1、13.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入(一)学习目标 1.了解引入虚数单位 i 的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程 x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程 x210 在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x210 的根，即 ii1，方程 x210 有解，同时得到一些新数梳理 (1)复数的概念设 a， b 都是实数，形如 a bi 的数叫做复数(2)复数的表示复数通常用小写
2、字母 z 表示，即 z a bi(a， bR)，其中 a 叫做复数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部，i 称作虚数单位知识点二 复数的分类与复数相等的充要条件思考 1 复数 z a bi(a， bR)，当 b0 时， z 是什么数？答案 实数思考 2 复数 z a bi(a， bR)，当 a0 且 b0 时， z 是什么数？答案 纯虚数梳理 (1)复数的分类复数( a bi， a， bR)Error!集合表示：(2)复数相等的充要条件如果 a， b， c， d 都是实数，那么 a bi c dia c，且 b d； a bi0 a0，且b0.21若 a， b 为实数，则 z a bi 为
3、虚数( )2复数 z bi 是纯虚数( )3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等( )类型一 复数的概念与分类例 1 当实数 m 满足什么条件时，复数 lg(m22 m7)( m25 m6)i：(1)是纯虚数；(2)是实数；(3)是虚数解 (1)当Error!时，复数 lg(m22 m7)( m25 m6)i 是纯虚数，解得 m4.(2)当Error! 时，复数 lg(m22 m7)( m25 m6)i 是实数，解得 m2 或 m3.(3)当Error! 时，复数 lg(m22 m7)( m25 m6)i 是虚数，解得 m122且 m2 且 m3.2反思与感悟 利用复数
4、的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为 0.跟踪训练 1 实数 m 为何值时，复数 z ( m22 m3)i 分别是(1)实数；(2)虚数；mm 2m 1(3)纯虚数解 (1)要使 z 是实数， m 需满足 m22 m30，且 有意义，mm 2m 1即 m10，解得 m3.(2)要使 z 是虚数， m 需满足 m22 m30，且 有意义，mm 2m 1即 m10，解得 m1 且 m3.(3)要使 z 是纯虚数， m 需满足 0， m10，mm 2m 1且 m22 m30，解得 m0 或 m2.
5、类型二 复数相等例 2 (1)已知 x2 y22 xyi2i，求实数 x， y 的值；(2)关于 x 的方程 3x2 x1(10 x2 x2)i 有实根，求实数 a 的值a23解 (1) x2 y22 xyi2i，Error!解得Error! 或Error!(2)设方程的实数根为 x m，则原方程可变为3m2 m1(10 m2 m2)i，a2Error!解得 a11 或 a .715反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练 2 已知 M1，( m22 m)( m2 m2)i， P1,1,4i，若 M
6、P P，求实数m 的值解 M P P， MP，( m22 m)( m2 m2)i1 或( m22 m)( m2 m2)i4i.由( m22 m)( m2 m2)i1，得Error!解得 m1；由( m22 m)( m2 m2)i4i，得Error!解得 m2.综上可知 m1 或 m2.1下列复数中，满足方程 x220 的是( )A1 BiC i D2i2答案 C2若( x21)( x23 x2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是( )A1 B1C1 D以上都不对答案 A解析 因为( x21)( x23 x2)i 是纯虚数，所以 x210 且 x23 x20，解得x1，故选 A.3下列几个命题：两
7、个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；4两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1 ai(aR)是一个复数；虚数的平方不小于 0；1 的平方根只有一个，即为i；i 是方程 x410 的一个根； i 是一个无理数2其中真命题的个数为( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 命题正确，错误4复数 43 a a2i 与复数 a24 ai 相等，则实数 a_.答案 4解析 根据复数相等的充要条件，有Error!解得 a4.5以 2i 的虚部为实部，以 i2i 2的实部为虚部的新复数是_5答案 22i解析 2i 的虚部为 2，i2i 22i，其实部为2.5新复数 z22i.1区分实数、虚数、
8、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数 bi(b0， bR)不要只记形式，要注意 b0.2应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解3若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数.一、选择题1设 a， bR， “a0”是“复数 a bi 是纯虚数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 B5解析 因为 a， bR，当“ a0”时“复数 a bi 不一定是纯虚数，也可能 b0，即a bi0R” 而当“复数 a bi 是纯虚数”
9、 ，则“ a0”一定成立所以 a， bR， “a0”是“复数 a bi 是纯虚数”的必要不充分条件2下列命题中，真命题的个数是( )若 x， yC，则 x yi1i 的充要条件是 x y1； 若 a， bR 且 ab，则ai bi；若 x2 y20，则 x y0.A0 B1 C2 D3答案 A解析 对于，由于 x， yC，所以 x， y 不一定是 x yi 的实部和虚部，故是假命题；对于，由于两个虚数不能比较大小，故是假命题；是假命题，如 12i 20，但10，i0.3已知复数 z113i 的实部与复数 z21 ai 的虚部相等，则实数 a 等于( )A3 B3 C1 D1答案 C4若 sin
10、 2 1i( cos 1)是纯虚数，则 的值为( )2A2 k (kZ) B2 k (kZ) 4 4C2 k (kZ) D. (kZ) 4 k2 4考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 由题意，得Error!解得Error! (kZ)， 2 k ， kZ. 45若( x y)i x1( x， yR)，则 2x y的值为( )A. B2 C0 D112答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得 Error! x y0.2 x y2 01.6若复数 z i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan 的值为(cos 45) (sin 35) ( 4)6( )A7 B17C
11、7 D7 或17答案 C解析 复数 z i 是纯虚数，cos 0，sin (cos 45) (sin 35) 45 0，sin ，tan ，则 tan 7.35 35 34 ( 4) tan 11 tan 34 11 347已知关于 x 的方程 x2( m2i) x22i0( mR)有实数根 n，且 z m ni，则复数 z等于( )A3i B3iC3i D3i考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由题意知 n2( m2i) n22i0，即Error! 解得Error! z3i，故选 B.二、填空题8设 mR， m2 m2( m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m_.答
12、案 2解析 由题意可得Error!解得 m2.9若复数 z m2 m2( m2 m2)i 为实数，则实数 m 的值为_答案 2 或1解析 复数 z m2 m2( m2 m2)i 为实数， m2 m20，解得 m2 或 m1.10复数 z( a22 a3)(| a2|1)i 不是纯虚数，则实数 a 的取值范围是_答案 (，1)(1，)解析 若复数 z( a22 a3)(| a2|1)i 是纯虚数，则a22 a30，| a2|10，解得 a1，当 a1 时，复数 z( a22 a3)(| a2|1)i 不是纯虚数711已知 z1( m2 m1)( m2 m4)i， mR， z232i.则 m1 是 z1 z2的_条件考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 充分不必要解析 当 z1 z2时，必有 m2 m13， m2 m42，解得 m2 或 m1，显然 m1是 z1 z2的充分不必要条件12已知 1log(m n)( m23 m)i1，且 mR， nN ，则 m n_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得12log(),30.mn由，得 m0 或 m3. 当 m0 时，由 12log(m n)1，得 0 a23 a20，解得 a1 或 az2的 m 值的集合是什么？使 z1z2时， m 值的集合为空集；当 z1z2时， m 值的集合为0
