1、12.2.1 双曲线及其标准方程【选题明细表】知识点、方法 题号双曲线的定义 1,2,11双曲线的标准方程 3,4,5与双曲线定义有关的轨迹问题 6,8综合问题 7,9,10,12,13【基础巩固】1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P的轨迹是( C )(A)双曲线 (B)双曲线左支(C)一条射线 (D)双曲线右支解析:因为|PM|-|PN|=4=|MN|,所以动点 P的轨迹是一条射线.故选 C.2.双曲线 - =1上的点到一个焦点的距离为 12,则到另一个焦点的距离为( A )(A)22或 2 (B)7(C)22 (D)2解析:因为 a2=25,所以 a=
2、5.由双曲线定义可得|PF 1|-|PF2|=10,由题意知|PF 1|=12,所以|PF 1|-|PF2|=10,所以|PF 2|=22或 2.故选 A.3.(2018洛阳高二月考)已知方程 - =1表示双曲线,则 k的取值范围是( A )(A)(-1,1) (B)(0,+)(C)0,+) (D)(-,-1)(1,+)解析:由题意得(1+k)(1-k)0,所以(k-1)(k+1)9,所以点 P只能在双曲线的左支上.答案:|PF 2|=1712.设有双曲线 - =1,F1,F2是其两个焦点,点 M在双曲线上.4(1)若F 1MF2=90,求F 1MF2的面积;(2)若F 1MF2=120,F
3、1MF2的面积是多少?若F 1MF2=60,F 1MF2的面积又是多少?(3)观察以上计算结果,你能看出随F 1MF2的变化,F 1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.解:设|MF 1|=r1,|MF2|=r2(不妨设 r1r2),=F 1MF2,因为 = r1r2sin = r1r2,所以只要求 r1r2即可,因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出 r1r2.(1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= ,由双曲线定义,有|r 1-r2|=2a=4,两边平方得 + -2r1r2=16,又 + =|F1F2|2,即|F 1F2|2-4 =16,也即 52-16=4 ,求得 =9.(2)若F
4、1MF2=120,在MF 1F2中,由余弦定理得,|F1F2|2= + -2r1r2cos 120=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以 r1r2=12,求得 = r1r2sin 120=3 .同理可求得若F 1MF2=60, =9 .(3)由以上结果可见,随着F 1MF2的增大,F 1MF2的面积将减小.证明如下: = r1r2sin .由双曲线定义及余弦定理,有-得 r1r2= ,所以 = =b2cot .因为 0 0,它表示焦点在 x轴上的椭圆.(3)当 =90时,方程为 y2=1,它表示两条平行直线 y=1.(4)当 90180时,方程为 - =1,它表示焦点在 y轴上的双曲线.(5)当 =180时,方程为 x2=-1,它不表示任何曲线.
