多了 ，但却少了 .故选 C.12k 1 12k 2 1k 1答案
15、C8.用数学归纳法证明“1 1)”时，由 n k(k1)不等式成12 13 12n 1立，推证 n k1 时，左边应增加的项数是( )A.2k1 B.2k1C.2k D.2k1解析 由 n k 到 n k1，应增加的项数为(2 k1 1)(2 k1)2 k1 2 k项.故选 C.答案 C9.用数学归纳法证明“对于任意 x0 和正整数 n，都有xn xn2 xn4 ”时，需验证的使命题成立的最小正整数值 n 应为1xn 4 1xn 2 1xn_.答案 110.用数学归纳法证明“ Sn 1(nN )”时， S1等于1n 1 1n 2 1n 3 13n 1_.答案 12 13 1411.用数学归纳法
16、证明： k 1 k1（ k 1） （ k 2） 1k 1 k 1（ k 1） （ k 2） （ k 1） （ k 2） k 1 k ( 1) .k 1 k 2 k由于 k2，上式显然成立.即 n k1 时，不等式成立.由(1)、(2)知，不等式对 nN *都成立. 12.已知等差数列 an，等比数列 bn，若 a1 b1， a2 b2， a1 a2，且对所有的自然数 n 恒有 an0，求证：当 n2 时， an0，故 an是递增数列，an公差 d a2 a1， bn公比 q .b2b1 a2a1当 n2 时， an0.（ a2 a1） 2a1故原不等式成立.(2)假设 n k (k3)时，不等式成立，即 akak ak( a2 a1)a2a1 a2a1 0.即 bk1 ak1 .（ ak a1） （ a2 a1）a1即 n k1 时，命题也成立，由(1)(2)可知，当 n2 时， anbn均成立.
