1、1第三章 数系的扩充与复数的引入滚动训练三(3.13.2)一、选择题1欧拉公式 eixcos xisin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知，e 2i表示的复数在复平面中位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 e 2icos 2isin 2，由于 0，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选 B.2若| z1| z1|，则复数 z 对应的点在( )A实轴上 B虚轴上C
2、第一象限 D第二象限考点 复数的几何意义题点 复数与点的对应关系答案 B解析 | z1| z1|，点 Z 到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点 Z 在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上3已知 i 是虚数单位， a， bR，则“ a b1”是“( a bi)22i”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 当“ a b1”时， “(a bi)2(1i) 22i”成立，故“ a b1”是“( a bi)22i”的充分条件；当“( a bi)2 a2 b22 abi2i”时，2“
3、a b1”或“ a b1” ，故“ a b1”是“( a bi)22i”的不必要条件；综上所述， “a b1”是“( a bi)22i”的充分不必要条件4设复数 z ，则 z 等于( )2 1 i zA1 B. 2C2 D4考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 z 2 1 i 1 i 1 i 2 2i21i， 1i， z (1i)(1i)2.z z5若复数 z 满足 z(i1) ，则复数 z 的虚部为( )2i 1A1 B0Ci D1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 B解析 z(i1) ，2i 1 z 1，2i 1i 1 2 2 z 的虚部
4、为 0.6已知复数 z1 ai(aR)(i 是虚数单位)， i，则 a 等于( )zz 35 45A2 B2C2 D12考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 B解析 由题意可得 i，1 ai1 ai 35 453即 i i，1 ai21 a2 1 a2 2ai1 a2 1 a21 a2 2a1 a2 35 45 ， ， a2，故选 B.1 a21 a2 35 2a1 a2 457设 z1， z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A若| z1 z2|0，则 1 2z zB若 z1 2，则 1 z2z zC若| z1| z2|，则 z1 1 z2 2z zD若| z1|
5、 z2|，则 z z21 2考点 共轭复数的定义及应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 D解析 对于 A，若| z1 z2|0，则 z1 z20， z1 z2，所以 1 2为真；z z对于 B，若 z1 2，则 z1和 z2互为共轭复数，z所以 1 z2为真；z对于 C，设 z1 a1 b1i， z2 a2 b2i(a1， b1， a2， b2R)，若| z1| z2|，则 ， z1 1 a b ， z2 2 a b ，a21 b21 a2 b2 z 21 21 z 2 2所以 z1 1 z2 2为真；z z对于 D，若 z11， z2i，则| z1| z2|为真，而 z 1， z 1，所以
6、 z z 为假故21 2 21 2选 D.二、填空题8已知 z 是纯虚数， 是实数，那么 z_.z 21 i考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2i解析 设 z bi(bR， b0)，则 z 21 i bi 21 i bi 21 i1 i1 i 2 b b 2i2 2 b2i 是实数，b 22所以 b20， b2，所以 z2i.9复数 z 满足(34i) z510i，则| z|_.考点 复数的模的定义与应用题点 利用定义求复数的模4答案 5解析 由(34i) z510i 知，|34i| z|510i|，即 5|z|5 ，解得| z| .5 510设复数 z1i， z
7、2 ， z z1 z2，则 z 在复平面内对应的点位于第_象2 3i|3 4i|限考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的几何意义答案 一解析 z2 i， z1i ，2 3i|3 4i| 2 3i32 42 2 3i5 25 35则 z z1 z2i i i.25 35 25 25 z 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限(25， 25)11已 知 复 数 z (2a i)(1 bi)的 实 部 为 2， i 是 虚 数 单 位 ， 其 中 a， b 为 正 实 数 ， 则4a 1 b的最小值为_(12)考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2 2解析
8、 复数 z(2 ai)(1 bi)2 a b(12 ab)i 的实部为 2，其中 a， b 为正实数，2 a b2， b22 a.则 4a 1 b4 a2 12 a4 a(12) 24a2 2 ，4a24a 2当且仅当 a ， b 时取等号14 32三、解答题12计算：(1) ； 1 i2 ii3(2) ；1 2i2 31 i2 i(3) ；1 i1 i2 1 i1 i25(4) .1 3i3 i2考点 复数四则运算的综合运算题点 复数的混合运算解 (1) 1 i2 ii3 13i. 3 i i 3 ii ii(2)1 2i2 31 i2 i 3 4i 3 3i2 i i2 i i.i2 i5
9、 15 25(3) 1 i1 i2 1 i1 i2 1.1 i2i 1 i 2i 1 i 2 1 i2(4) 1 3i3 i2 3 i i3 i2 i3 i i. i3 i4 14 3413复数 z 满足| z3 i| ，求| z|的最大值和最小值3 3考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积解 方法一 | z3 i| z|3 i|，3 3又| z3 i| ，3 3|3 i| 2 ，3 12 3| z|2 | ，3 3即 | z|3 ，3 3| z|的最大值为 3 ，最小值为 .3 3方法二 | z3 i| 表示以3 i 对应的点 P 为圆心，以 为半径的圆，如图所示
10、，3 3 3 36则| OP|3 i| 2 ，3 12 3显然| z|max| OA| OP| 3 ，3 3|z|min| OB| OP| .3 3四、探究与拓展14设复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，则 y x 的概率为( )A. B. 34 12 12 1C. D. 14 12 12 1考点 复数的几何意义的综合应用题点 利用几何意义解决距离、角、面积答案 C解析 复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1 为半径的圆以及内部部分y x 的图形是图形中阴影部分，如图，复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1，则 y x 的概率为 .14 1211 14 1215设 z 是虚数， w z 是实数，且1 w2，求| z|的值及 z 的实部的取值范围1z解 z 是虚数，可设 z x yi(x， yR 且 y0)，则 w z x yi1z 1x yi x yix yix2 y2 i.(xxx2 y2) (y yx2 y2) w 是实数且 y0，7 y 0，yx2 y2即 x2 y21，| z|1，此时 w2 x.由1 w2，得12 x2， x1，即 z 的实部的取值范围是 .12 ( 12， 1)
