1、1第一课时 椭圆的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法 题号椭圆的简单几何性质 1,2求椭圆的标准方程 3,9椭圆的离心率 4,7,10综合问题 5,6,8,11,12,13【基础巩固】1.椭圆 6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( D )(A)(-1,0),(1,0) (B)(-6,0),(6,0)(C)(- ,0),( ,0) (D)(0,- ),(0, )解析:因为椭圆的焦点在 y轴上,且 a2=6,所以长轴的两个端点坐标为(0,- ),(0, ).故选 D.2.椭圆 + =1和 + =k(k0)具有( D )(A)相同的长轴 (B)相同的焦点(C)相同的顶点 (D)相同的离心率解析:
2、椭圆 + =1和 + =k(k0)中,不妨设 ab,椭圆 + =1的离心率 e1= ,椭圆 + =1(k0)的离心率 e2= = .故选 D.3.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( B )(A) + =1(B) + =1或 + =1(C) + =12(D) + =1或 + =1解析:因为 a=4,e= ,所以 c=3.所以 b2=a2-c2=16-9=7.所以椭圆的标准方程是 + =1或 + =1.故选 B.4.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为( B )(A) (B) (C) (D)解析:因为 2x2+3y2=m(m0) + =1,所以
3、c2= - = .所以 e2= .故选 B.5.(2018衡水周测)若 AB为过椭圆 + =1中心的线段,F 1为椭圆的焦点,则F 1AB面积的最大值为( B )(A)6 (B)12 (C)24 (D)48解析:如图, = + =2 .又因为 OF1=c=3为定值,所以点 A与(0,4)重合时,OF 1边上的高最大,此时AOF 1的面积最大为 43=6.所以 的最大值为 12.故选 B.36.(2018昆明质检)椭圆 + =1上的点到直线 x+2y- =0的最大距离是( D )(A)3 (B) (C)2 (D)解析:设与直线 x+2y- =0平行的直线为 x+2y+m=0与椭圆联立得,(-2y
4、-m)2+4y2-16=0,即 4y2+4my+4y2-16+m2=0得2y2+my-4+ =0.=m 2-8（ -4）=0,即-m 2+32=0,所以 m=4 .所以两直线间距离最大是当 m=4 时,dmax= = .故选 D.7.(2016上饶高二期中)已知椭圆 C: + =1(ab0),直线 l为圆 O:x2+y2=b2的一条切线,若直线 l的倾斜角为 ,且恰好经过椭圆的右顶点,则椭圆离心率为 .解析:直线 l的倾斜角为 ,且过椭圆的右顶点(a,0),则直线 l:y=tan (x-a),即 y= (x-a),直线 l为圆 O:x2+y2=b2的一条切线,则 =b,即 b= a,c= =
5、= a,则 e= = .4答案:8.(2018许昌高二月考)若 F1,F2是椭圆 C: + =1的焦点,则在 C上满足 PF1PF 2的点 P的个数为 . 解析:因为椭圆 C: + =1,所以 c=2.所以 F1(-2,0),F2(2,0),其短轴的端点为B(0,2),A(0,-2),所以F 1BF2=F 1AF2=90.又短轴端点与 F1,F2连线所成的角是椭圆上动点 P与 F1,F2连线所成角中的最大角,所以在 C上满足 PF1PF 2的点有 2个.答案:2【能力提升】9.已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2的直线 l交 C于 A,B两点.若A
6、F 1B的周长为 4 ,则 C的方程为( A )(A) + =1 (B) +y2=1(C) + =1 (D) + =1解析:e= = ,又AF 1B的周长为 4 ,所以 4a=4 ,所以 a= ,所以 c=1.所以 b2=a2-c2=2.故 C的方程为 + =1.故选 A.10.(2018上饶质检)已知圆 C1:x2+2cx+y2=0,圆 C2:x2-2cx+y2=0,椭圆 C: + =1(ab0),半焦距为 c,若圆 C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是( B )5(A) ,1) (B)(0, )(C) ,1) (D)(0, 解析:圆 C1,C2都在椭圆内等价于(2c,0),(c,
7、c)在椭圆内部,所以只需 2c3时,A(0,- ),B(0, ),M(- ,0).由题意可知AMO60,所以|OA|3,|- |3, 3,m9.故选 A.12.设椭圆 E的方程为 + =1(ab0),点 O为坐标原点,点 A的坐标为(a,0),点 B的坐标为(0,b),点 M在线段 AB上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM的斜率为 .(1)求 E的离心率 e;(2)设点 C的坐标为(0,-b),N 为线段 AC的中点,证明:MNAB.(1)解:由题设条件知,点 M的坐标为( a, b),又 kOM= ,6从而 = .进而得 a= b,c= =2b,故 e= = .(2)证明:由 N是线段
8、AC的中点知,点 N的坐标为( ,- ),可得 =( , ).又 =(-a,b),从而有 =- a2+ b2= (5b2-a2).由(1)可知 a2=5b2,所以 =0,故 MNAB.【探究创新】13.在直线 l:x-y+9=0上任取一点 P,过点 P以椭圆 + =1的焦点为焦点作椭圆.(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?(2)求长轴最短时的椭圆方程.解:|PF 1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是 P到 F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线 l上求一点 P,使|PF 1|+|PF2|为最小.(1)如图,连接 PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点 F2关于直线 l:y=x+9的对称点 F2,则F2(-9,12),那么 F1F2与直线 l的交点即为所求的点 P.易知 F1F 2的方程为 2x+y+6=0.与直线 y=x+9联立,得 P(-5,4).(2)由(1)知 2a=6 ,a=3 ,所以 b2=a2-c2=36,此时,椭圆的方程为 + =1.
