1、1第三章 数学归纳法与贝努利不等式本章复习课1.理解数学归纳法原理，会用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性问题和几何问题.2.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式和贝努利不等式，会用贝努利不等式证明有关的简单问题.知识结构数 学 归 纳 法|证 明 不 等 式 | 均 值 不 等 式柯 西 不 等 式贝 努 利 不 等 式其 它 不 等 式 )等 式几 何 问 题整 除 问 题 )知识梳理1.数学归纳法及其原理数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法.即先证明当 n 取第一个值n0(例如 n01)时命题成立，然后假设当 n k (kN *， k n0
2、)时命题成立，证明当 n k1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.2.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基) n n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设 n k 时，结论成立，推得n k1 时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.3.运用数学归纳法时易犯的错误(1)对项数估算的错误，特别是寻找 n k 与 n k1 的关系时，项数发生什么变化被弄错.(2)没有利用归纳假设.(3)关键步骤含糊不清，“假设 n k 时结论成立，利用此假设证明 n k
3、1 时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.典例剖析知识点 1 归纳、猜想、证明问题2【例 1】 已知 x 2cos ，1x(1)计算 x2 及 x3 的值；1x2 1x3(2)归纳出 xn (nN *)的值，再用数学归纳法证明.1xn解 (1) x2 21x2 (x 1x)2 2 2cos2 22(2cos 2 1)2cos 2 x3 3 ，1x3 (x 1x)3 (x 1x)8cos 3 32cos 2cos 3 .(2)由(1)猜想 xn 2cos n (nN *)1xn证明：当 n1，2 时，由(1)已
4、证假设 n k 及 n k1 时，命题成立，即 xk 2cos k ，1xkxk1 2cos( k1) (k2， kN *)1xk 1则 n k1 时， xk1 1xk 1 (xk1xk)(x 1k) (xk 1 1xk 1)4cos k cos 2cos( k1) 2cos( k1) cos( k1) 2cos( k1) 2cos( k1) 当 n k1 时，命题也成立，由、知，对一切 nN *都有 xn 2cos n .1xn知识点 2 探索性问题【例 2】 是否存在常数 a， b， c 使得等式 12223 2 n(n1)2 (an2 bn c)对一切 nN *都成立？并证明你的结论.n
5、（ n 1）12解 假设存在符合题意的常数 a， b， c，在等式 12223 2 n(n1) 2 (an2 bn c)中，n（ n 1）12令 n1，得 4 (a b c) 163令 n2，得 22 (4a2 b c) 12令 n3，得 709 a3 b c 由解得 a3， b11， c10，于是，对于 n1，2，3，都有12223 2 n(n1) 2 (3n211 n10) (*)成立.n（ n 1）12下面用数学归纳法证明：对于一切正整数 n，(*)式都成立.假设 n k 时，(*)成立，即 12223 2 k(k1) 2 (3k211 k10)，k（ k 1）12那么 12223 2
6、k(k1) 2( k1)( k2) 2 (3k211 k10)( k1)( k2) 2k（ k 1）12 (3k25 k12 k24)（ k 1） （ k 2）12 3(k1) 211( k1)10，（ k 1） （ k 2）12由此可知，当 n k1 时，(*)式也成立.综上所述，当 a3， b11， c10 时题设的等式对于一切nN *都成立.知识点 3 与数列通项有关的归纳、猜想、证明【例 3】 设数列 an满足 an1 a nan1， nN *.2n(1)当 a12 时，求 a2， a3， a4，并由此猜想 an的一个通项公式；(2)当 a13 时，证明对所有 n1 有 an n2；
7、.11 a1 11 a2 11 an 12(1)解 由 a12， an1 a nan1 得：2na2 a a113， a3 a 2 a21421 2a4 a 3 a31523由此可推测数列 an的一个通项公式是 an n1.(2)证明 当 n1 时， a1312，不等式成立.4假设 n k 时，不等式成立，即 ak k2当 n k1 时， ak1 a kak1 ak(ak k)12k( k2)( k2 k)12 k5 k3即 ak1 ( k1)2，因此不等式成立. an n2 对于 nN *都成立.由 an1 a nan1 及(1)知2n当 k2 时， ak a ( k1) ak1 12k 1
8、 ak1 (ak1 k1)1 ak1 (k12 k1)12 ak1 1ak12( ak1 1)，即 2ak 1ak 1 1 ak12 k1 (a11)， (k2)11 ak 11 a1 12k 1 11 a1 11 a2 11 an11 a1(1 12 122 12n 1) .21 a1(1 12n) 21 a1 12知识点 4 用数学归纳法证明三角等式【例 4】 用数学归纳法证明tan tan 2 tan 2 tan 3 tan( n1) tan n n tan ntan (n2， nN *).证明 (1)当 n2 时，左边tan 2tan 1 tan2 2tan21 tan2右边 2 2
9、，等式成立.tan 2tan 2tan （ 1 tan2 ） tan 2tan21 tan2(2)假设当 n k 时( k2， kN *)等式成立，即tan tan 2 tan 2 tan 3 tan( k1) tan k ktan ktan 则当 n k1 时，tan tan 2 tan 2 tan 3 tan( k1) tan k tan k tan(k1)5 ktan k tan(k1) (*)tan ktan 由 tan tan( k1) k tan（ k 1） tan k1 tan（ k 1） tan k得 tan k tan(k1) 1.tan（ k 1） tan ktan 代入(
10、*)式，得右边 k 1tan ktan tan（ k 1） tan ktan ( k1)，tan（ k 1） tan 即 tan tan 2 tan 2 tan 3 tan( k1) tan k tan k tan(k1) ( k1).tan（ k 1） tan 这就是说，当 n k1 时等式成立.根据(1)(2)可知，对任意 n2， nN *，等式成立基础达标1.如果命题 P(n)对 n k 成立，则它对 n k2 亦成立，又若 P(n)对 n2 成立，则下列结论正确的是( )A.P(n)对所有的正整数 n 成立B.P(n)对所有的正偶整数 n 成立C.P(n)对所有正奇整数 n 成立D.P
11、(n)对所有比 1 大的自然数 n 成立答案 B2.利用数学归纳法证明 (n2， nN )的过程中，由 n k 递推到1n 1 1n 2 12n1324n k1 时，不等式的左边( )A.增加了一项12（ k 1）B.增加了两项 和12k 1 12（ k 1）C.增加了一项 ，并减少了12k 2 1k 1D.增加了两项 和 ，并减少了12k 1 12k 2 1k 1答案 D63.用数学归纳法证明 cos cos 3 cos(2 n1)12 (kZ *， k， nN )，在验证 n1 时，左边计算所得的sin2n 12 cos2n 12 sin 项是( ) A. B. cos 12 12C. c
12、os cos 3 D.cos 12答案 B4.平面上有 n 条直线，其中任意三条不平行，任意两条不共线，则这 n 条直线把平面分成_个部分.答案 1n（ n 1）25.已知 f(n)1 (nN )，用数学归纳法证明 f(2n) 时， f(2k1 ) f(2k)12 13 1n n2_.答案 12k 1 12k 2 12k 16.nN，求证：46 n5 n1 9 能被 20 整除.证明 (1)当 n1 时，46 n5 n1 940，能被 20 整除，即 n1 时命题成立.(2)设 n k 时命题成立，即 46k5 k1 9 能被 20 整除.设 46k5 k1 920 m(m 为整数).920
13、m46 k5 k1 .46 k1 5 k2 946 k1 5 k2 20 m46 k5 k120(6 k5 k m)，46 k1 5 k2 9 能被 20 整除.当 n k1 时，命题成立.由(1)、(2)，知对 nN，命题成立.综合提高7.对于不等式 n1( nN )，某学生用数学归纳法证明过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立；12 1(2)假设 n k(kN )时不等式成立，即 0，即 x0 时， f(x)单调递减；故 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，).当 x0 时， f(x)f(0)0，即 1 xex.令 x ，得 1 e ，即 e. 1n 1
14、n 1n (1 1n)n (2)解 1 112；b1a1 (1 11)1 22 (21) 23 2；b1b2a1a2 b1a1 b2a2 (1 12)2 3 23 (31) 34 3.b1b2b3a1a2a3 b1b2a1a2 b3a3 (1 13)3 由此推测： ( n1) n. b1b2bna1a2an下面用数学归纳法证明.()当 n1 时，左边右边2，成立.9()假设当 n k(k1， kN )时，成立，即 ( k1) k.b1b2bka1a2ak当 n k1 时， bk1 ( k1) ak1 ，由归纳假设可得(11k 1)k 1 b1b2bkbk 1a1a2akak 1 b1b2bka
15、1a2ak bk 1ak 1( k1) k(k1) ( k2) k1 .(11k 1)k 1 所以当 n k1 时，也成立.根据()()，可知对一切正整数 n 都成立.(3)证明 由 cn的定义，均值不等式(推广)， bn的定义及得Tn c1 c2 c3 cn( a1) ( a1a2) ( a1a2a3) ( a1a2an)11 12 13 1n （ b1） 112（ b1b2） 123（ b1b2b3） 134（ b1b2bn） 1nn 1 b112 b1 b223 b1 b2 b334 b1 b2 bnn（ n 1） b1 b2112 123 1n（ n 1） 123 134 )Error! bn1n（ n 1） b1 b2 bn(11n 1) (12 1n 1) (1n 1n 1) a1 a2b11 b22 bnn (1 11)1 (1 12)2 anea1e a2e ane Sn.(11n)n 即 TneSn.
